Wahrscheinlichkeit/Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Mo 14.08.2006 | | Autor: | MrPink |
Hallo, erstmal sorry, dass ich dieses Forum im Moment nur so mit Fragen bombardiere. Ich werde mich bemühen nach meiner Stocha Klausur am Mittwoch mal ein paar Fragen zu beantworten ( Im Kindergarten Analysis Forum oder so  ) Also ich habe mal wieder folgende Aufgabe und den Ansatz von unten:
Aufgabe
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Ansatz, welcher aber irgendwie falsch zu sein scheint ( man hätte eine Summe von unendlich bis unendlich ):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Mo 14.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Du hättest dir die Sache einfacher machen können bei Kenntnis des ![[]](/images/popup.gif) Lemmas von Borel-Cantelli (2.Teil). Habt ihr das noch nicht gehabt?
Bei deinen Umformungen ist übrigens Vorsicht geboten: Es gibt im direkten Sinne keine Regel
[mm] $$P\left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} ~ A_k \right) [/mm] = [mm] \prod\limits_{k=1}^{\infty} P(A_k)$$
[/mm]
für unendliche Produkte von Wahrscheinlichkeiten, auch bei Unabhängigkeit nicht! Immer nur für endliche Produkte bzw. Durchschnitte, in dem Sinne kann man wegen [mm] $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty} [/mm] ~ [mm] A_k \subseteq \bigcap\limits_{k=1}^n [/mm] ~ [mm] A_k$ [/mm] höchstens abschätzen
[mm] $$P\left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} ~ A_k \right) \leq P\left( \bigcap\limits_{k=1}^n ~ A_k \right) [/mm] = [mm] \prod\limits_{k=1}^n P(A_k)$$
[/mm]
um dann im Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] zu
[mm] $$P\left( \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} ~ A_k \right) \leq \prod\limits_{k=1}^{\infty} P(A_k)$$
[/mm]
zu gelangen. Wenn rechts dann natürlich eine Null steht, geht auch die Gleichheit klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mo 14.08.2006 | | Autor: | MrPink |
Hallo, das Lemma hatten wir schon , gilt es denn auch für k=n ( ich habe es nur in Form k=1 ) ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 14.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Mit dieser Nachfrage kann ich absolut nichts anfangen - von welchem ominösen $k$ redest du?
Schau dir das Borel-Cantelli-Lemma nochmal an, dann wirst du sehen, dass das perfekt hier passt. Du musst dann nur noch die Divergenz der Reihe der Einzelwahrscheinlichkeiten nachweisen, aber das sollte machbar sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Mo 14.08.2006 | | Autor: | MrPink |
So, habe das Lemma im Skript nachgelesen und aus versehen das falsche genommen. Jetzt meine Lösung mit dem richtigen Lemma:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 14.08.2006 | | Autor: | MrPink |
Ups, oben habe ich ganz am Anfang das Summenzeichen vergessen und bei der Ungleichung muss es einmal n anstatt e heissen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Di 15.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Ja, zusammen mit der Korrektur geht jetzt alles in Ordnung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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