Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Do 23.04.2009 | | Autor: | howtoadd |
| Aufgabe | Es werden zufällig n Kugeln auf n Schachteln verteilt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dass mindestens eine Schachtel leer bleibt. Listen Sie die Werte für n = 1, 2, . . . 8
auf. |
hallo an alle....
also, ich verstehe diese aufgabe nicht!
und zwar habe ich ein verständnis problem...
man hat " n " kugeln und sie werden auf "n" schachten verteilt???
wie soll das gehen? also man kann ja für jede kugel eine schachtel haben, demnach wäre die wahrscheinlichkeit gleich 0, dass einer leer ist...
wenn man davon ausgeht, dass es aber n kugeln und n+1 schachteln gibt, würde ich sagen, dass dann zu 100% eine schachtel leer bleibt...
ich versteh die aufgabe irgendwie nicht, bitte hilft mir, um sie zu verstehen und erfolgreich lösen zu können!
lieben gruß
howtoadd
|
|
| |
|
Hallo howtoadd,
die Kugeln werden doch zufällig verteilt. Jede Kugel kommt mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine der n Schachteln.
Bei n=1 ist das einfach. Nach der Verteilung liegt die eine Kugel in der einen Schachtel. Punkt.
Schon bei n=2 ist die Sache anders. Nennen wir die Kugeln A und B, die Schachteln 1 und 2. (1B) heiße: in Schachtel 1 liegt Kugel B. (1) heißt: leer, (1AB): voll. 
Es gibt folgende Ergebnisse:
(1) (2AB)
(1A) (2B)
(1B) (2A)
(1AB) (2)
Sind diese Ergebnisse gleich wahrscheinlich? Wenn ja, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schachtel leer bleibt, genau [mm] \tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
[/mm]
Bei drei Schachteln wird die Sache schon schwieriger. Es gibt 27 Möglichkeiten, die Kugeln zu verteilen. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Schachtel leer bleibt, beträgt [mm] \tfrac{7}{9}.
[/mm]
Jetzt mach Dich mal auf die Suche nach einer allgemeinen Herleitung.
Tipp: die Terme [mm] n^n [/mm] und n! werden darin vorkommen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Do 23.04.2009 | | Autor: | howtoadd |
also, super vielen dank!
das verstehe ich nun! so... nun frage ich mich... wie komme nun auf die wahrscheinlichkeit der leeren schachteln...
wie bist du auf die 7/9 gekommen?
ich komme nicht ab n= 3 weiter... überlege gerade mit der formel [mm] n^n [/mm] / n!...
aber das wär doch nicht richtig, oder? also dass es 3³= 27 möglichkeiten verstehe ich... aber wie macht man das mit einer leeren?
du sagtest etas mit [mm] n^n [/mm] und n!... aber irgendwie leuchtet es mir nicht ein.
|
|
|
| |
|
Möglichkeiten, n Kugeln in n Schachteln zu verteilen:
Jede Kugel hat n Möglichkeiten. Die Kugeln sind unabhängig voneinander. Also: [mm] n^n [/mm] Verteilungen.
Wieviele Möglichkeiten gibt es nun, dass keine Schachtel leer bleibt? Sagen wir x.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Schachtel leer bleibt: [mm] \tfrac{n^n-x}{n^n}
[/mm]
Jetzt müsstest Du nur noch x bestimmen. Das ist keine schwierige Aufgabe, vor allem, wenn Du die Schachteln und die Kugeln weiterhin als markiert denkst (z.B. wie vorhin: Kugeln mit Buchstaben, Schachteln mit Zahlen).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 23.04.2009 | | Autor: | howtoadd |
sind die schachteln nun ununterscheidbar? oder unterscheidbar?....
nach dieser rechnung sind die schachteln unterscheidbar... aber in der aufgabe ist kein hinweis daraus..
den rest verstehe ich nun!
dankeschön!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 Do 23.04.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
betrachte die Kugeln und Schachteln zum Zwecke der einfachen Lösung jetzt mal als unterscheidbar. Es sind in der Realität ja auch verschiedene Schachteln und Unterscheidbarkeit ist insoweit nur ein subjektives Merkmal. Berechne
1. die Anzahl der Möglichkeiten, die n Kugeln so auf die n Schachteln zu verteilen, daß in jeder Schachtel genau eine Kugel liegt.
2. die Anzahl der Möglichkeiten überhaupt, n verschiedene Kugeln auf n Schachteln zu verteilen.
Der Quotient q ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei zufälliger Verteilung in jeder Schachtel genau eine Kugel liegt. Das Gegenereignis hat die Wsk. 1- q.
Gruß
Will
|
|
|
|
