Wahrscheinlichkeit für Run < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Mi 11.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Man betrachte eine beliebige Folge von Nullen und Einsen, z.B.
00111100011111001110.
Unter einem [mm] \textit{Run} [/mm] soll im Folgenden eine Folge von einem oder mehreren identischen Symbolen verstanden werden, denen entweder ein anderes oder kein Symbol unmittelbar vorangeht oder folgt.
Für obiges Beispiel liegen also $R=7$ Runs vor.
Zeigen Sie:
[mm] $P(R=2r)=\frac{2\binom{n_1-1}{r-1}\binom{n_2-1}{r-1}}{\binom{n}{n_1}}$, [/mm] wobei [mm] $n_1$ [/mm] die Anzahl der Nullen und [mm] $n_2$ [/mm] die Anzahl der Einsen bezeichnen. |
Hallo, lieber Matheraum!
Ich habe ja - zugegebenermaßen - mit Kombinatorikaufgaben immer so meine Probleme.
Mir ist klar, daß man hier die günstigen durch alle Möglichkeiten teilt (gemäß Laplace). Den Nenner (alle Möglichkeiten) kann ich mir so erklären:
Es gibt $n!$ Möglichkeiten, um [mm] $n_1+n_2=n$ [/mm] Elemente anzuordnen. Da man wohl die Nullen und die Einsen hier nicht unterscheiden muss, muss man unberücksichtigt lassen, daß man die Nullen und die Einsen unter sich auch noch auf [mm] $n_1!$ [/mm] bzw. auf [mm] $n_2!$ [/mm] Möglichkeiten anordnen kann. Darum:
[mm] $\frac{n!}{n_1!n_2!}=\frac{(n_1+n_2)!}{n_1!n_2!}=\binom{n}{n_1}=\binom{n}{n_2}$
[/mm]
Ich kann den Zähler jedoch nicht verstehen.
Könnte mir das bitte jemand erklären, wieso der Zähler die günstigen Möglichkeiten ausdrückt?
Viele Grüße
Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Mi 11.07.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit dem Binomialkoeffizienten [mm] ${n\choose k}$ [/mm] kannst du doch gerade die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, die k Elemente in einer n-Elementigen Menge zu verteilen.
Hier verteilst du also die [mm] n_{2} [/mm] Einser auf den n Elementen.
Alternativ könntest du auch [mm] ${n\choose n_{2}}$ [/mm] nehmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 11.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich meinte, wie der Zähler
[mm] $2\binom{n_1-1}{r-1}\binom{n_2-1}{r-1}$ [/mm] zustande kommt.
Das verstehe ich nämlich nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 11.07.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich meinte, wie der Zähler
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> [mm]2\binom{n_1-1}{r-1}\binom{n_2-1}{r-1}[/mm] zustande kommt.
>
>
> Das verstehe ich nämlich nicht.
Moin,
bei $(R=2r)$ gibt es $r_$ Nullruns und $r_$ Einsruns. Die Folge faengt
entweder mit einem Null- oder einem Einsrun an. Die Anzahl der Folgen, die mit einem Nullrun beginnt ist identisch mit der, die mit einem Einsrun beginnen. Daher ist die folgende Zaehlung zu verdoppeln.
Wir betrachten die Anzahl der Runs, die mit einem Nullrun beginnen. Stell dir die [mm] $n_2$ [/mm] Einsen als nebeneinander gereiht mit Luecken vor. Damit $2r_$ Runs insgesamt auftreten muessen in den [mm] $n_2-1$ [/mm] Luecken $r-1_$ Nullruns auftreten. Die Anzahl der Luecken ist [mm] $\binom{n_2-1}{r-1}$. [/mm] Diese "Lueckenueberlegung" gilt aber auch fuer die Reihung der Nullen, was [mm] $\binom{n_1-1}{r-1}$ [/mm] Moeglichkeiten ausmacht. Die Gesamtzahl der Anordnungen mit $2r_$ Runs, die mit einem Nullrun beginnen, ist also [mm] $\binom{n_2-1}{r-1}\binom{n_1-1}{r-1}$. [/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Mi 11.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Wow, super erklärt! Jetzt habe ich es verstanden!
Danke!!
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