Wahrsch.. v. gleich. Gebtagen. < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Sa 22.08.2009 | | Autor: | Paulyy |
| Aufgabe | | Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 23 zufälligen Menschen einer am gleichen Tag Geburtstag hat wie ich? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Forum,
ich bin mathematisch schon lange aus der Schule und dementsprechend schwach. Nun bin ich in einer Diskussion über folgende Behauptung gestolpert: "statistically, it only takes 23 random people to have a 50/50 chance someone will have your birthday..."
das wollte ich nicht glauben. als erklärung hat mir der, der das behauptet, dann gemailt: with 23 people, we have 253 possible pairs.
(23*22)/ 2 = 253
The chance of two people having DIFFERENT birthdays is
1- (1/365) = (364/365)= ~0.9972 give or take.
So basically the odds of someone having a different birthday is almost 100 percent.
but when multiplied by itself 253 times, you get a much smaller number
(364/365)^253 = ~ 0.4995 Which means the odds that someone has a different birthday is 49.95 percent, which makes the odds of someone having the same birthday about 50.05 percent.
The fallacy comes when people compare it to their own birthdays. The odds of someone having your birthday is small, but the odds of 2 people in a group of 23 having the same birthday is just over 50% haha.
Ich jedoch behaupte: Wenn ich aus einer Urne mit 365 Kugeln eine Kugel ziehe, diese dann wieder zurück lege und dann ohne zurücklegen ziehe, muss ich 183 mal ziehen, damit die chance, wieder meine zu ziehen, 50:50 steht.
Liebe mathematik-profis: Wer hat recht?
Es dankt,
Paul Maly
|
|
| |
|
Hallo,
also versuchen wir mal Klarheit reinzubringen:
Die Wahrscheinlichkeit, dass von 23 Lauten, mindestens 2 am selben Tag Geburtstag haben berechnet sich wie folgt:
1 - Wk, dass alle Personen an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben. Und die Wahrscheinlichkeit dass alle 23 Leute an unterschiedlichen Tagen
Geburtstag haben ist:
[mm] \bruch{365*364*363*...*344*343}{365^{23}}= [/mm] 0,4927. Kurz zur Erklärung: die erste Person kann an allen 365 Tagen Geb.tag haben, die 2. soll nich an dem Tag Geb.tag haben wie Person 1, hat also noch 364 Tage als Möglichkeiten, die 3. dann nicht an dem Tag wie Person 1 und 2 usw.. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass mind. 2 von 23 Leuten am selben Tag Geburtstag haben 0,5073.
Allerdings macht es einen gewaltigen Unterschied, ob man von einer bestimmten Person die Wahrscheinlichkeit haben will, dass noch jemand an dem Tag Geburtstag hat. Es könnte ja sein, dass du beispielsweise am 1. Januar Geburtstag hast, aber 2 der 23 Personen haben am 5. August Geburtstag. Die Wahrscheinlichkeit dass einer der 23 mit dir Geburtstag hat, berechnen wir also analog: 1- Wahrscheinlichkeit, dass keiner am selben Tag wie du Geburtstag hat:
=1- [mm] (\bruch{364}{365})^{23} [/mm] =0,0612 . Nun kann man aber nicht so einfach folgern, dass man 183 Leute braucht, damit mit ner Wk von mehr als 0,5 jmd. von denen am gleichen Tag wie man selbst Geburtstag hat. Ich erklärs dir mal mit einem analog Beispiel: Stell dir einen ganz normalen Würfel vor. Würfelst du diesen 6mal, so hast du nicht die Wahrscheinlichkeit 1 in diesen 6 Würfen mindestens eine 6 zu würfeln. Man könnte ja beispielsweise 113245 würfeln in diesen 6 Würfen würfeln. Analog verhält sich es hier mit der Anzahl der Personen, die du brauchst.
Man berechnet nun folgendermaßen wie viele Personen es bedarf, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 0,5 mind. einer derer am selben Tag wie man selbst Geburtstag hat:
1- [mm] (\bruch{364}{365})^{n}\ge [/mm] 0,5
[mm] \gdw (\bruch{364}{365})^{n} \le [/mm] 0,5
[mm] \gdw [/mm] n* [mm] ln(\bruch{364}{365}) \le [/mm] ln(0,5)
[mm] \gdw [/mm] n [mm] \ge \bruch{ln(0,5)}{ ln(\bruch{364}{365})}
[/mm]
= 252,65.
Das heißt, ich brauche 253 Leute, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 0,5 jemand derer am gleichen Tag wie ich Geburtstag hat.
Ich hoffe das war nun verständlich.
Viele Grüße
|
|
|
|
