Wahrscheinlichkeitsberechnung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:55 Sa 21.05.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Es ist schon lange her, dass ich mit Stochastik etwas zu tun hatte. Das letzte Mal war es in der 12. Klasse und schon da hatte ich arge Probleme damit. Mitlerweile studiere ich im 2. Semester Bio Dipl. und muss mich zwangsläufig mit Stochastik (Statistik) beschäftigen.
Mein Problem bei der folgenden Aufgabe ist, dass ich 1. nicht weiß wo ich sie zuordnen soll (Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit oder nicht, Gleichverteilung, LAPLACE - Experiment etc. ...) und 2. wie ich die Wahrscheinlichkeit konkret berechne.
Also, die Aufgabe lautet:
Bei der TV-Show 'Geh aufs Ganze' hat der Spieler die Möglichkeit, einen Hauptgewinn zu erzielen, der hinter einem von insgesamt drei Toren versteckt ist. Hinter den anderen beiden Toren verbergen sich Nieten. Der Spieler darf zunächst ein Tor wählen, welches aber nicht geöffnet wird. Dann öffnet der Moderator (er weiß, wo der Hauptgewinn ist) eines der beiden verbleibenden Tore, welches eine Niete enthält. Nun fragt der Moderator den Spieler, ob er bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben will oder lieber das Tor wechseln möchte.
...ich soll nun die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn bei folgenden drei Spielstrategien berechnen:
1. immer wechseln
2. standhaft bleiben (nicht wechseln)
3. zufällig entscheiden, d.h mit der Wahrscheinlichkeit von 50% zu wechseln
Bevor ich dies tue, soll ich aber noch für jeweils 1.,2. & 3. ein Baumdiagramm mit Excel zeichnen.
Da fiel mir ein, dass ich das auch in der Schule damals gemacht habe (aber ohne Excel) und dass ich immer Einzelwahrscheinlichkeiten an die Verzweigungen geschrieben habe. Nur leider weiß ich nicht mehr wie ich diese ermitteln kann.
Das wäre dann mein 3. Problem bei dieser Aufgabe. ;)
Vielen Dank schon mal im Voraus!
Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo!
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> Es ist schon lange her, dass ich mit Stochastik etwas zu
> tun hatte. Das letzte Mal war es in der 12. Klasse und
> schon da hatte ich arge Probleme damit. Mitlerweile
> studiere ich im 2. Semester Bio Dipl. und muss mich
> zwangsläufig mit Stochastik (Statistik) beschäftigen.
>
> Mein Problem bei der folgenden Aufgabe ist, dass ich 1.
> nicht weiß wo ich sie zuordnen soll (Bedingte
> Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit oder nicht,
> Gleichverteilung, LAPLACE - Experiment etc. ...) und 2. wie
> ich die Wahrscheinlichkeit konkret berechne.
>
> Also, die Aufgabe lautet:
>
> Bei der TV-Show 'Geh aufs Ganze' hat der Spieler die
> Möglichkeit, einen Hauptgewinn zu erzielen, der hinter
> einem von insgesamt drei Toren versteckt ist. Hinter den
> anderen beiden Toren verbergen sich Nieten. Der Spieler
> darf zunächst ein Tor wählen, welches aber nicht geöffnet
> wird. Dann öffnet der Moderator (er weiß, wo der
> Hauptgewinn ist) eines der beiden verbleibenden Tore,
> welches eine Niete enthält. Nun fragt der Moderator den
> Spieler, ob er bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben will
> oder lieber das Tor wechseln möchte.
>
> ...ich soll nun die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn
> bei folgenden drei Spielstrategien berechnen:
>
> 1. immer wechseln
> 2. standhaft bleiben (nicht wechseln)
> 3. zufällig entscheiden, d.h mit der Wahrscheinlichkeit von
> 50% zu wechseln
>
> Bevor ich dies tue, soll ich aber noch für jeweils 1.,2. &
> 3. ein Baumdiagramm mit Excel zeichnen.
> Da fiel mir ein, dass ich das auch in der Schule damals
> gemacht habe (aber ohne Excel) und dass ich immer
> Einzelwahrscheinlichkeiten an die Verzweigungen geschrieben
> habe. Nur leider weiß ich nicht mehr wie ich diese
> ermitteln kann.
> Das wäre dann mein 3. Problem bei dieser Aufgabe. ;)
>
>
> Vielen Dank schon mal im Voraus!
> Maxi
Die Problemstellung die du hier gegeben hast ist allgemein unter dem Ziegenproblem bzw. "Monty Hall Problem", angeblich eine TV-Show aus den USA wo eben die Nieten nur Ziegen waren. Vielleicht schaust du mal bei google unter Ziegenproblem, oder z.B. ![[]](/images/popup.gif) http://www.remote.org/frederik/projects/ziege/index.html.de hier nach!
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Nochmals Hallo!
>
> Danke für den Hinweis auf die Seite.
>
> Ich habe mich auch noch auf anderen Seiten zu dem
> Ziegenproblem umgesehen und Folgendes gefunden:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Entscheidungsbaum_Ziegenproblem.png
>
> http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziege5.html
>
> Mir ist aufgefallen, dass bei dem Bild bei Wikipedia noch
> mehr Stränge mit Wahrscheinlichkeiten versehen sind und das
> hat mich total verwirrt.
> Woran soll ich mich denn nun halten?
>
> So ein Baumdiagramm, wie es bei Wikipedia zu sehen ist,
> soll auch ich herstellen, nur verstehe ich immer noch nicht
> wie die Wahrscheinlichkeiten an den Strängen zustande
> kommen. Woraus ergeben sich diese?
>
> Dass alle drei Tore eine Wahrscheinlichkeit von 1/3
> besitzen verstehe ich noch. Aber wie sieht es damit aus,
> wenn sich der Spieler vorläufig entscheidet, wenn der
> Moderator ein Tor auswählt (ohne sich zufällig zu
> entscheiden) und dann wenn sich der Spieler entgültig
> entscheidet?
>
> Gruß,
> Maxi
Hallo Maxi,
also ich werde es mal versuchen. Fangen wir am Anfang an.
Zunächst darf sich der Spieler ein Tor aussuchen, es gibt einen
Gewinn und zwei Nieten. Die Chance, dass der Spieler das Tor
mit dem Gewinn auswählt, ist demnach [mm] $\frac{1}{3}$.
[/mm]
Du kannst also ein Baumdiagramm zeichenen, welches so aussieht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du siehst es gibt zwei Möglichkeiten eine Niete zu wählen und beide
haben die Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{1}{3}$, [/mm] die Gesamtwahrscheinlichkeit
für eine Niete ist also [mm] $\frac{2}{3}$.
[/mm]
Merken wir uns also in $2$ von $3$ Fällen ziehen wir zu Beginn eine Niete.
Daraus folgt jetzt auch, dass wir, wenn wir nicht wechseln, in $2$ von $3$ Fällen
eine Niete ziehen, also das Spiel verlieren.
Aber kommen wir nun zum interessanteren Fall, wir wollen das Tor wechseln.
Dazu müssen wir $2$ Fälle durchspielen.
(1) Wir haben am Anfang das richtige Tor gewählt, das wird bei jedem dritten Spiel passieren,
der Quizmaster öffnet demnach eins der beiden Nieten. Eine Niete bleibt übrig und
da wir wechseln verlieren wir.
(2) Wir haben am Anfang ein falsches Tor gewählt, das passiert ja in $2$ von $3$ Fällen.
Der Quizmaster wird auch jetzt eines der beiden übrigen Tore öffnen, aber da er den
Gewinn nie aufdecken darf, wird er die andere Niete aufdecken und es bleibt beim
Wechsel nur noch der Gewinn übrig.
Beim Baumdiagramm sieht es nun so aus, dass er durch das öffnen eines Tores die
Wahrscheinlichkeiten der beiden nicht gewählten Tore auf das Übrigbleibende zusammenfasst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:21 Mo 23.05.2005 | | Autor: | M.a.x.i |
Danke für deine anschauliche Erklärung.
Ich glaub ich habs jetzt begriffen. :)
Weiß vielleicht jemand wie das Ganze aussieht, wenn nun der Moderator nicht weiß, wo der Hauptgewinn ist und mit einer W'keit von 50% eines der beiden anderen Tore öffnet?
Falls dort der Hauptgewinn ist, hat der Spieler verloren. Andernfalls darf der Spieler seine endgültige Wahl treffen.
Und kann mir jemand sagen (als Graphik zeigen) wie der gesamte Entscheidungsbaum dazu aussieht?
Gruß,
Maxi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Mo 23.05.2005 | | Autor: | Fugre |
> Danke für deine anschauliche Erklärung.
>
> Ich glaub ich habs jetzt begriffen. :)
>
> Weiß vielleicht jemand wie das Ganze aussieht, wenn nun der
> Moderator nicht weiß, wo der Hauptgewinn ist und mit einer
> W'keit von 50% eines der beiden anderen Tore öffnet?
>
> Falls dort der Hauptgewinn ist, hat der Spieler verloren.
> Andernfalls darf der Spieler seine endgültige Wahl
> treffen.
>
> Und kann mir jemand sagen (als Graphik zeigen) wie der
> gesamte Entscheidungsbaum dazu aussieht?
>
> Gruß,
> Maxi
Hallo Maxi,
versuch den Fall doch mal im Kopf zu spielen.
Also er wählt eines der 3 Tore aus, die Wahrscheinlichkeit,
dass er den Gewinn hat ist $1/3$. Hat er den Gewinn, so
öffnet der Quizmaster auf jeden Fall eine Niete.
Wählt der Kandidat aber am Anfang ein falsches Tor, also
in $2/3$ Fällen, so öffnet der Quizmaster in jeder zweiten
dieser Runden den Gewinn.
Versuch das mal zu zeichnen.
Liebe Grüße
Fugre
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