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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe 1 | | An einer Tankstelle tanken ankommende Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% Dieselkraftstoff. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tanken von den nächsten 10 Fahrzeugen genau fünf Dieselkraftstoff? |
| Aufgabe 2 | 40% aller Ehen in Deutschland sind kinderlos. Mit welcher Wahrscheinlichkeit [mm] P(X\le80) [/mm] befinden sich unter 182 auf gut Glück gewählten Ehepaaren höchstens 80 kinderlose?
Benutzen Sie als Näherung die Normalverteilung (Satz von Moivre-Laplace) und begründen Sie, warum diese Näherung hier erlaubt ist. |
Hallo,
ich rechne grad etwas mit Wahrscheinlichkeiten rum. Habe für die 1. Aufgabe eine Lösung und würde gerne fragen, ob ich alles korrekt interpretiere und ob meine Lösungen auch so richtig sind ...
Zur 2. Aufgabe komme ich dann danach ... Erstmal die erste:
An die Lösung würde ich mit der Binominalverteilung herangehen, welche wie folgt lautet:
[mm] P(k)=\vektor{n\\k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}
[/mm]
Ich will nun wissen, wie wahrscheinlich 5 Dieseltanker unter den nächsten 10 sind. Das heisst ich habe dafür folgende Werte:
p=0.3
n=10 - Die Anzahl der Versuche
k=5 - Die Anzahl der "erfolgreichen" Tests
Eingesetzt wäre das:
[mm] P(5)=\vektor{10\\5}*0.3^{5}*(1-0.3)^{10-5}
[/mm]
=252*0.00243*0.16807
=0.1029193452
Ist das bis dahin korrekt? Heisst das dann, die Wahrscheinlichkeit ist ca. 10.29%, dass unter den nächsten 10 genau 5 Dieseltanker sind?
Dann zur Aufgabe zwei ... Ich habe leider keine Ahnung, wie ich da nur ansatzweise an die Lösung komme, oder wie ich gar anfangen soll...
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand im Detail zeigen würde, wie man sowas löst.
Ich habe die Tabelle mit den Verteilungen im Anhang mitgeschickt...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im voraus für die Hilfe
Grüße
Andi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo Andi,
die erste Aufgabe ist richtig gelöst und auch bei der zweiten Aufgabe müsstest Du eigentlich mit der Binomialverteilung arbeiten und alle Wahrscheinlichkeiten aufaddieren. Das ist natürlich sehr aufwendig. Bei bestimmten Randbedingungen, die hier erfüllt sind, konvergiert jedoch die Binomialverteilung gegen die Normalverteilung, und dann lässt sich das Ganze weitaus simpler berechnen. Die Berechnung des Argumentes für die Normalverteilung findest Du ![[]](/images/popup.gif) hier.
Fröhliches Rechnen,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Hallo Infinit,
ich verstehe diesen Sonderzeichen Kauderwelsch auf dem Wiki irgendwie nicht so ganz :-/
Das einzige was ich versteh, ist, dass ich wohl eine Binomialverteilung von n=182 und p=0.4 bei der 2. Aufgabe habe.
Aber wie rechnet man denn dann weiter?
Würde mich freuen, wenn du mir das anhand der 2. Aufgabe als Beispiel mal zeigen könntest? ...
So ist mir das alles etwas zu theoretisch, leider :(
Danke und viele Grüße
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Infinit,
>
> ich verstehe diesen Sonderzeichen Kauderwelsch auf dem Wiki
> irgendwie nicht so ganz :-/
>
> Das einzige was ich versteh, ist, dass ich wohl eine
> Binomialverteilung von n=182 und p=0.4 bei der 2. Aufgabe
> habe.
>
> Aber wie rechnet man denn dann weiter?
Da du die Binomialverteilung mit einer Normalvereilung (möglichst gut) annähern sollst, muss die Normalverteilung die selben charakteristischen Größen (Erwartungswert, ...) wie deine Binomialverteilung haben. Es muss also auch hier gelten [mm] \mu=72,4 [/mm] (wegen E(X)=n*p=182*0,4).
Jetzt musst du noch [mm] \sigma [/mm] aus der Binomialverteilung berechnen.
Gruß Abakus
> Würde mich freuen, wenn du mir das anhand der 2. Aufgabe
> als Beispiel mal zeigen könntest? ...
>
> So ist mir das alles etwas zu theoretisch, leider :(
>
> Danke und viele Grüße
> Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
Ahoi
>
> Da du die Binomialverteilung mit einer Normalvereilung
> (möglichst gut) annähern sollst, muss die Normalverteilung
> die selben charakteristischen Größen (Erwartungswert, ...)
> wie deine Binomialverteilung haben. Es muss also auch hier
> gelten [mm]\mu=72,4[/mm] (wegen E(X)=n*p=182*0,4).
> Jetzt musst du noch [mm]\sigma[/mm] aus der Binomialverteilung
> berechnen.
Wenn ich wenigstens verstehen würde, was ich wie irgendwie rechnen soll...
Ich habe jetzt:
n=182
p=0.4
[mm] \mu=n*p=72.8
[/mm]
Auf der Wiki Page steht zum Sigma [mm] (\sigma), [/mm] dass das eine Varianz sei ... welche man wie folgt berechnet:
[mm] \sigma^{2}=n*p*(1-p)
[/mm]
Würde ich da mein bisherigen Kram einsetzen und nach Sigma auflösen, erhalte ich:
[mm] \sigma=\wurzel{182*0.4*(1-0.4)}=6.609
[/mm]
Ist das korrekt?
Falls ja, dann habe ich nun 4 Zahlen und weiterhin keine Ahnung, was ich damit machen soll ...
Wie ich an die Lösung komme, davon ganz zu schweigen
Danke für Hilfe
Gruß
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Ahoi
> >
> > Da du die Binomialverteilung mit einer Normalvereilung
> > (möglichst gut) annähern sollst, muss die Normalverteilung
> > die selben charakteristischen Größen (Erwartungswert, ...)
> > wie deine Binomialverteilung haben. Es muss also auch hier
> > gelten [mm]\mu=72,4[/mm] (wegen E(X)=n*p=182*0,4).
> > Jetzt musst du noch [mm]\sigma[/mm] aus der Binomialverteilung
> > berechnen.
>
> Wenn ich wenigstens verstehen würde, was ich wie irgendwie
> rechnen soll...
> Ich habe jetzt:
>
> n=182
> p=0.4
> [mm]\mu=n*p=72.8[/mm]
>
> Auf der Wiki Page steht zum Sigma [mm](\sigma),[/mm] dass das eine
> Varianz sei ... welche man wie folgt berechnet:
>
> [mm]\sigma^{2}=n*p*(1-p)[/mm]
>
> Würde ich da mein bisherigen Kram einsetzen und nach Sigma
> auflösen, erhalte ich:
>
> [mm]\sigma=\wurzel{182*0.4*(1-0.4)}=6.609[/mm]
>
> Ist das korrekt?
ich denke ja. Nun sollen es höchstens 80 kinderlose Paare sein. Der Erwartungswert für die Anzahl der kinderlosen Paare war 72,8, die 80 liegt um 7,2 darüber. Das entspricht etwa dem 1,09-fachen der Varianz (du hattest für Sigma ca. 6,6 erhalten).
Du brauchst jetzt einfach eine Tabelle der Verteilungsfunktion der Normalvereilung und liest dort die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass deine normalverteilte Zufallsgröße einen Wert kleiner +1,09 annimmt (ist etwa 0,862).
Gruß Abakus
>
> Falls ja, dann habe ich nun 4 Zahlen und weiterhin keine
> Ahnung, was ich damit machen soll ...
> Wie ich an die Lösung komme, davon ganz zu schweigen
>
> Danke für Hilfe
>
> Gruß
> Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Tauphi |
| Aufgabe | 40% aller Ehen in Deutschland sind kinderlos. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 182 auf gut Glück gewählten Ehepaaren höchstens 80 kinderlose?
Benutzen Sie als Näherung die Normalverteilung (Satz von Moivre-Laplace) und begründen Sie, warum diese Näherung hier erlaubt ist. |
Ahoi,
also die bisherigen Posts über Aufgabe 2 fand ich etwas verwirrend, habe mich nochmal mit diesem Satz von Moivre-Laplace auseinandergesetzt und nun einen anderen Weg zur Lösung genommen ...
Zuerst mal einige Zahlen festlegen:
n=182
p=0.4
[mm] \mu=n*p=182*0.4=72.8
[/mm]
[mm] \sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}=6.609
[/mm]
[mm] \mu [/mm] ist mein Erwartungswert und [mm] \sigma [/mm] die Varianz ...
Der Satz von Moire-Laplace sagt aus, dass man, falls folgende zwei Bedingungen erfüllt sind, man eine gute Näherung machen kann:
n*p>5 = 72.8>5
und
n(1-p)>5 = 109.2>5
Da beide Werte größer 5 sind, kann ich die folgende Näherung nehmen:
[mm] P(X{\le}s)\approx\phi(\bruch{s-\mu+0.5}{\sigma})
[/mm]
Eingesetzt würde das bedeuten:
[mm] P(X{\le}80)\approx\phi(\bruch{80-72.8+0.5}{6.609})
[/mm]
[mm] \approx\phi(1.165)
[/mm]
[mm] \approx0.877
[/mm]
Somit wäre meine Antwort die folgende:
Bei zufälligen 182 ausgewählten Ehepaaren ist die Wahrscheinlichkeit ca. 87,7%, dass höchstens 80 Ehen kinderlos sind.
Und die Näherung ist in diesem Fall erlaubt, weil die beiden Bedingungen erfüllt sind, die Moire-Laplace da festgelegt hat.
Ist meine Interpretation der Aufgabe und die Lösung korrekt?
Danke für Infos
Gruß
Andi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Sa 22.03.2008 | | Autor: | koepper |
Guten morgen und frohe Ostern 
> 40% aller Ehen in Deutschland sind kinderlos. Mit welcher
> Wahrscheinlichkeit befinden sich unter 182 auf gut Glück
> gewählten Ehepaaren höchstens 80 kinderlose?
> Benutzen Sie als Näherung die Normalverteilung (Satz von
> Moivre-Laplace) und begründen Sie, warum diese Näherung
> hier erlaubt ist.
> n=182
> p=0.4
> [mm]\mu=n*p=182*0.4=72.8[/mm]
> [mm]\sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}=6.609[/mm]
>
> [mm]\mu[/mm] ist mein Erwartungswert und [mm]\sigma[/mm] die Varianz ...
>
> Der Satz von Moire-Laplace sagt aus, dass man, falls
> folgende zwei Bedingungen erfüllt sind, man eine gute
> Näherung machen kann:
>
> n*p>5 = 72.8>5
>
> und
>
> n(1-p)>5 = 109.2>5
>
> Da beide Werte größer 5 sind, kann ich die folgende
> Näherung nehmen:
da gibt es unterschiedliche Kriterien, was eine "gute" Näherung ist...
>
> [mm]P(X{\le}s)\approx\phi(\bruch{s-\mu+0.5}{\sigma})[/mm]
>
> Eingesetzt würde das bedeuten:
>
> [mm]P(X{\le}80)\approx\phi(\bruch{80-72.8+0.5}{6.609})[/mm]
>
> [mm]\approx\phi(1.165)[/mm]
>
> [mm]\approx0.877[/mm]
was du machst ist im Prinzip OK, aber du rundest falsch.
richtig ist hier ziemlich genau 0.878 für die Näherung.
Die exakte Lösung per Binomialverteilung ist übrigens ca. 0.87768952.
LG
Will
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