Wahl der Nullhypothese? < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 27.12.2012 | | Autor: | Bleagle |
| Aufgabe | 4. Mit einer Stichprobe von 200 Stück soll getestet werden, ob die Angabe der Herstellerfirma stimmt, daß höchstens 4% der Taschenlampen defekt sind.
a) Bestimmen Sie für ein Signifikanzniveau von 1% einen möglichst großen Ablehnungsbereich für die Hypothese "Höchstens 4% der Taschenlampen sind defekt". |
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=510010
(Ich weiß, war erst am 25., aber da im Forum scheint momentan nicht viel los zu sein. Werde aber beide Themen beobachten! Text ist fast identisch kopiert, hab den Latex Code als Grafik kopiert, hoffe das stört nicht..)
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Hey, es geht um Aufgabe 4a) (einzige Aufgabe). Einseitiger Signifikanztest, K soll bestimmt werden.
Ich weiß wie ich die Aufgabe lösen muss, allerdings verstehe ich nicht ganz was ich als [mm] H_0 [/mm] wählen soll. Es gibt 2 Möglichkeiten:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Welche der beiden Rechnungen ist jetzt richtig? Ich weiß dass die Wahl der Hypothesen mit [mm] \alpha [/mm] zusammenhängt, da man den Fehler 1. Art allg. als "schlimmeren" Fehler festlegt (steht jedenfalls so bei uns im Buch), bzw. ist hier ja nur [mm] \alpha [/mm] gegeben.
Aber wäre es nicht dämlich wenn der Hersteller im ersten Fall 15 defekte Lampen zählt und sich dann (trotzdem, nach der Regel) für [mm] H_0: p_0\leq [/mm] 0.04 entscheidet? 15 von 200 sind ja 7.5%.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Do 27.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi Bleagle,
> 4. Mit einer Stichprobe von 200 Stück soll getestet
> werden, ob die Angabe der Herstellerfirma stimmt, daß
> höchstens 4% der Taschenlampen defekt sind.
>
> a) Bestimmen Sie für ein Signifikanzniveau von 1% einen
> möglichst großen Ablehnungsbereich für die Hypothese
> "Höchstens 4% der Taschenlampen sind defekt".
> -----------------------------------------------------|
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=510010
>
> (Ich weiß, war erst am 25., aber da im Forum scheint
> momentan nicht viel los zu sein. Werde aber beide Themen
> beobachten! Text ist fast identisch kopiert, hab den Latex
> Code als Grafik kopiert, hoffe das stört nicht..)
> -----------------------------------------------------|
>
> Hey, es geht um Aufgabe 4a) (einzige Aufgabe). Einseitiger
> Signifikanztest, K soll bestimmt werden.
> Ich weiß wie ich die Aufgabe lösen muss, allerdings
> verstehe ich nicht ganz was ich als [mm]H_0[/mm] wählen soll. Es
> gibt 2 Möglichkeiten:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Der Ablehnungsbereich für diese Nullhypothese [mm] (H_0:p\ge [/mm] 0,04) ist [mm] \{0,1\}, [/mm] sie wird für kleine Werte abgelehnt. Der Annahmebereich ist [mm] \{2,\cdots,200\}
[/mm]
> Welche der beiden Rechnungen ist jetzt richtig? Ich weiß
> dass die Wahl der Hypothesen mit [mm]\alpha[/mm] zusammenhängt, da
> man den Fehler 1. Art allg. als "schlimmeren" Fehler
> festlegt (steht jedenfalls so bei uns im Buch), bzw. ist
> hier ja nur [mm]\alpha[/mm] gegeben.
Ja. Den Fehler, den der Tester vermeiden möchte, sollte er als Fehler 1.Art festlegen, denn dessen Größe kennt er (weil vorgegeben und er ist eben nicht groß, sondern meist 5% oder wie hier sogar nur 1%)
>
> Aber wäre es nicht dämlich wenn der Hersteller im ersten
> Fall 15 defekte Lampen zählt und sich dann (trotzdem, nach
> der Regel) für [mm]H_0: p_0\leq[/mm] 0.04 entscheidet? 15 von 200
> sind ja 7.5%.
>
Das liegt daran, dass wenn man ein [mm] H_0 [/mm] gewählt hat, man sich nur noch schwer von diesem Standpunkt lösen kann. Nur dann nämlich, wenn eine so extreme Stichprobe auftritt, dass ich nicht mehr (guten Gewissens) an der Vermutung [mm] H_0 [/mm] festhalten kann. Man nennt diese Ergebnisse deshalb auch signifikant. Sie sprechen nämlich dann signifikant gegen die Nullhypothese. Ist [mm] H_0 [/mm] trotz eines signifikannten Ergebnisses doch wahr, begeht man mit der Ablehung von [mm] H_0 [/mm] den Fehler 1.Art. Doch tritt ein solcher Fall zum Glück selten auf (nämlich mit W'keit höchstens [mm] \alpha)
[/mm]
Dass sich der Händler bei 15 defekten doch noch dafür entscheidet, [mm] H_0 ($p\le [/mm] 0,04$) anzunehmen, bedeutet, dass es eben nicht sooo (signifikant) unwahrscheinlich ist, dass 15 oder mehr defekte Birnen auftauchen können, obwohl höchstens 4% kaputt sind. Diese W'keit liegt nämlich bei über 1%, also über dem gewählten [mm] \alpha, [/mm] das man übrigens auch Signifikanzniveau nennt.
Würde man beim "Fehlermachen" toleranter sein und sagen wir einen Fehler 1.Art von 5% tolerieren, könnte man rigoroser Ablehnen, nämlich schon ab 14 def. Birnen. [mm] (P_{H_0}(X\ge 14)\approx [/mm] 0.03) Je schneller man ablehnen will (soll heißen, dass einem auch ein nicht ganz so extremes Ereignis genügt, um [mm] H_0 [/mm] zu verwerfen), desto größer ist dann aber die W'keit einen Fehler 1.Art zu machen... Das hat also auch seinen Preis.
Davon abgesehen mal ne freche Gegenfrage: Wäre der Hersteller nicht noch dämlicher, wenn er [mm] H_0 [/mm] wie im zweiten Fall wählt [mm] ($p\ge [/mm] 0,04$), und er bei 2 defekten Lampen davon ausgeht, dass [mm] H_0 [/mm] wahr, also mehr als 4% defekt sind, obwohl es in der Stichprobe mit 2 defekten nur 1% waren? Das würde bedeuten, dass er eine ganze Menge gute Ware wegschmeißen wird.
Das liegt dann daran, dass er sich auch von diesem Standpunkt (es sind mehr als 4% kaputt) nur dann lösen wird, wenn extrem wenig in der Stichpobe kaputt sind (0 oder 1)
Als Verkäufer ist doch schlimmer, wenn eine gute Ladung Glühbirnen (d.h. weniger als 4% kaputt) weggeworfen werden, als wenn ich schlechte (p>0,04) in den Handel bringe. Ich würde deshalb [mm] $H_0: p\le [/mm] 0,04$ wählen.
Ich hoffe, ich konnte helfen.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 27.12.2012 | | Autor: | Bleagle |
Erstmal danke für die schnelle & ausführliche Antwort!
Die Frage ist dann ja, bei zwei Hypothesen $A$ und $B$, ist der Fehler (zur W'keit) [mm] P_A(B) [/mm] oder der Fehler [mm] P_B(A) [/mm] schlimmer. Je nachdem legt man doch [mm] H_0 [/mm] fest? (wenn das Signifikanzniveau gegeben ist)
Ich hatte das Ganze eher aus Kundensicht betrachtet, also dass der Kunde später 15 defekte Lampen vorfindet obwohl angeblich höchstens 4% defekt sind. Der wäre dann sauer und das Firmenimage wäre geschädigt ;) Aber ich stimme dir zu, [mm] $H_0: p\le [/mm] 0,04$ ist wohl doch die bessere Wahl.
Die Entscheidung hat dann aber auch nicht mehr wirklich etwas mit Mathe zu tun und ist dann ja (teilweise) auch subjektiv. In manchen Aufgaben wird [mm] H_0 [/mm] auch explizit oder in Worten angegeben, dann gibt es das "Problem" nicht mehr. Aber in 4a) stand eben nur Hypothese, nicht Nullhypothese.
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EDIT: Sorry, sollte eigentlich keine neue Frage werden..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Do 27.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Erstmal danke für die schnelle & ausführliche Antwort!
Gern geschehen.
>
> Die Frage ist dann ja, bei zwei Hypothesen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm], ist der
> Fehler (zur W'keit) [mm]P_A(B)[/mm] oder der Fehler [mm]P_B(A)[/mm]
> schlimmer. Je nachdem legt man doch [mm]H_0[/mm] fest? (wenn das
> Signifikanzniveau gegeben ist)
So mit A und B ist das formal glaube ich nicht so richtig aufgeschrieben, aber ich weiß, was du meinst. Welcher Fehler der schlimmere ist, ist natürlich auch von der Sichtweise abhängig, wie du schon festgestellt hast. Und ja, dementsprechned sollte man sein [mm] H_0 [/mm] wählen.
>
> Ich hatte das Ganze eher aus Kundensicht betrachtet, also
> dass der Kunde später 15 defekte Lampen vorfindet obwohl
> angeblich höchstens 4% defekt sind. Der wäre dann sauer
> und das Firmenimage wäre geschädigt ;) Aber ich stimme
> dir zu, [mm]H_0: p\le 0,04[/mm] ist wohl doch die bessere Wahl.
Ja, wenn der Kunde sich sicher sein will nur erstklassige Ladungen Taschenlampen zu kaufen, sollte er [mm] $H_0:p\ge [/mm] 0,04$ wählen. Dann nimmt er aber in kauf, dass er viele gute Taschenlampenladungen ablehnen wird, denn selbst mit 1% defekten Lampen in der Ladung (siehe Beispiel mit 2 von 200) wird er ja nicht zufrieden sein. Wenn er sich das erlauben kann... 
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> Die Entscheidung hat dann aber auch nicht mehr wirklich
> etwas mit Mathe zu tun und ist dann ja (teilweise) auch
> subjektiv. In manchen Aufgaben wird [mm]H_0[/mm] auch explizit oder
> in Worten angegeben, dann gibt es das "Problem" nicht mehr.
> Aber in 4a) stand eben nur Hypothese, nicht Nullhypothese.
Mmh, ob man es an der Wortwahl festmachen kann, weiß ich nicht genau. Manchmal wird statt Nullhypothese auch einfach Hypothese gesagt, manchmal wird es als Synonym für Vermutung gebraucht.
Aber du hast richtig erkannt, die Wahl der Nullhypothese kommt eben auch auf den Standpunkt, die Bedürfnisse des Testenden an (Stichwort Konsumenten-und Produzentenrisiko) und meistens lassen sich beide Wahlen rechtfertigen. Wenn man bei einer Aufgabe zweifelt, kann man ja darlegen, welcher Sichtweise man folgt.
Noch ein Hinweis:
Manchmal wird als weiterführende Teilaufgabe verlangt, dass man für einen gegebenen Wert, den Fehler 2.Art berechnen soll. Da man dafür einen Wert aus dem Bereich der Gegenhypothese braucht, ist das auch ein Hinweis darauf, wie der Aufgabensteller sich die Wahl der Nullhypothese gedacht hatte. Ein Beispiel für deine Aufgabe könnte lauten:
Berechne die W'keit für einen Fehler 2.Art, wenn in Wirklichkeit 8% der Lampen kaputt sind.
Da diese W'keit unter der Annahme berechnet wird, dass [mm] H_1 [/mm] wahr ist, heißt das, dass 0,08 nicht zu [mm] H_0, [/mm] sondern zu [mm] H_1 [/mm] gehört. Es muss also [mm] $H_0:p\le [/mm] 0,04$ im ersten Aufgabenteil gegolten haben.
LG walde
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