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| Aufgabe 1 | Bei der Produktion von Flügelschrauben erhält man erfahrungsgemäß einen Ausschuss von 15%.
a) Ein Kontrolleur nimmt diese Tatsache genau dann als gegeben an, wenn er bei der Kontrolle von 50 Schrauben höchstens neun defekte findet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er bei dieser Entscheidungsregel eine Fehlentscheidung?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt der Kontrolleur bei seiner Meinung von 15% Ausschuss, selbst wenn sich der Ausschussanteil auf 25% erhöht hat? |
| Aufgabe 2 | (bezieht sich auf Aufgabe 1)
Hersteller und Abnehmer der Flügelschrauben einigen sich auf folgenden Prüfplan für die Annahme der Sendung:
Aus einer Schachtel entnimmt man 10 Schrauben (mit Zurücklegen). Findet man in der Stichprobe höchstens ein Ausschussstück, so wird die Sendung als in Ordnung angenommen, bei mehr als zwei Ausschussstücken wird sie zurückgewiesen. Bei genau zwei Ausschussstücken darf eine zweite Stichprobe von 10 Schrauben (mit Zurücklegen) entnommen werden. Die Sendung wird aber nur dann angenommen, wenn sich in der zweiten Stichprobe kein Ausschussstück befindet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Sendung als in Ordnung angenommen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe 1
a) Hier habe ich keine Ahnung, was mit der "Fehlentscheidung" gemeint ist und weiß von daher auch nicht, wie ich rechnerisch an die Aufgabe herangehen soll.
b) Mit anderen Worten: Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet er selbst bei 25% Ausschuss unter 50 Schrauben maximal 9 defekte? Das hieße dann:
P(max. 9 defekt) = P(keine defekt) + P(1 defekt) + P(2 defekt) + P (3 defekt) + P(4 defekt) + P(5 defekt) + P(6 defekt) + P(7 defekt) + P(8 defekt) + P(9 defekt)
P(keine defekt) = [mm] (\bruch{3}{4})^{50} \approx [/mm] 0.000000566
P(1 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 1} \* (\bruch{1}{4}) \* (\bruch{3}{4})^{49} \approx [/mm] 0.000009438
P(2 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 2} \* (\bruch{1}{4})^{2} \* (\bruch{3}{4})^{48} \approx [/mm] 0.000077082
P(3 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 3} \* (\bruch{1}{4})^{3} \* (\bruch{3}{4})^{47} \approx [/mm] 0.000411107
P(4 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 4} \* (\bruch{1}{4})^{4} \* (\bruch{3}{4})^{46} \approx [/mm] 0.001610171
P(5 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 5} \* (\bruch{1}{4})^{5} \* (\bruch{3}{4})^{45} \approx [/mm] 0.004937858
P(6 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 6} \* (\bruch{1}{4})^{6} \* (\bruch{3}{4})^{44} \approx [/mm] 0.012344646
P(7 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 7} \* (\bruch{1}{4})^{7} \* (\bruch{3}{4})^{43} \approx [/mm] 0.025864974
P(8 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 8} \* (\bruch{1}{4})^{8} \* (\bruch{3}{4})^{42} \approx [/mm] 0.046341412
P(9 defekt) = [mm] \vektor{50 \\ 9} \* (\bruch{1}{4})^{9} \* (\bruch{3}{4})^{41} \approx [/mm] 0.072086641
P(max. 9 defekt) [mm] \approx [/mm] 16.37 %
Aufgabe 2
Bei dieser Aufgabe habe ich einen Lösungsweg, bin mir allerdings nicht ganz sicher, ob er richtig ist:
P(Sendung i.O.) = P(max. 1 Ausschussstück) + P(genau 2 Ausschussstücke) [mm] \* [/mm] P(kein Ausschussstück)
P(max. 1 Ausschussstück) = P(kein Ausschussstück) + P(1 Ausschussstück) = [mm] (\bruch{17}{20})^{10} [/mm] + [mm] \vektor{10 \\ 1} \* \bruch{3}{20} \* (\bruch{17}{20})^{9} \approx [/mm] 0.5443
P(2 Ausschussstücke) = [mm] \vektor{10 \\ 2} \* (\bruch{3}{20})^{2} \* (\bruch{17}{20})^{8} \approx [/mm] 0.0414
P(Sendung i.O.) = 0.5443 + 0.0414 [mm] \* [/mm] 0.1969 [mm] \approx [/mm] 55.25%
Danke im Voraus für die Hilfe! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:53 Mo 26.10.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
mit der "Fehlentscheidung" gemeint sein könnte:
sowohl,
(1) daß der Kontrolleur von mehr als 15% Ausschuß ausgeht, obwohl in Wirklichkeit doch nur höchstens 15% der Flügelschrauben mangelhaft sind,
als auch,
(2) daß der Kontrolleur 15% Ausschuß als gegeben ansieht, obwohl der Anteil der produzierten mangelhaften Flügelschrauben 15% übersteigt,
als auch
(3) beides.
Das Stichwort Irrtumswahrscheinlichkeit ist ein Synonym;
die sogenannte Nullhypothese ist hier,
daß der Ausschußanteil höchstens 15% beträgt,
die Alternative,
daß der Ausschußanteil höher ist.
Obiges (1) wäre dann der Fehler erster Art,
(2) der Fehler zweiter Art.
In Teilaufgabe 1a) ist,
wie ich finde,
nach dem Fehler erster Art gefragt,
in 1b) nach dem Fehler zweiter Art.
Wie man den Fehler zweiter Art in 1b) ausrechnet,
hast du intuitiv erkannt;
prima gemacht.
Um den Fehler zweiter Art ausrechnen zu können war übrigens entscheidend,
daß [mm] $25\%$ [/mm] als Wahrscheinlichkeit für die Alternative vorgegeben waren.
Für den Fehler 1. Art nimm erneut die Binomialverteilung,
diesmal zu [mm] $p=15\%$.
[/mm]
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich mehr als 9 Ausschußteile in der Stichprobe finden.
Und dies ist die Gegenwahrscheinlichkeit dazu,
daß in der Stichprobe höchsten 9 mangelhafte Teile sind.
Schönen Gruß
Karsten
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Vielen Dank für den Tipp, das hat mir sehr geholfen! Ich konnte die Aufgabe jetzt lösen.
Und ja, es kann eigentlich nur der erste Fall der Irrtumswahrscheinlichkeit sein, denn sonst bräuchte man ja eine weitere Ausschussangabe (wie die 25% in b)).
Nochmals vielen Dank !
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