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| Aufgabe | | Aus den Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8 und 9 soll zufällig eine fünfstellige Zahl gebildet werden, die auch mit einer Null beginnen darf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle fünf Ziffern verschieden sind? |
Vom Lehrer haben wir die Lösung bekommen: 0,302.
Aber ich komme nicht auf den Rechenweg.
Ich habe im Unterricht die Pfadregel für Baumdiagramme kennengelernt.
Außerdem kenne ich Formel zur Berechnung der möglichen Erbenisse bei geordneten Stichproben mit zurücklegen $ [mm] (n^k), [/mm] $ geordneten Stichproben ohne zurücklegen $ [mm] \bruch{n!}{(n-k)!} [/mm] $ und ungeordnete Stichproben ohne zurücklegen $ [mm] \vektor{n\\ k} [/mm] $
Außerdem hatten wir eine Aufgabe, bei der wir die Wahrscheinlichkeit berechnet haben, beim Lotto 4 richtige zu haben. Das war eine Formel:
$ [mm] \bruch{\vektor{6\\ 4}\cdot{}\vektor{43 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] $
Leider haben wir hierfür keine allgemeine Regel oder Formel genannt, sondern nur einmal diese Aufgabe so gerechnet. Bei Wikipedia gibt es eine allgemeine Formel dafür. Allerdings haben die andere Variablen benutzt. Deswegen steig ich da nicht durch.
Ich vermute, dass mir das helfen könnte, komme aber nicht drauf wie. Kann mir wer weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Sa 08.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kleine_Frau!
Gehen wir hier ganz einfach vor. Die Wahrscheinlichkeit wird berechnet durch:
$$P \ = \ [mm] \bruch{\text{günstige Ereignisse}}{\text{mögliche Ereignisse}}$$
[/mm]
Wieviele Varianten gibt es denn, aus den jeweils 10 Ziffern eine 5-stellige Zahl zu erstellen?
Und wieviel Möglichkeiten gibt es, dass diese 5 Ziffern unterschiedlich sind?
Für die 1. Stelle sind das 10 Möglichkeiten, für die 2. Stelle verbleiben dann noch 9 Ziffern usw.
Kommst Du damit weiter?
Gruß
Loddar
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> Wieviele Varianten gibt es denn, aus den jeweils 10 Ziffern
> eine 5-stellige Zahl zu erstellen?
n= 10 und k=5
[mm] n^{k} [/mm] = 100000
> Und wieviel Möglichkeiten gibt es, dass diese 5 Ziffern
> unterschiedlich sind? Für die 1. Stelle sind das 10 Möglichkeiten, für die 2.
> Stelle verbleiben dann noch 9 Ziffern usw.
10! = 3628800
Als Lösung wurde angegeben: 184476.
Mit den beiden Ergebnissen komme ich aber nicht auf diese Lösung, oder? Jedenfalls wüsste ich nicht wie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Sa 08.09.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Als Lösung wurde angegeben: 184476.
Auf welche Aufgabe bezieht sich das?
Die höchste 5-stellige Zahl ist 99999. Wenn du noch die 00000 hinzu rechnest, dann gibt es allerhöchstens 100000 Kombinationsmöglichkeiten.
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> > Wieviele Varianten gibt es denn, aus den jeweils 10 Ziffern
> > eine 5-stellige Zahl zu erstellen?
> n= 10 und k=5
> [mm]n^{k}[/mm] = 100000
>
>
> > Und wieviel Möglichkeiten gibt es, dass diese 5 Ziffern
> > unterschiedlich sind? Für die 1. Stelle sind das 10
> Möglichkeiten, für die 2.
> > Stelle verbleiben dann noch 9 Ziffern usw.
> 10! = 3628800
$5$ Ziffern kannst Du aus den $9$ unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholungen auf [mm] $\frac{10!}{(10-5)!}$ [/mm] Arten auswählen. D.h. die erste Ziffer einer solchen Zahl kannst Du auf $10$ Arten, die zweite noch auf $9, [mm] \ldots, [/mm] $ die fünfte noch auf $6$ Arten auswählen. Ergibt insgesamt [mm] $10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot [/mm] 6$ (oder, eben: [mm] $\frac{10!}{(10-5)!}$) [/mm] Möglichkeiten.
Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit, eine solche 5-stellige Zahl mit verschiedenen Ziffern auszuwählen, gleich
[mm]\mathrm{P}(\text{alle Ziffern verschieden}) =\frac{\text{günstige Fälle}}{\text{mögliche Fälle}}=\frac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{10^5}=0.3024[/mm]
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