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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 So 30.12.2012 | | Autor: | sina12 |
| Aufgabe | 250 Personen wollen in das ausverkaufte Theater gehen. Leider hat die erste Person, die den Saal betritt, kurz nachdem sie am Einlass vorbei gelangt war, ihre Karte verloren und weiß ihre Platznummer nicht. Sie setzt sich auf irgendeinen Platz.
Jede folgende Person, die den Saal betritt, setzt sich auf ihren Platz, wenn dieser noch frei ist. Andernfalls setzt sie sich auf einen anderen, noch nicht besetzten Platz.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte Person, die den Saal betritt, ihren Platz noch frei vorfindet? |
Hallo,
ich komme mit der oben gestellten Frage nicht wirklich klar..
ich muss diese aufgabe bald in der Klasse vorstellen, weiß aber die Lösung selber nicht..
Ich habe mich bereits an einem Baumdiagramm versucht, aber irgendwie wird das so unübersichtlich.
Hat vllt jmd einen Tipp für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich wäre euch für einen Hinweis dankbar.
LG sina
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Interessante Aufgabe. Ich habe allerdings auch keine Ahnung, wie es geht, würde deshalb eher "aus dem Bauch heraus" antworten.
Also, wenn die erste Person "zufällig" ihren Platz findet, was bei 250 Möglichkeiten allerdings unwahrscheinlich ist, dann setzten sich alle weiteren Personen auf den richtigen Platz, und die letzte Person findet zu 100% ihren Platz.
Wegen dieser Unwahrscheinlichkeit muss man also den Fall betrachten, dass sich die erste Person auf einen falschen Stuhl setzt...
... der eigentliche Besitzer dieses Stuhls wird sich dann auch auf einen falschen Stuhl setzen etc. etc.
... zufällig könnte dabei auch der Stuhl der letzten Person getroffen werden - oder auch nicht ...
... angenommen, die vorletzte Person findet ihren Platz besetzt und hat nun die Auswahl zwischen dem Platz der letzten Person und einem anderen Platz, dann wäre die Wahrscheinlichkeit ja 50% ...
... und deshalb tippe ich auf 50% (plus 1/250stel, dass die allererste Person richtig lag)
Wie gesagt, das ist nur ein Bauchgefühl. Ein Baumdiagramm wird das kaum lösen können (wegen der 250 Leute). Eventuell hilft eine Computer-Simulation, das Ergebnis ungefähr abzuschätzen.
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> 250 Personen wollen in das ausverkaufte Theater gehen.
> Leider hat die erste Person, die den Saal betritt, kurz
> nachdem sie am Einlass vorbei gelangt war, ihre Karte
> verloren und weiß ihre Platznummer nicht. Sie setzt sich
> auf irgendeinen Platz.
> Jede folgende Person, die den Saal betritt, setzt sich auf
> ihren Platz, wenn dieser noch frei ist. Andernfalls setzt
> sie sich auf einen anderen, noch nicht besetzten Platz.
>
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte
> Person, die den Saal betritt, ihren Platz noch frei
> vorfindet?
> Hallo,
>
> ich komme mit der oben gestellten Frage nicht wirklich
> klar..
> ich muss diese aufgabe bald in der Klasse vorstellen, weiß
> aber die Lösung selber nicht..
>
> Ich habe mich bereits an einem Baumdiagramm versucht, aber
> irgendwie wird das so unübersichtlich.
>
> Hat vllt jmd einen Tipp für mich?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich wäre euch für einen Hinweis dankbar.
>
> LG sina
Hallo sina,
ich vermute auch, dass die Aufgabe, wenn man sie exakt
lösen will, recht schwierig werden könnte. Dabei kann ich
mich aber auch irren; ich habe mir das Ganze noch nicht
näher angeschaut ...
Etwas abschreckend wirkt natürlich auch die große Zahl
der Sitzplätze. Diesem Problem kann man aber zunächst
aus dem Weg gehen, indem man mal mit einem gaaanz
kleinen Theater (mit z.B. 4 Plätzen) beginnt und an diesem
Beispiel die wesentlichen Gedanken entwickelt. Ist die
Struktur des Problems dann einmal klar, ist es wohl eine
einfache Übung, die Sitzanzahl zu vergrößern.
LG Al-Chw.
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Das löst sich durch eine einfache Überlegung.
Sei [mm]n[/mm] die Anzahl der verbleibenden Gäste und der erste Gast der "Dussel" ohne Karte.
Betrachten wir die Situtation, dass noch [mm]k[/mm] Gäste den Saal betreten und [mm]k[/mm] Plätze frei sind.
Ist [mm]k=n[/mm], dann ist [mm]p_k[/mm] die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Gast seinen eigenen Platz bekommt.
Ist [mm]kgegeben, dass ersten k-1 Gästen schon ihren Platz belegt haben und der k -te Platz noch frei ist.
Es gilt also
[mm]p_k=\frac{1}{k}+(1-\frac{2}{k})p_{k-1}[/mm]
Dieser erste Summand ist die Wkeit, dass der erste Gast nicht einen Platz von den letzten k-1 Gästen einnimmt.
Und [mm]1-\frac{2}{k}[/mm] ist die Wkeit, dass der erste Gast weder seinen Platz noch den Platz vom letzten Gast einnimt.
Das ist aber die gleiche Situation mit k-1 Gästen.
Also mit [mm] $p_2=0.5$ [/mm] ist auch [mm] $p_n=0.5$
[/mm]
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Ich denke auch, dass eine äquivalente Situation vorliegt, wenn jeder Gast darauf besteht seinen eigenen Platz einzunehmen. (Ändert doch an der Situation nichts?!)
Unser Gast ohne Karte würde dann eine lustige Wanderung durch den Saal vollführen, weil er bei jedem falschen Sitzenaufgefordert wird, sich einen neuen Platz zu suchen, bis die ersten n-2 Gäste ihren eigenen Platz eingenommen haben.
Wenn nur noch 2 Plätze übrig sind, so ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $p_n$ [/mm] auch hier 0,5.
Alle Angaben ohne Gewähr (siehe Uhrzeit)!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 So 30.12.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit muss 0,5 sein.
Das ergibt sich aus folgender Symmetrieüberlegung :
1. Die Sache ist noch unentschieden, solange die beiden Plätze des ersten und des letzten Gastes noch frei sind.
Wenn der Platz des ersten Gastes besetzt ist, hat es irgendwann eine zyklische Platzvertauschung der vorherigen Gäste gegeben, alle andere Gäste sitzen dann auf ihrem Platz, insbesondere der letzte.
Wenn der Platz des letzten Gastes besetzt ist, ist die Sache ebenfalls entschieden.
2. Wenn die Sache noch unentschieden ist, setzt sich jeder Gast, der seinen Platz besetzt vorfindet, mit gleicher Wahscheinlichkeit auf den Platz des ersten (dann findet der letzte seinen Platz sicher) oder des letzten (dann findet der letzte seinen Platz sicher nicht).
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:56 Mi 02.01.2013 | | Autor: | rabilein1 |
> Die gesuchte Wahrscheinlichkeit muss 0,5 sein.
Hoho, sollte mein Bauch also Recht behalten haben...
... trotzdem hätte ich mir an dieser Stelle das "berühmte" Simulationsprogramm von Al-Chwarizmi gewünscht, das dann auf wundersame Weise gezeigt hätte, dass tatsächlich in jedem zweiten Durchlauf der letzte Gast seinen Platz gefunden (bzw. besetzt gefunden) hätte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Do 03.01.2013 | | Autor: | sina12 |
ich danke euch allen für eure Hilfe ;)
hat mir echt sehr weitergeholfen..
LG sina
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