Wahrscheinlichkeiten Poker < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 So 10.01.2010 | | Autor: | MichiLL |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe eine sehr wichtige Frage, da es sich um meine Facharbeit handelt...
Ich bin gerade dabei die Grundwahrscheinlichkeiten beim Texas Hold'em Poker zu berechnen und gerate nun seit Wochen ins stocken, da ich ertens nur eine Seite zum Rechenweg im Internet gefunden habe, und zweitens diese nur auf englisch ist....:
http://www.math.sfu.ca/~alspach/comp20/
Auf die Wahrscheinlichkeiten von Royale Flush, Straight Flush, Vierling, Full House und Paar (http://de.wikipedia.org/wiki/Hand_%28Poker%29) bin ich noch gekommen, die sind ja nicht sonderlich schwer.
Flush Straße, Drilling, 2Paare und High Card verstehe ich den Rechenweg ums verrecken nicht......
Es wäre nett wenn sich ein schlauer Mensch mit ein bisschen Zeit mal die Internetaddresse anschauen würde, und mir gegebenfalls einige Sachen erklären könnte!
Danke schoneinmal im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 11.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Auf die Wahrscheinlichkeiten von Royale Flush, Straight
> Flush, Vierling, Full House und Paar
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Hand_%28Poker%29) bin ich
> noch gekommen, die sind ja nicht sonderlich schwer.
Im Wiki-Artikel sind die Wahrscheinlichkeiten von 5er-Händen berechnet, aber Du hast beim Texas Hold'em ja sieben Karten, aus denen Du die besten 5 wählst. Dadurch verändern sich die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Hände. Ich weiss nicht, ob Du das berücksichtigt hast.
> Ich bin gerade dabei die Grundwahrscheinlichkeiten beim
> Texas Hold'em Poker zu berechnen und gerate nun seit Wochen
> ins stocken, da ich ertens nur eine Seite zum Rechenweg im
> Internet gefunden habe, und zweitens diese nur auf englisch
> ist....:
>
> http://www.math.sfu.ca/~alspach/comp20/
>
> Flush Straße, Drilling, 2Paare und High Card verstehe ich
> den Rechenweg ums verrecken nicht......
Ok, ich erkläre mal das generelle Prinzip der Seite: Es wird davon ausgegangen, dass die spezielleren Kartenkombinationen (also auch die wertvolleren) leichter abzuzählen sind. Zum einen gibt es weniger davon, zum anderen macht es nichts, wenn auch eine andere Kartenkombination drin ist, weil trotzdem nur die Höhere zählt.
Als Beispiel stell Dir folgende 7 Karten vor: HA, HK, HD, HB, H10, KaA, PA
(H = Herz, Ka = Karo, Kr = Kreuz, P = Pik)
Hier hast Du einen Royal Flush und dazu noch einen Drilling. Da der Royal Flush höher ist, zählt das Blatt als solcher, obwohl auch ein Drilling dabei ist. Das hat den Vorteil, dass er leichter berechnet werden kann, aber den Nachteil, dass Du, wenn Du Drillinge berechnest, nur Kartenkombinationen zählen darfst, in denen kein Royal Flush (oder andere bessere Kombinationen) auftreten.
In dem Artikel wird nun beim Straight Flush die höchste Karte der Straße betrachtet, von dieser aus müssen vier Karten in passender Reihenfolge und Farbe kommen. Das bedeutet, dass als höchste Karte nur die 10 Ränge Ass bis 5 in Frage kommen, mit 4 und weniger als höchste Karte kann man keine Straße bilden.
Die letzten beiden Karten sind egal, aber keine davon darf die nächsthöhere Karte im Straight Flush sein.
Wenn du also P7, P6, P5, P4, P3, X, Y hast, sind X und Y beliebig, sie dürfen nur nicht P8 sein (sonst hätte die Straße einen höheren Kicker).
Gemäß dem Artikel gibt es mit dem Ass als höchster Karte je Farbe eine Möglichkeit, einen Straight Flush zu bilden, und die letzten beiden Karte können beliebig aus 47 Karten gewählt werden, also gibt es [mm] $4*\vektor{47 \\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten für einen Royal Flush.
Für einen normalen Straight Flush kann man noch König bis 5 als höchste Karte wählen, es gibt also je Farbe 9 Möglichkeiten. Die letzten beiden Karten sind beliebig, nur die Karte, die die Straße nach oben vergrößern würde, ist ausgeschlossen, also gibt es hier [mm] $4*9*\vektor{46 \\ 2}$$ [/mm] Möglichkeiten für einen Straight- aber keinen Royal Flush.
Ich skizziere noch den Drilling:
Um einen Drilling zu haben, müssen im 7er-Blatt fünf verschiedene Ränge auftauchen, sind es nur vier, hat man entweder einen Vierling oder ein Full House (oder beides).
Die Anzahl der Möglichkeiten, 5 verschiedene Ränge aus 13 Rängen auszuwählen, ist [mm] $\vektor{13 \\ 5}$.
[/mm]
Die Ränge dürfen aber nicht aufeinanderfolgen, sonst liegt eine Straight vor (das passiert laut dem Link in 10 Fällen, also haben wir 10 Möglichkeiten weniger, um einen Drilling zu bilden).
Jetzt haben wir also 5 Ränge und keine Straße in unserem 7er-Blatt.
Aus diesen 5 Rängen muss einer für den Drilling ausgewählt werden (5 Möglichkeiten), und der Drilling besteht aus drei von vier Karten desselben Ranges (4 Möglichkeiten).
Die restlichen 4 Karten können von einer beliebigen Farbe sein [mm] ($4^4$ [/mm] Möglichkeiten), jedoch dürfen nicht alle in einer der drei Farben sein, die beim Drilling vorkommt, sonst liegt ja ein Flush vor (3 Möglichkeiten weniger).
Multipliziert man nun alle Zwischenwerte auf, so kommt man für die Anzahl der Möglichkeiten, einen Drilling (und nichts besseres) zu erreichen, auf
[mm] $\left(\vektor{13 \\ 5}-10\right)\cdot 5\cdot 4\cdot \left(4^{4}-3\right)$.
[/mm]
So, ich hoffe, Du kommst mit diesen Erklärungen selbstständig weiter und ich wünsche Dir viel Erfolg für die Facharbeit.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Mi 13.01.2010 | | Autor: | MichiLL |
Suuuuuper! das hat mir schon sehr geholfen!!
Danke!!!!
Was ich aber noch nicht verstehe ist der Flush...
also klar ich habe 7 aus 13 möglichkeiten, das ist ja einfach
Doch dann wird hier auf einmal mit (x-1 x-2 ...) argumentiert, und ich versteh nicht was das soll?
Genauso bei der Wahrscheinlichkeit der Straße wird hier das gleiche Argumentationsschema benutzt und ich verstehe, vor allem wegen dem Englisch, nicht was damit gemeint ist....
Es wäre toll wenn du mir das nocheinmal erklären könntest!
Ich habe jetzt schon alle wahrscheinlichkeiten, bis auf Flush, Straße, "paare und High Card verstanden!
Nochmals Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Mi 13.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Die Formel für die Straße kommt in der Formel für den Flush vor, weil Du "nur" Flushs zählen willst und nichts besseres. Und wenn Du mit dem Flush noch 5 aufeinanderfolgende Ränge hast, hast Du bereits einen Straight Flush, also eine Hand mit einer ganz anderen Wertigkeit. Deswegen musst Du von der Anzahl der Möglichkeiten, mindestens 5 Karten derselben Farbe zu haben, die Anzahl an Möglichkeiten abziehen, dass dabei eine Straße rauskommt.
Hier werden jetzt unabhängig voneinander die Flushs gezählt, in dem das 7er-Blatt aus 7 Karten derselben Farbe besteht (minus Straßen), die, in denen das Blatt aus 6 Karten derselben Farbe besteht (minus Straßen) und die, in denen das Blatt aus 5 Karten derselben Farbe besteht (wieder minus Straßen).
Wenn Du zu einem speziellen Satz oder Abschnitt fragen bezüglich der Übersetzung hast, sag Bescheid.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:09 Do 14.01.2010 | | Autor: | Sabinchen91 |
Hey At-Colt,
ich bin zufällig auf diesen Artikel gestossen!
Könntest du die Rechnungen von den anderen Kombinationen verfassen?
Ich war zwar auch auf dieser Englisch Seite versteh da aber nicht gerade viel!
Würde mich sehr dafür Interessieren,wäre also superlieb von dir!
Liebste Grüße
Sabinchen91
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Do 14.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Hi Sabinchen91,
ich würde gerne noch etwas warten, um MichiLL die Möglichkeit zu geben, sich selbst noch mit dem Thema zu beschäftigen und es selbst zu erarbeiten.
Der Text ist eigentlich nicht so schwer zu verstehen, folgendes sind wichtige Ausdrücke, die im Text vorkommen:
rank = Rang (2 bis Ass); distinct ranks = unterschiedliche Ränge (Ass, König, König wären zwei unterschiedliche Ränge), consecutive ranks = aufeinanderfolgende Ränge (5, 6, 7, 8, generell alles, was in Richtung Straße geht)
suit = Farbe (Herz, Karo, Pik, Kreuz), matching suits = gleiche Farben (alles, was in Richtung Flush geht)
Wie der Text aufgebaut ist, habe ich ja schon beschrieben.
Gruß,
AT-Colt
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Hey,
ok Dankeschön!Schade, per PM könntest du sie mir auch nicht zusenden?
Liebe Grüße,
Sabinchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Fr 22.01.2010 | | Autor: | MichiLL |
| Aufgabe | | We want to remove the sets of ranks which include 5 consecutive ranks (that is, we are removing straight possibilities). There are 8 rank sets of the form [mm] $\{x,x+1,x+2,x+3, x+4,x+5,x+6\}$. [/mm] Another form to eliminate is [mm] $\{x,x+1,x+2,x+3,x+4, x+5,y\}$, [/mm] where y is neither x-1 nor x+6. If x is ace or 9, there are 6 choices for y. If x is any of the other 7 possibilities, there are 5 possibilities for y. This produces [mm] $(2\cdot 6)+(7\cdot [/mm] 5)=47$sets with 6 consecutive ranks. Finally, the remaining form to eliminate is [mm] $\{x,x+1,x+2,x+3,x+4,y,z\}$, [/mm] where neither y nor z is allowed to take on the values x-1 or x+5. If x is either ace or 10, then y,z are being chosen from a 7-subset. If x is any of the other 8 possible values, then y,z are being chosen from a 6-set. Hence, the number of rank sets being excluded in this case is [mm] $2{{7}\choose{2}}+ 8{{6}\choose{2}}=162$. [/mm] |
ich hab mich jetzt echt versucht reinzuarbeiten.....
zB ich will 7 karten gleicher Farbe, also [mm] \vektor{13\\7} [/mm] möglichkeiten, und mir ist auch klar, dass ich dann sie Straßen abziehen muss, um keine Straight Flush zu bekommen.
Für die Straße der Länge 7 wären dass dan, so wie ich es zumindestens verstanden hab, 8 möglichkeiten
Für die Länge 5 2x(2 aus 7)+8x(2 aus 6) also 162 möglichkeiten
Für die Länge 6 (2x6)+(7x5), also 47 Möglichkeiten
Ich verstehe einfach die Berechnung der Straßen nicht, und weiß nicht wie ich das in meiner Facharbeit erklären soll....
Hoffentlich kannst du mir helfen, wäre toll!!!!
also ich blick jetzt echt gar nicht mehr durch, könntest du mir den gesamten Rechenweg von Straße und Flush erklären, bin echt am verzweifeln, und andere Internetquellen gibt es leider nicht.....
Danke Danke!!!
und es geht noch weiter:
bei 2Pairs versteh ich alles außer den ltzten abschitt, wo sich der autor wieder au die Berechnung des Flushes bezieht:
" The remaining cards of the other 3 ranks may be assigned any of 4 suits, but we must remove assignments which result in flushes. This results in exactly the same consideration for the overlap of the suits of the two pairs as in the final case for flushes above. We then obtain
[mm] \begin{displaymath}1,277\cdot 10(6\cdot 62+24\cdot 63+6\cdot 64)= 28,962,360\end{displaymath} [/mm] "
wi kommt er auf die Möglichkeiten der 2 restlichen Karten und warum???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 24.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ok, wir befinden uns nun im Fall, dass alle 7 Karten dieselbe Farbe haben, wir wollen Flushs berechnen, dazu müssen wir wissen, ob uns Straßen die Tour vermasseln, weil damit ein höherwertiges Blatt entstehen würde. Das hast Du ja richtig gesagt.
> ich hab mich jetzt echt versucht reinzuarbeiten.....
> zB ich will 7 karten gleicher Farbe, also [mm]\vektor{13\\7}[/mm]
> möglichkeiten, und mir ist auch klar, dass ich dann sie
> Straßen abziehen muss, um keine Straight Flush zu
> bekommen.
>
> Für die Straße der Länge 7 wären dass dan, so wie ich
> es zumindestens verstanden hab, 8 möglichkeiten
Genau, nämlich {Ass, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ... , {8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass}
> Für die Länge 6 (2x6)+(7x5), also 47 Möglichkeiten
Straßen der Länge genau 6 sind - wie im Text angegeben - die Rangfolgen [mm] $\{x,x+1,x+2,x+3,x+4,x+5,y\}$, [/mm] wobei $y$ nicht $x-1$ oder $x+6$ sein darf. (Warum?)
Wenn das $x$ ein Ass ist, hast Du die Folge {Ass, 2, 3, 4, 5, 6, y}, ein König würde nichts machen (keine "Straße über Eck"), also musst Du nur $y = 7$ ausschließen.
Wenn das $x$ die $9$ ist, hast Du die Folge {9, 10, Bube, Dame, König, Ass, y}, die $2$ würde nichts machen, also musst Du nur $y = 8$ ausschließen.
Was ist, wenn $x$ weder Ass noch $9$ ist, also entweder $2$, $3$, ... , $8$?
> Für die Länge 5 2x(2 aus 7)+8x(2 aus 6) also 162 möglichkeiten
Straßen der Länge genau 5 sind Rangfolgen der Form [mm] $\{x,x+1,x+2,x+3,x+4,y,z\}$, [/mm] wobei weder $y$ noch $z$ die Ränge $x-1$ oder $x+5$ haben dürfen. (Warum?)
Analog zu oben musst Du Dir jetzt überlegen, was los ist, wenn $x$ ein Ass oder eine $10$ ist, und was ist, wenn $x$ eine Karte von $2$ bis $9$ ist. Wieviele Karten fallen in den zwei verschiedenen Fällen für die Wahl von $y$ und $z$ weg, wieviele Möglichkeiten gibt es also noch, $y$ und $z$ zu wählen?
> Ich verstehe einfach die Berechnung der Straßen nicht, und
> weiß nicht wie ich das in meiner Facharbeit erklären soll....
>
> Hoffentlich kannst du mir helfen, wäre toll!!!!
Ich hoffe, das hier macht die Berechnung der Straßen (im Falle eines Flushes mit 7 Karten derselben Farbe) etwas klarer. Normalerweise kann man etwas, das man verstanden hat, auch erklären. Deswegen liegt mein Hauptfokus darauf, dass Du die Berechnung nachvollziehst.
> also ich blick jetzt echt gar nicht mehr durch, könntest
> du mir den gesamten Rechenweg von Straße und Flush
> erklären, bin echt am verzweifeln, und andere
> Internetquellen gibt es leider nicht.....
Fangen wir mit dem Flush an, weil wir oben schon einen Teil davon berechnet haben:
Wir haben oben einen Flush aus einem 7er Blatt, in dem alle 7 Karten dieselbe Farbe haben. Es gibt vier Möglichkeiten, diese Farbe zu wählen und [mm] $\vektor{13 \\7}$ [/mm] Möglichkeiten, die 7 Ränge der Karten in dieser Farbe auszuwählen. Abziehen müssen wir nun alle Möglichkeiten, in denen eine Straße der Länge 7, der Länge 6 und der Länge 5 enthalten sind, weil sonst ein Straight Flush entsteht. Deswegen mussten wir hier Straßenmöglichkeiten berechnen.
Ein Flush entsteht aber auch, wenn sich im 7er Blatt nur 6 Karten dieselbe Farbe teilen. Dann gibt es 4 Möglichkeiten, die Flushfarbe zu wählen, 3 Möglichkeiten, die Farbe der letzten Karte zu wählen, 13 mögliche Ränge für die letzte Karte und [mm] $\vektor{13 \\ 6}$ [/mm] Möglichkeiten, die Ränge der Karten innerhalb des Flushes zu wählen. Straßen der Länge 7 können innerhalb des Flushes logischerweise nicht entstehen, also müssen diese nicht abgezogen werden. Stattdessen können aber Straßen der Länge 6 und 5 auftreten, die wir ausschließen müssen. Die Anzahl der Möglichkeiten dafür berechnet sich völlig analog zu oben, wobei Du diesmal aber nicht 7 Karten in der Rangfolge berücksichtigst, sondern 6. (Warum? Mach die Rechnung dann bitte mal vor.)
Bleibt noch die Möglichkeit, dass das 7er Blatt genau 5 Karten derselben Farbe enthält. Dann gibt es wieder 4 Möglichkeiten, die Flushfarbe zu wählen, [mm] $\vektor{39 \\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten, die anderen zwei Karten ausserhalb der Flushfarbe zu wählen und [mm] $\vektor{13 \\ 5}$ [/mm] Möglichkeiten, die Ränge der Karten innerhalb des Flushes zu wählen. Diesmal können keine Straßen der Länge 7 und 6 im Flush auftreten, sondern höchstens solche der Länge 5. Wieviele Möglichkeiten für solche Straßen gibt es? Mit Begründung bitte.)
Wenn Du nun die Anzahl der resultierenden Flushes aufaddierst, erhälst Du genau die Gesamtanzahl an Händen, die einen Flush und nichts besseres ergeben.
Beachte die Reihenfolge, in der hier spezifiziert wurde: Erst wurden die Farben gewählt, dann die Ränge innerhalb der Farben. Für die Straßen machen wir es jetzt genau umgekehrt: Wir geben uns Rangfolgen vor und achten dann darauf, dass nicht auch noch ein Flush entsteht.
Im Fall von 7 Karten derselben Farbe im 7er Blatt hatten wir weiter oben die Möglichkeiten berechnet, nach denen eine Straße der Länge 7, 6 oder 5 im Blatt enthalten ist, wobei alle Karten von unterschiedlichem Rang sind.
Es gibt 4 Möglichkeiten für einen Flush, wenn alle 7 Karten von derselben Farbe sind, [mm] $4\cdot 3\cdot [/mm] 7 = 84$ Möglichkeiten, dass genau 6 Karten von derselben Farbe sind (Warum?) und [mm] $\vektor{7 \\ 5}\cdot 4\cdot [/mm] 9 = 756$ Möglichkeiten, dass genau 5 Karten von derselben Farbe sind. (Warum?)
All diese Möglichkeiten für Flushes müssen von den [mm] $4^7 [/mm] = 16.384$ Möglichkeiten, 7 Karten in beliebigen Farben zu wählen, abgezogen werden. Dann gibt es [mm] $217\cdot [/mm] 15.540 = 3.372.180$ Möglichkeiten für eine Straße, wenn das 7er Blatt aus 7 verschiedenen Rängen besteht.
Was ist, wenn das 7er Blatt nur aus 6 verschiedenen Rängen besteht? (Wenn also ein Paar dabei ist.) Dann haben wir oben bei den 6er Flushes schon die Anzahl an Möglichkeiten ausgerechnet, die 6 verschiedene Ränge in 7 Karten haben, die auch eine Straße enthalten.
Es gibt 6 Möglichkeiten, den Rang des Paares zu wählen und [mm] $\vektor{4 \\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten, zwei Karten des Ranges zu diesem Paar zusammenzustellen. Die restlichen 5 Karten dürfen weder alle von derselben Farbe sein (4 Möglichkeiten), noch dürfen 4 Karten dieselbe Farbe haben, die auch eine Karte im Paar hat. [mm] ($5\cdot 2\cdot [/mm] 3$ Möglichkeiten, warum? Bitte begründen)
Die 5 Karten, die nicht zum Paar gehören, haben also noch [mm] $4^5 [/mm] - 34 = 990$ Möglichkeiten, gewählt zu werden, so dass kein Flush entsteht. Das ergibt [mm] $71\cdot 36\cdot [/mm] 990 = 2.530.440$ Möglichkeiten für eine Straße aus einem 7er Blatt mit 6 verschiedenen Rängen.
Bleiben noch Straßen aus einem 7er Blatt mit 5 verschiedenen Rängen. Solche Blätter enthalten entweder noch einen Drilling oder zwei Paare. Wir wir aus dem Falle des 5er Flushes wissen, gibt es 10 Möglichkeiten, dass sich aus 5 verschiedenen Rängen eine Straße ergibt.
Betrachten wir zunächst den Drilling.
Es gibt 5 Möglichkeiten, den Rang des Drillings zu wählen und [mm] $\vektor{4 \\ 3}$ [/mm] Möglichkeiten, 3 der 4 Karten dieses Ranges zu wählen. Die anderen 4 Karten können von beliebiger Farbe sein, sie dürfen nur nicht alle gleichzeitig von einer (und derselben) Farbe sein wie eine Karte des Drillings. Das lässt [mm] $4^4 [/mm] -3 = 253$ Möglichkeiten, die Farben der 4 Karten ausserhalb des Drillings zu wählen. Insgesamt sind das dann [mm] $10\cdot 5\cdot 4\cdot [/mm] 253 = 50.600$ mögliche Straßen, die einen Drilling enthalten.
Kommen wir nun zum abschließenden Fall von 5 verschiedenen Rängen, die eine Straße bilden und zusätzlich zwei Paare enthalten. (Dies sollte der Fall sein, auf den bei der Berechnung der Zwei Paare verwiesen wird!)
Es gibt [mm] $\vektor{5 \\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten, die Ränge der zwei Paare zu wählen und für jedes Paar [mm] $\vektor{4 \\ 2}$ [/mm] Möglichkeiten, 2 aus 4 Karten für das Paar zu wählen.
Jetzt wird es etwas komplizierter, das Konzept ist folgendes: Die letzten 3 Karten können von der Farbe her beliebig sein [mm] ($4^3 [/mm] = 64), aber nicht alle von derselben Farbe, die in beiden Paaren auftaucht. Deshalb müssen wir uns überlegen, wie die zwei Paare und ihre Farben korrespondieren.
Es gibt (wie oben berechnet) 36 Möglichkeiten, die Farben der zwei Paare zu wählen. In 6 dieser Möglichkeiten stimmen beide Paare in beiden Farben überein, in 6 Möglichkeiten haben sie komplett unterschiedliche Farben. In den verbliebenen 24 Möglichkeiten stimmen sie in genau einer Farbe überein.
Deshalb müssen die $64$ Möglichkeiten, die Farben der verbliebenen 3 Karten zu wählen, in 6 Fällen um 2 reduziert werden (da die Paare zwei Farben "blockieren"), in 6 Fällen um 0 (da die Paare garkeine Farbe "blockieren") und in 24 Fällen um 1 (da die Paare genau eine Farbe "blockieren").
Dies ergibt [mm] $100(6\cdot [/mm] 62 + [mm] 6\cdot [/mm] 64 + [mm] 24\cdot [/mm] 63) = 226.800$ Möglichkeiten für eine Straße, deren 7er Blatt auch zwei Paare enthält.
Summa Summarum sind das dann $6.180.020$ Möglichkeiten, an eine Straße und nichts Besseres zu kommen.
> Danke Danke!!!
Kannst Du das denn jetzt besser nachvollziehen?
> und es geht noch weiter:
>
> bei 2Pairs versteh ich alles außer den ltzten abschitt, wo
> sich der autor wieder au die Berechnung des Flushes
> bezieht:
Wie gesagt, eigentlich geht es um den letzten Abschnitt der Straße, wo die zwei Paare berechnet wurden.
> " The remaining cards of the other 3 ranks may be assigned
> any of 4 suits, but we must remove assignments which
> result in flushes. This results in exactly the same
> consideration for the overlap of the suits of the two pairs
> as in the final case for flushes above. We then obtain
>
> [mm]\begin{displaymath}1,277\cdot 10(6\cdot 62+24\cdot 63+6\cdot 64)= 28,962,360\end{displaymath}[/mm]
> "
>
> wi kommt er auf die Möglichkeiten der 2 restlichen Karten
> und warum???
s.o.
Im Text sind einige dickmarkierte Fragen, die Dir bei der Erschließung der Lösungen Schrittweise helfen sollten. Es wäre schön, wenn Du sie hier auch beantworten würdest.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 So 24.01.2010 | | Autor: | MichiLL |
> Ok, wir befinden uns nun im Fall, dass alle 7 Karten
> dieselbe Farbe haben, wir wollen Flushs berechnen, dazu
> müssen wir wissen, ob uns Straßen die Tour vermasseln,
> weil damit ein höherwertiges Blatt entstehen würde. Das
> hast Du ja richtig gesagt.
>
> > ich hab mich jetzt echt versucht reinzuarbeiten.....
> > zB ich will 7 karten gleicher Farbe, also
> [mm]\vektor{13\\7}[/mm]
> > möglichkeiten, und mir ist auch klar, dass ich dann sie
> > Straßen abziehen muss, um keine Straight Flush zu
> > bekommen.
> >
> > Für die Straße der Länge 7 wären dass dan, so wie ich
> > es zumindestens verstanden hab, 8 möglichkeiten
>
> Genau, nämlich {Ass, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, ... , {8, 9, 10,
> Bube, Dame, König, Ass}
>
> > Für die Länge 6 (2x6)+(7x5), also 47 Möglichkeiten
>
> Straßen der Länge genau 6 sind - wie im Text angegeben -
> die Rangfolgen [mm]\{x,x+1,x+2,x+3,x+4,x+5,y\}[/mm], wobei [mm]y[/mm] nicht
> [mm]x-1[/mm] oder [mm]x+6[/mm] sein darf. (Warum?)
Weil wenn y=x-1 oder x+6 dann wären es ja Straßen der Länge 7
> Wenn das [mm]x[/mm] ein Ass ist, hast Du die Folge {Ass, 2, 3, 4,
> 5, 6, y}, ein König würde nichts machen (keine "Straße
> über Eck"), also musst Du nur [mm]y = 7[/mm] ausschließen.
> Wenn das [mm]x[/mm] die [mm]9[/mm] ist, hast Du die Folge {9, 10, Bube,
> Dame, König, Ass, y}, die [mm]2[/mm] würde nichts machen, also
> musst Du nur [mm]y = 8[/mm] ausschließen.
> Was ist, wenn [mm]x[/mm] weder Ass noch [mm]9[/mm] ist, also entweder [mm]2[/mm], [mm]3[/mm],
> ... , [mm]8[/mm]?
wenn x weder Ass noch 9 ist gibt es nur 5 Möglichkeiten: die länge der straße ist 6 und die werte um die straße herum müssen noch herausgenommen werden also 13 - (6+2) = 5
Super, jetzt hab ich auch verstanden, warum (2 x 6)+(7X5)
>
> > Für die Länge 5 2x(2 aus 7)+8x(2 aus 6) also 162
> möglichkeiten
>
> Straßen der Länge genau 5 sind Rangfolgen der Form
> [mm]\{x,x+1,x+2,x+3,x+4,y,z\}[/mm], wobei weder [mm]y[/mm] noch [mm]z[/mm] die Ränge
> [mm]x-1[/mm] oder [mm]x+5[/mm] haben dürfen. (Warum?)
Wie oben, weil es sich sonst eine Straße der Länge 6 ergibt
> Analog zu oben musst Du Dir jetzt überlegen, was los ist,
> wenn [mm]x[/mm] ein Ass oder eine [mm]10[/mm] ist, und was ist, wenn [mm]x[/mm] eine
> Karte von [mm]2[/mm] bis [mm]9[/mm] ist. Wieviele Karten fallen in den zwei
> verschiedenen Fällen für die Wahl von [mm]y[/mm] und [mm]z[/mm] weg,
> wieviele Möglichkeiten gibt es also noch, [mm]y[/mm] und [mm]z[/mm] zu
> wählen?
Also y und z dürfen nicht x-1 oder x+5 sein
wenn x ein Ass oder eine 10 ist, gibt es für y und z 7 möglichkeiten, weil straße um die ecke ja nicht gezählt werden, und wenn x (2.....9) ist gibt es eine weniger, also 6 Möglichkeiten
>
> > Ich verstehe einfach die Berechnung der Straßen nicht, und
> > weiß nicht wie ich das in meiner Facharbeit erklären
> soll....
> >
> > Hoffentlich kannst du mir helfen, wäre toll!!!!
>
> Ich hoffe, das hier macht die Berechnung der Straßen (im
> Falle eines Flushes mit 7 Karten derselben Farbe) etwas
> klarer. Normalerweise kann man etwas, das man verstanden
> hat, auch erklären. Deswegen liegt mein Hauptfokus darauf,
> dass Du die Berechnung nachvollziehst.
>
> > also ich blick jetzt echt gar nicht mehr durch, könntest
> > du mir den gesamten Rechenweg von Straße und Flush
> > erklären, bin echt am verzweifeln, und andere
> > Internetquellen gibt es leider nicht.....
>
> Fangen wir mit dem Flush an, weil wir oben schon einen Teil
> davon berechnet haben:
>
>
> Wir haben oben einen Flush aus einem 7er Blatt, in dem alle
> 7 Karten dieselbe Farbe haben. Es gibt vier Möglichkeiten,
> diese Farbe zu wählen und [mm]\vektor{13 \\7}[/mm] Möglichkeiten,
> die 7 Ränge der Karten in dieser Farbe auszuwählen.
> Abziehen müssen wir nun alle Möglichkeiten, in denen eine
> Straße der Länge 7, der Länge 6 und der Länge 5
> enthalten sind, weil sonst ein Straight Flush entsteht.
> Deswegen mussten wir hier Straßenmöglichkeiten
> berechnen.
>
>
> Ein Flush entsteht aber auch, wenn sich im 7er Blatt nur 6
> Karten dieselbe Farbe teilen. Dann gibt es 4
> Möglichkeiten, die Flushfarbe zu wählen, 3
> Möglichkeiten, die Farbe der letzten Karte zu wählen, 13
> mögliche Ränge für die letzte Karte und [mm]\vektor{13 \\ 6}[/mm]
> Möglichkeiten, die Ränge der Karten innerhalb des Flushes
> zu wählen. Straßen der Länge 7 können innerhalb des
> Flushes logischerweise nicht entstehen, also müssen diese
> nicht abgezogen werden. Stattdessen können aber Straßen
> der Länge 6 und 5 auftreten, die wir ausschließen
> müssen. Die Anzahl der Möglichkeiten dafür berechnet
> sich völlig analog zu oben, wobei Du diesmal aber nicht 7
> Karten in der Rangfolge berücksichtigst, sondern 6.
> (Warum? Mach die Rechnung dann bitte mal vor.)
Also bei straßen der Länge 6 muss ich 9 möglichkeiten aussschließen und bei straßen der länge 5 (2 x 7)+(8 x 6)
für die Gesamtrechnung erhalte ich dann :
[mm] \{ \vektor{13 \\ 6}-(9 + (2x7) + (8x6))\} [/mm] x 4 x 3 x [mm] \vektor{13 \\ 1} [/mm] =256.620 Möglichkeiten
>
>
> Bleibt noch die Möglichkeit, dass das 7er Blatt genau 5
> Karten derselben Farbe enthält. Dann gibt es wieder 4
> Möglichkeiten, die Flushfarbe zu wählen, [mm]\vektor{39 \\ 2}[/mm]
> Möglichkeiten, die anderen zwei Karten ausserhalb der
> Flushfarbe zu wählen und [mm]\vektor{13 \\ 5}[/mm] Möglichkeiten,
> die Ränge der Karten innerhalb des Flushes zu wählen.
> Diesmal können keine Straßen der Länge 7 und 6 im Flush
> auftreten, sondern höchstens solche der Länge 5. Wieviele
> Möglichkeiten für solche Straßen gibt es? Mit
> Begründung bitte.)
Für die Straße der Länge 5 gibt es 10 Möglichkeiten, hab ich mit der Formel n-k+1 ausgerechnet, also 13-5+1= 9. Eine Möglichkeit muss man noch extra dazu rechenen, da das Ass sowohl als anfang (A, 2, 3, 4, 5) als auch als Ende (10,B,D,K,A) verwendet werden kann
Dei gesamt Möglichkeiten für diesen Typ des Flushes sind also:
[mm] \{\vektor{13 \\ 5} - 10\} [/mm] x 4 x [mm] \vektor{52-13 \\ 2} [/mm] = 3.785.028 Möglichk.
>
>
> Wenn Du nun die Anzahl der resultierenden Flushes
> aufaddierst, erhälst Du genau die Gesamtanzahl an Händen,
> die einen Flush und nichts besseres ergeben.
>
>
>
> Beachte die Reihenfolge, in der hier spezifiziert wurde:
> Erst wurden die Farben gewählt, dann die Ränge innerhalb
> der Farben. Für die Straßen machen wir es jetzt genau
> umgekehrt: Wir geben uns Rangfolgen vor und achten dann
> darauf, dass nicht auch noch ein Flush entsteht.
>
>
>
> Im Fall von 7 Karten derselben Farbe im 7er Blatt hatten
> wir weiter oben die Möglichkeiten berechnet, nach denen
> eine Straße der Länge 7, 6 oder 5 im Blatt enthalten ist,
> wobei alle Karten von unterschiedlichem Rang sind.
> Es gibt 4 Möglichkeiten für einen Flush, wenn alle 7
> Karten von derselben Farbe sind, [mm]4\cdot 3\cdot 7 = 84[/mm]
> Möglichkeiten, dass genau 6 Karten von derselben Farbe
> sind (Warum?)
Das ist weil man wählt 6 aus 7 Karten der gleichen Farbe, es gibt 4 Möglichk. für die Farbe, dann wählt man 1 aus 1 karte und für diese gibt es dann 3 Möglichk für die Farbe
Das ergibt: [mm] \vektor{7 \\ 6} [/mm] x 4 x [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] x 3 = 7 x 4 x 3
und [mm]\vektor{7 \\ 5}\cdot 4\cdot 9 = 756[/mm]
> Möglichkeiten, dass genau 5 Karten von derselben Farbe
> sind. (Warum?)
Genau wie oben, nur statt der 3 eine 3 hoch 2, weil noch 2 Karten übrig sind
[mm] \vektor{7 \\ 5} [/mm] x 4 x [mm] \vektor{2 \\ 2} [/mm] x [mm] 3^{2} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 5} [/mm] x 4 x 9
> All diese Möglichkeiten für Flushes müssen von den [mm]4^7 = 16.384[/mm]
> Möglichkeiten, 7 Karten in beliebigen Farben zu wählen,
> abgezogen werden. Dann gibt es [mm]217\cdot 15.540 = 3.372.180[/mm]
> Möglichkeiten für eine Straße, wenn das 7er Blatt aus 7
> verschiedenen Rängen besteht.
>
>
> Was ist, wenn das 7er Blatt nur aus 6 verschiedenen Rängen
> besteht? (Wenn also ein Paar dabei ist.) Dann haben wir
> oben bei den 6er Flushes schon die Anzahl an Möglichkeiten
> ausgerechnet, die 6 verschiedene Ränge in 7 Karten haben,
> die auch eine Straße enthalten.
> Es gibt 6 Möglichkeiten, den Rang des Paares zu wählen
> und [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten, zwei Karten des Ranges
> zu diesem Paar zusammenzustellen. Die restlichen 5 Karten
> dürfen weder alle von derselben Farbe sein (4
> Möglichkeiten), noch dürfen 4 Karten dieselbe Farbe
> haben, die auch eine Karte im Paar hat. ([mm]5\cdot 2\cdot 3[/mm]
> Möglichkeiten, warum? Bitte begründen)
Ich wähle ja 4 aus 5 Karten aus, die jeweils die selbe Farbe haben sollen.
Es gibt 2 Möglichkeiten für die Farbe, da die 4 Karten genau die Farbe wie eine Karte des Paares haben sollen
Für die Fünfte Karte gibt es schließlich noch 3 Farb-Möglichkeiten.
Es ergibt sich:
[mm] \vektor{5 \\ 4} [/mm] x 2 x 3= 5 x 2 x 3
> Die 5 Karten, die nicht zum Paar gehören, haben also noch
> [mm]4^5 - 34 = 990[/mm] Möglichkeiten, gewählt zu werden, so dass
> kein Flush entsteht. Das ergibt [mm]71\cdot 36\cdot 990 = 2.530.440[/mm]
> Möglichkeiten für eine Straße aus einem 7er Blatt mit 6
> verschiedenen Rängen.
>
>
> Bleiben noch Straßen aus einem 7er Blatt mit 5
> verschiedenen Rängen. Solche Blätter enthalten entweder
> noch einen Drilling oder zwei Paare. Wir wir aus dem Falle
> des 5er Flushes wissen, gibt es 10 Möglichkeiten, dass
> sich aus 5 verschiedenen Rängen eine Straße ergibt.
>
>
> Betrachten wir zunächst den Drilling.
> Es gibt 5 Möglichkeiten, den Rang des Drillings zu
> wählen und [mm]\vektor{4 \\ 3}[/mm] Möglichkeiten, 3 der 4 Karten
> dieses Ranges zu wählen. Die anderen 4 Karten können von
> beliebiger Farbe sein, sie dürfen nur nicht alle
> gleichzeitig von einer (und derselben) Farbe sein wie eine
> Karte des Drillings. Das lässt [mm]4^4 -3 = 253[/mm]
> Möglichkeiten, die Farben der 4 Karten ausserhalb des
> Drillings zu wählen. Insgesamt sind das dann [mm]10\cdot 5\cdot 4\cdot 253 = 50.600[/mm]
> mögliche Straßen, die einen Drilling enthalten.
>
>
> Kommen wir nun zum abschließenden Fall von 5 verschiedenen
> Rängen, die eine Straße bilden und zusätzlich zwei Paare
> enthalten. (Dies sollte der Fall sein, auf den bei der
> Berechnung der Zwei Paare verwiesen wird!)
> Es gibt [mm]\vektor{5 \\ 2}[/mm] Möglichkeiten, die Ränge der
> zwei Paare zu wählen und für jedes Paar [mm]\vektor{4 \\ 2}[/mm]
> Möglichkeiten, 2 aus 4 Karten für das Paar zu wählen.
> Jetzt wird es etwas komplizierter, das Konzept ist
> folgendes: Die letzten 3 Karten können von der Farbe her
> beliebig sein [mm]($4^3[/mm] = 64), aber nicht alle von derselben
> Farbe, die in beiden Paaren auftaucht. Deshalb müssen wir
> uns überlegen, wie die zwei Paare und ihre Farben
> korrespondieren.
> Es gibt (wie oben berechnet) 36 Möglichkeiten, die Farben
> der zwei Paare zu wählen. In 6 dieser Möglichkeiten
> stimmen beide Paare in beiden Farben überein, in 6
> Möglichkeiten haben sie komplett unterschiedliche Farben.
> In den verbliebenen 24 Möglichkeiten stimmen sie in genau
> einer Farbe überein.
> Deshalb müssen die [mm]64[/mm] Möglichkeiten, die Farben der
> verbliebenen 3 Karten zu wählen, in 6 Fällen um 2
> reduziert werden (da die Paare zwei Farben "blockieren"),
> in 6 Fällen um 0 (da die Paare garkeine Farbe
> "blockieren") und in 24 Fällen um 1 (da die Paare genau
> eine Farbe "blockieren").
> Dies ergibt [mm]100(6\cdot 62 + 6\cdot 64 + 24\cdot 63) = 226.800[/mm]
> Möglichkeiten für eine Straße, deren 7er Blatt auch zwei
> Paare enthält.
>
>
> Summa Summarum sind das dann [mm]6.180.020[/mm] Möglichkeiten, an
> eine Straße und nichts Besseres zu kommen.
>
> > Danke Danke!!!
>
> Kannst Du das denn jetzt besser nachvollziehen?
>
> > und es geht noch weiter:
> >
> > bei 2Pairs versteh ich alles außer den ltzten abschitt, wo
> > sich der autor wieder au die Berechnung des Flushes
> > bezieht:
>
> Wie gesagt, eigentlich geht es um den letzten Abschnitt der
> Straße, wo die zwei Paare berechnet wurden.
>
> > " The remaining cards of the other 3 ranks may be assigned
> > any of 4 suits, but we must remove assignments which
> > result in flushes. This results in exactly the same
> > consideration for the overlap of the suits of the two pairs
> > as in the final case for flushes above. We then obtain
> >
> > [mm]\begin{displaymath}1,277\cdot 10(6\cdot 62+24\cdot 63+6\cdot 64)= 28,962,360\end{displaymath}[/mm]
> > "
> >
> > wi kommt er auf die Möglichkeiten der 2 restlichen Karten
> > und warum???
>
> s.o.
>
> Im Text sind einige dickmarkierte Fragen, die Dir bei der
> Erschließung der Lösungen Schrittweise helfen sollten. Es
> wäre schön, wenn Du sie hier auch beantworten würdest.
>
> Gruß,
>
> AT-Colt
>
Suuuuper!!! also den Flush hab ich komplett verstanden, und ich hoffe, dass da auch meine Antworten stimmen, bei der Straße hab ich eigentlich auch alles verstanden, nur i den letzten Teil muss ich mich nochmal reindenken und dann schaun ob ich die Berechnung von 2 Paaren auch schaff....sonst meld ich mich halt nochmal =)
Aber ich denke schon dass ich das hinkrieg, du ast das wirklich gut erklärt!!
Danke und liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 24.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Super, sieht gut aus. Immer schön schrittweise, dann solltest Du da durchkommen. Und für Fragen sind wir ja hier da ^^;
Gruß,
AT-Colt
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