Wahrsch. ungewöhnl. Würfel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine Frage zu den Wahrscheinlichkeiten ungewöhnlicher Würfel.
Beispiel Kuboktaeder: Der Kuboktaeder besteht aus 14 Flächen (8 Dreiecke, 6 Quadrate). Wie lassen sich nun die verschiedenen Wahrscheinlichkeiten bestimmen, dass entweder eine Dreiecksseite oder eine Quadratsseite gewürfelt wird?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 So 27.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Ich glaube nicht, dass man dafür einfach die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann.
Ich sehe zwei Möglichkeiten:
Messen, indem man solange wirft, bis das Ergebnis eng genug eingegrenzt ist,
Schätzen, indem man die Flächen der Dreiecke und der Quadrate vergleicht.
|
|
|
| |
|
> Ich glaube nicht, dass man dafür einfach die
> Wahrscheinlichkeiten ausrechnen kann.
Der Meinung bin ich ebenfalls.
> Ich sehe zwei Möglichkeiten:
> Messen, indem man solange wirft, bis das Ergebnis eng
> genug eingegrenzt ist,
> Schätzen, indem man die Flächen der Dreiecke und der
> Quadrate vergleicht.
Es ist nicht anzunehmen, dass die Wahrscheinlichkeiten
zu den Flächeninhalten der Dreiecke und Quadrate propor-
tional sind ! Schon ein simples Beispiel, etwa mit einem
stabförmigen Quader der Kantenlängen 1, 1 und 5 zeigt
intuitiv (sogar ohne wirkliches Ausprobieren), dass diese
Annahme wohl weit neben der Wirklichkeit liegt. Das
Stäbchen wird in weitaus den meisten Fällen liegen
(und kaum je einmal stehen) bleiben !
Ich vermute, dass eine theoretische Untersuchung mit
Hilfe der Physik (und geeigneten Annahmen über das
Werfen und die Abbremsung des geworfenen Körpers)
sehr kompliziert und aufwändig werden könnte.
LG Al-Chwarizmi
Nachtrag:
Gerade ist mir noch eingefallen, dass ich mir vor Jahren
einmal eine analoge Frage in Bezug auf ein anderes Wurf-
objekt (nämlich Reissnägel mit einer Scheibe vom Radius r
und mit einer Spitze der Länge s) gestellt habe.
Ich nahm dann an, dass das Objekt zuerst einfach in
eine zufällige Lage gebracht wird (Richtung der Nagel-
spitze gleichförmig auf der Kugelfläche [mm] S^2 [/mm] verteilt)
und dann ganz langsam auf den Boden fallen soll, etwa
so wie in einer ziemlich zähen Flüssigkeit. Der Nagel soll
nicht mehrmals wieder aufspringen, sondern nach dem
ersten Bodenkontakt sich nur noch auf kürzestem Weg
in jene Lage bewegen, in welcher sein Schwerpunkt
sich dem Boden nähert und dann zur Ruhe kommt.
Eine analoge Annahme über den Vorgang des "Würfelns"
mit dem Kuboktaeder könnte man verwenden, um zur
vorliegenden Frage exakte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Dieses rechnerische Ergebnis wird aber kaum mit jenen
aus realen Experimenten oder auch Computersimulationen
mit wirklich "geworfenen" Objekten übereinstimmen, bei
denen diese erst nach einigem Herumtorkeln zur Ruhe
kommen.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mo 28.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Prinzip schliesse ich mich meinen Vorrednern an, dass es fast unmöglich ist, die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Aber, man kann die Oberfläche des Kubooktaeders mit der Seitenkante a berechnen, es gilt:
[mm]O=(6+2\sqrt{3})\cdot a^{2}[/mm].
(nachzulesen bei den ![[]](/images/popup.gif) mathematischen Basteleien)
Die 6 Quadrate haben die Fläche [mm]A_{q}=6a^{2}[/mm], die 8 Dreiecke die Fläche
[mm]A_{d}=8\cdot\frac{1}{4}\cdot\sqrt{3}a^{2}=2\cdot\sqrt{3}a^{2}[/mm]
Man könnte also versuchen, die Teilflächenanteile prozentual anzugeben, das könnte man dann evtl. als Näherung der Wahrscheinlichkeiten nutzen.
Marius
|
|
|
| |
|
> Hallo
>
> Im Prinzip schliesse ich mich meinen Vorrednern an, dass es
> fast unmöglich ist, die Wahrscheinlichkeiten zu
> berechnen.
>
> Aber, man kann die Oberfläche des Kubooktaeders mit der
> Seitenkante a berechnen, es gilt:
> [mm]O=(6+2\sqrt{3})\cdot a^{2}[/mm].
>
> (nachzulesen bei den
> mathematischen Basteleien)
>
> Die 6 Quadrate haben die Fläche [mm]A_{q}=6a^{2}[/mm], die 8
> Dreiecke die Fläche
>
> [mm]A_{d}=8\cdot\frac{1}{4}\cdot\sqrt{3}a^{2}=2\cdot\sqrt{3}a^{2}[/mm]
>
> Man könnte also versuchen, die Teilflächenanteile
> prozentual anzugeben, das könnte man dann evtl. als
> Näherung der Wahrscheinlichkeiten nutzen.
>
> Marius
Hallo Marius,
in meinem Beitrag habe ich mit einem etwas anderen
Beispiel (länglicher Quader) versucht, genau diese Idee
der Flächenproportionalität ad absurdum zu führen.
Für mein Beispiel mit dem 1x1x5 - Quader hätte man
nach der Idee mit der Flächenproportionalität
P(Landung auf einem 1x1 - Quadrat) = [mm] \frac{1}{11}
[/mm]
Bei hundertmaligem Werfen sollte also das Stäbchen
etwa in 9 Fällen am Schluss "stehen". Meine Vermutung ist
aber die, dass man das Stäbchen wohl weit über 100
mal werfen müsste, um zu erreichen, dass es nur ein
einziges Mal stehen bleibt.
Möglicherweise kommt diese Art der Näherung der
Wirklichkeit aber umso näher, je "kugelförmiger"
der Körper ist. Beim Kuboktaeder sollte die Näherung
also besser als bei dem länglichen Quader stimmen
und etwa beim "Fußballpolyeder" mit seinen 30 Sechs-
ecken und 12 Fünfecken noch besser.
Ich denke aber, dass man auch da für exakte Antworten
den Wurfprozess zuerst mathematisch definieren
müsste (Elastizität, Reibung, ...), was bestimmt so
etwa einer Master-Arbeit in Kinematik gleichkäme ...
Herzliche Grüße nach Bielefeld !
Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 28.05.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Al
>
>
> Hallo Marius,
>
> in meinem Beitrag
> habe ich mit einem etwas anderen
> Beispiel (länglicher Quader) versucht, genau diese Idee
> der Flächenproportionalität ad absurdum zu führen.
> Für mein Beispiel mit dem 1x1x5 - Quader hätte man
> nach der Idee mit der Flächenproportionalität
>
> P(Landung auf einem 1x1 - Quadrat) = [mm]\frac{1}{11}[/mm]
>
> Bei hundertmaligem Werfen sollte also das Stäbchen
> etwa in 9 Fällen am Schluss "stehen". Meine Vermutung
> ist
> aber die, dass man das Stäbchen wohl weit über 100
> mal werfen müsste, um zu erreichen, dass es nur ein
> einziges Mal stehen bleibt.
Ok, das ist ein Argument. Ich habe aber mal "Spasseshalber" das Volumen der Umkugel des Kubooktaeders mit dem Volumen des Kubooktaeders selber in Relation gesetzt, das Kubooktaeder hat ein Volumen von ca 56% seiner Umkugel, dein Quader aber nur ca 7%
Der Radius der Umkugel eines Quaders ist ja die Hälfte der Raumdiagonale, also [mm] r_{u}=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, [/mm] also bei dir [mm] \frac{1}{2}\cdot\sqrt{27}
[/mm]
>
>
> Möglicherweise kommt diese Art der Näherung der
> Wirklichkeit aber umso näher, je "kugelförmiger"
> der Körper ist. Beim Kuboktaeder sollte die Näherung
> also besser als bei dem länglichen Quader stimmen
> und etwa beim "Fußballpolyeder" mit seinen 30 Sechs-
> ecken und 12 Fünfecken noch besser.
Wahrscheinlich ist das so.
Marius
|
|
|
| |
|
Hi Marius,
noch ein weiteres Bild, um meine Methode des "sanften
Würfelns" (ohne das Wurfobjekt zu schmeißen) zu veran-
schaulichen:
Man hänge das Objekt (Würfel, Quader, Kuboktaeder oder
irgendein anderes konvexes Polyeder) an einem Kran auf,
und zwar so, dass es sich nicht drehen kann und dass seine
Drehlage im [mm] \IR^3 [/mm] nach einer Gleichverteilung auf der Kugel
um seinen Schwerpunkt (bzw. in der entsprechenden Lie-
Algebra) gewählt wird.
Nun senkt man das Objekt ganz langsam auf den Boden
ab. Berührt es diesen erstmals mit einer Ecke oder Kante,
so senkt man es ebenso sorgfältig weiter ab. Es kippt dann
in bestimmter Weise über die Ecke bzw. Kante, bis es voll
auf einer seiner Facetten steht. Nur in Fällen, die maßtheo-
retisch eine Nullmenge ausmachen, ist die Endlage nicht
entschieden.
Rechnerisch führt dies dann etwa beim Kuboktaeder auf
Folgendes: Man projiziere das Polyeder von seinem Zentrum
aus auf eine es umfassende Kugel. Seine Quadrate und
Dreiecke gehen dann in sphärische Vierecke und Dreiecke
über. Wenn man nun deren Flächen berechnet, kommt man zum
richtigen Maß für die gesuchte geometrische Wahrscheinlichkeit.
Lieben Gruß
Al
|
|
|
| |
|
Schau in Katrin Höfer, Peter Hesse, Das große Tipp-Kick-Buch. Dort wird auf Seite 119 die empirisch ermittelte Wahrscheinlichkeit angegeben. Wie zuverlässig diese Quelle ist, vermag ich nicht zu beurteilen.
|
|
|
| |
|
> Schau in Katrin Höfer, Peter Hesse, Das große
> Tipp-Kick-Buch. Dort wird auf Seite 119 die empirisch
> ermittelte Wahrscheinlichkeit angegeben. Wie zuverlässig
> diese Quelle ist, vermag ich nicht zu beurteilen.
Hallo Leopold,
besten Dank für diese Angabe. Eigentlich noch interessant,
dass dies in einem Buch mit dem Hauptthema im Bereich
Fußball zu finden ist !
Ich habe nun noch den rechnerischen Vergleich gemacht:
[mm] \begin{tabular}{ l | l | l | }
\hline
& Dreiecke & Vierecke \\
Experiment & 23.2 & 76.8 \\
Polyederflaechen & 36.6 & 63.4 \\
Kugelflaechen & 35.1 & 64.9 \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
In der Tabelle stehen Prozentzahlen.
Es zeigt sich, dass die Berechnung nach der Methode des
"sanften Würfelns", wo rechnerisch mit den Flächenanteilen
von sphärischen Dreiecken und Vierecken umgegangen wird,
zwar etwas näher bei dem experimentellen Ergebnis liegt,
aber immer noch sehr weit davon entfernt ist.
Fazit: es bleibt wohl wirklich nur eine experimentelle
Methode. Dabei wird es aber auch noch wesentlich sein,
wie der Wurfvorgang im Detail abläuft. Man könnte sich
verschiedene "Wurfmaschinen" denken, welche in langen
Versuchsreihen zu signifikant verschiedenen Ergebnissen
kommen.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
