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| Aufgabe | Die Abteilung eines Maschinenbauunternehmens stellt Großanlagen eines
bestimmten Typs her. Die Wahrscheinlichkeiten, dass im Geschäftsjahr eine
bestimmte Anzahl von Anlagen abgesetzt werden kann, haben folgende Werte:
Anlagenzahl 0 1 2 3 4 5
Wahrscheinlichkeit 0.05 0.15 0.25 0.30 0.15 0.10
Die Kosten der Abteilung belaufen sich auf 1 000 000 GE Fixkosten und variable
Kosten in Höhe von 500 000 GE je gebauter Anlage. Der Erlös pro abgesetzter
Anlage beträgt 1 000 000 GE.
Berechnen Sie die Standardabweichung des Gewinns! (auf ganze Zahlen runden)
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Hallo!
Ich habe E(x)=325000 bekommen.
Nun stehe ich total auf der Seife, wenn es darum geht, [mm] E(x^2) [/mm] zu berechnen.
Was muss ich da alles mit einbeziehen?
Ich hab ja die Formel (-500000*x-1000000)+(1000000*x) aufgestellt.
Nur: kann mir bitte hier jemand sagen, was ich da jetzt genau quadrieren muss?
Wäre super, vielen Dank im Voraus!
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Nur nicht verwirren lassen - du musst nur die richtige Formel benutzen:
[mm]E(X^2)=x_1^2*P(X=x_1)+x_2^2*P(X=x_2)+...+x_n^2*P(X=x_n)[/mm]
bzw. in Summenschreibweise:
[mm]E(X^2) = \summe_{i=1}^{n}x_i^2*P(X=x_i)[/mm]
Wenn du dir die Herleitung der Formel [mm]E(X^2) - E(X)^2[/mm] für die Varianz anschaust, dann erklärt sich diese Berechnungs-Formel für [mm]E(X^2)[/mm] von selbst. Du quadrierst also nur die Werte, die die Zufallsgröße X annehmen kann, musst aber auf alle Fälle "neu" rechnen und kannst deinen berechneten Erwartungswert nicht dafür verwenden.
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Danke. Aber was heißt das jetzt konkret?
Muss ich [mm] ((-500000*x^2-1000000)+(1000000*x^2))*P(x) [/mm] aufsummieren?
Ich hab schon alle Varianten durchprobiert und komme immer nur auf unrealisitische Ergebnisse.
Könntest du mir oder sonst wer das bitte mal so anschreiben, wie ich zu rechnen habe?
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> Danke. Aber was heißt das jetzt konkret?
>
> Muss ich [mm]((-500000*x^2-1000000)+(1000000*x^2))*P(x)[/mm]
> aufsummieren?
Hallo Justus,
ich würde mal alles etwas kürzer notieren. Das
schafft Übersichtlichkeit.
Sei k die Anzahl der gebauten und abgesetzten
Anlagen, p(k) die entsprechende Wahrscheinlich-
keit und G(k) der entsprechende Gewinn.
Es ist
$\ G(k)\ =\ [mm] \left(\bruch{k}{2}-1\right)*10^6$
[/mm]
also
$\ [mm] (G(k))^2\ [/mm] =\ [mm] \left(\bruch{k}{2}-1\right)^2*10^{12}$
[/mm]
und
$\ [mm] E\left(G^2\right)\ [/mm] =\ [mm] 10^{12}*\summe_{k=0}^{5}p(k)*\left(\bruch{k}{2}-1\right)^2$
[/mm]
$\ =\ [mm] 10^{12}*\left(0.05*(-1)^2+0.15*(-0.5)^2+\,.....\,+0.1*(1.5)^2\right)$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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Entschuldige, aber das versteh ich nicht.
Kannst bitte doch meine Notation verwenden?
Es geht mir da ums Verständnis.....und umformen kann man's ja immer noch.
Bitte sei so gut und sag mir, wo ich in meiner Erlösfunktion das x zu quadrieren habe, dass es passt.
Herzlichen Dank für deine Mühe!
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> Entschuldige, aber das versteh ich nicht.
> Kannst bitte doch meine Notation verwenden?
> Es geht mir da ums Verständnis.....und umformen kann man's
> ja immer noch.
>
> Bitte sei so gut und sag mir, wo ich in meiner
> Erlösfunktion das x zu quadrieren habe, dass es passt.
Na gut. Ich habe mir "deine Notation" nochmals
genau angeschaut und finde da z.B. die folgen-
den beiden Zeilen:
(1) E(x)=325000
(2) (-500000*x-1000000)+(1000000*x)
Mit dem x in der Gleichung (1) hast du offenbar
den Gewinn des Unternehmens gemeint, mit
dem x im Ausdruck (2) aber die Anzahl der
produzierten Anlagen.
Mit dieser "Notation" muss es halt einfach
schief laufen ...
Am besten gibst du nun einmal genau an,
was du denn wirklich mit X bzw. x
(wenn's denn dieser Buchstabe sein soll)
bezeichnen willst.
Und bitte vereinfache doch dann z.B. solche
Terme wie etwa den obigen (2)
LG
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Okay, danke!
E(G)=325000
Ad (2): (-500000*x-1000000)+(1000000*x)
Damit habe ich einfach die variablen Kosten/pro produzierter Einheit (x) also "-500000*x" angeschrieben, von dem dann die Fixkosten (1000000) abgezogen und dazu dann wiederum den Erlös pro verkaufter Einheit (1000000*x) dazu gezählt.
Die Frage ist jetzt halt, was muss ich davon jetzt alles quadrieren?
Wenn ich's mir so überlege, denke ich fast, dass ich den gesamten Ausdruck [mm] ((-500000*x-1000000)+(1000000*x))^2*P(x) [/mm] rechnen. Stimmt das?
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Hallo Justus,
> E(G)=325000 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Ad (2): (-500000*x-1000000)+(1000000*x)
> Damit habe ich einfach die variablen Kosten/pro
> produzierter Einheit (x) also "-500000*x" angeschrieben,
> von dem dann die Fixkosten (1000000) abgezogen und dazu
> dann wiederum den Erlös pro verkaufter Einheit (1000000*x)
> dazu gezählt.
Das kann man doch nun zusammenfassen und als G(x)
bezeichnen:
G(x)=Gewinn im Falle dass x Anlagen verkauft werden
$\ G(x)=(-500000*x-1000000)+(1000000*x) =500000*x-1000000$
oder eben, mit Nulleneinsparung:
$\ [mm] G(x)=\left(\bruch{x}{2}-1\right)*10^6$
[/mm]
> Die Frage ist jetzt halt, was muss ich davon jetzt alles
> quadrieren?
> Wenn ich's mir so überlege, denke ich fast, dass ich den
> gesamten Ausdruck [mm]((-500000*x-1000000)+(1000000*x))^2*P(x)[/mm]
> rechnen. Stimmt das?
Ja. Es soll ja der Erwartungswert des quadrierten
Gewinns (Maßeinheit [mm] Euro^{\,2} [/mm]  ) berechnet werden.
Den Erwartungswert für [mm] G^2 [/mm] erhält man nun durch
Addition aller dieser Werte für $\ [mm] x\in\{0,1,2,3,4,5\}$ [/mm] :
$\ [mm] E\left(G^2\right)=\summe_{x=0}^5P(x)*\left(G(x)\right)^2$
[/mm]
wobei P(x)= W'keit, dass genau x Anlagen verkauft
werden können und [mm] $\summe_x [/mm] P(x)=1$
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Justus1864 |
Was soll ich sagen......?
Herzlichen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 22.06.2009 | | Autor: | karma |
| Aufgabe | Aufgabe
Die Abteilung eines Maschinenbauunternehmens stellt Großanlagen eines
bestimmten Typs her. Die Wahrscheinlichkeiten, dass im Geschäftsjahr eine
bestimmte Anzahl von Anlagen abgesetzt werden kann, haben folgende Werte:
Anlagenzahl 0 1 2 3 4 5
Wahrscheinlichkeit 0.05 0.15 0.25 0.30 0.15 0.10
Die Kosten der Abteilung belaufen sich auf 1 000 000 GE Fixkosten und variable
Kosten in Höhe von 500 000 GE je gebauter Anlage. Der Erlös pro abgesetzter
Anlage beträgt 1 000 000 GE.
Berechnen Sie die Standardabweichung des Gewinns! (auf ganze Zahlen runden) |
Hallo und guten Tag,
so wie ich die Aufgabenstellung interpretiere,
sind die Fixkosten unabhängig von der Anzahl der produzierten Großanlagen,
fallen also sogar bei 0 produzierten und abgesetzten Großanlagen an.
Sind die Fixkosten so zu interpretieren?
Schönen Gruß
Karsten
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Meiner Ansicht nach muss das so wie unten gesagt interpretiert werden.
> Aufgabe
> Die Abteilung eines Maschinenbauunternehmens stellt
> Großanlagen eines
> bestimmten Typs her. Die Wahrscheinlichkeiten, dass im
> Geschäftsjahr eine
> bestimmte Anzahl von Anlagen abgesetzt werden kann, haben
> folgende Werte:
> Anlagenzahl 0 1 2 3 4 5
> Wahrscheinlichkeit 0.05 0.15 0.25 0.30 0.15 0.10
> Die Kosten der Abteilung belaufen sich auf 1 000 000 GE
> Fixkosten und variable
> Kosten in Höhe von 500 000 GE je gebauter Anlage. Der
> Erlös pro abgesetzter
> Anlage beträgt 1 000 000 GE.
> Berechnen Sie die Standardabweichung des Gewinns! (auf
> ganze Zahlen runden)
> Hallo und guten Tag,
>
> so wie ich die Aufgabenstellung interpretiere,
> sind die Fixkosten unabhängig von der Anzahl der
> produzierten Großanlagen,
> fallen also sogar bei 0 produzierten und abgesetzten
> Großanlagen an.
>
> Sind die Fixkosten so zu interpretieren?
>
> Schönen Gruß
> Karsten
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Di 23.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
ich schlage vor,
den Gewinn ( =Gesamterlös minus Fixkosten ) als
lineare Transformation der Zufallvariablen X zu betrachten,
wobei die Zufallsvariable X der abgesetzten Anlagenzahl entspricht.
Sei also Y die Zufallsvariable,
die den Gewinn des Maschinenbauunternehmens ausdrückt
und X die Zufallsvariable, die die Anzahl der abgestzten Großanlagen trägt,
dann ist
Y = a + b*X
mit
a: Fixkosten
und
b=(Erlös pro Anlage minus variable Kosten je Anlage),
also
Y = (-1 000 000) + 500 000 * X
"Bei linearen Transformationen wie oben gilt
EY = a + b*EX
und
varY = [mm] b^2*varX"
[/mm]
zitiert nach
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Statistik:_Funktionen_von_Zufallsvariablen.
Schönen Gruß
Karsten
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