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| Aufgabe | | Wir betrachten eine Gruppe aus N Personen. Wie groß muss N sein, damit mit mehr als 50 % Wahrscheinlichkeit zwei Personen der Gruppe am selben Tag Geburtstag haben? |
Ich habe mich zunächst selbst an der Lösung versucht, bin nicht weiter gekommen, habe mir die Lösung angeschaut und verstehe diese an ein par Punkten nicht ganz :)
Zunächst ist die Grundüberlegung über die Gegenwahrscheinlichkeit zu gehen. Jede Person hat 365 Möglichkeiten, an denen sie Geburtstag haben kann, also insg. [mm] 365^N. [/mm] Damit es nicht zu Überschneidungen kommt, hat die erste Person 365 Möglichkeiten, die zweite 364, usw ... Zusammenfassend geschrieben:
[mm] (\produkt_{k=0}^{N-1} [/mm] (365 - k)) / [mm] 365^N [/mm] < 0.5
Ab hier kam ich nicht weiter und hab mir die Lösung angeschaut. Mir ist zunächst aufgefallen, dass als Anzahl der Möglichkeiten [mm] 365^k [/mm] angegeben wird, könnte vielleicht ein Tippfehler sein, wenn nicht berichtigt mich bitte :)
Dann wird als nächster Schritt aus
[mm] (\produkt_{k=0}^{N-1} [/mm] (365 - k)) / [mm] 365^k [/mm] folgendes:
[mm] \produkt_{k=0}^{N-1} [/mm] (1-k/365).
Kann ich mir leider nicht erklären, wie der Schritt genau zustande gekommen ist. Als nächstes wird auf beiden Seiten logarithmiert und es steht plötzlich da:
[mm] \summe_{k=0}^{N-1} [/mm] (-k/365) < ln 0.5
Hier bin ich mit dem Latein völlig am Ende. Es steht zwar dabei ln (1+x) ist ca. x für ganz kleine x, aber woher kommt dann plötzlich die Summenformel?
Die restlichen Rechenschritte sind mir dann wieder logisch, aber bei den beiden hängts ...
Gruß
G-Hoernle
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Huhu,
also vorweg: Deine erste Formel war korrekt. Ein k macht an der Stelle gar keinen Sinn, es muss [mm] $365^N$ [/mm] heissen.
> [mm]\produkt_{k=0}^{N-1}[/mm] (1-k/365).
>
> Kann ich mir leider nicht erklären, wie der Schritt genau
> zustande gekommen ist.
Hier wurde das [mm] $\bruch{1}{365^N}$ [/mm] einfach in das Produkt hineingezogen. Da du N Produkte hast, bekommt jeder Faktor also ein [mm] $\bruch{1}{365}$, [/mm] also:
[mm] $\bruch{1}{365^N}\left(\produkt_{k=0}^{N-1} (365 - k)\right) [/mm] = [mm] \produkt_{k=0}^{N-1} \bruch{1}{365}(365 [/mm] - k) = [mm] \produkt_{k=0}^{N-1}\left(1 - \bruch{k}{365}\right)$
[/mm]
> Als nächstes wird auf beiden Seiten
> logarithmiert und es steht plötzlich da:
"Plötzlich" passiert mal gar nix in der Mathematik.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{N-1}[/mm] (-k/365) < ln 0.5
>
> Hier bin ich mit dem Latein völlig am Ende. Es steht zwar
> dabei ln (1+x) ist ca. x für ganz kleine x, aber woher
> kommt dann plötzlich die Summenformel?
Ok, Schrittweise: Du hast die Ungleichung
[mm] $\produkt_{k=0}^{N-1}\left(1 - \bruch{k}{365}\right) [/mm] < 0.5$
nun mache Folgendes:
1.) Logarithmieren
2.) Logarithmusgesetzte benutzen (so wird aus dem [mm] \produkt [/mm] ein [mm] \summe)
[/mm]
3.) Ausnutzen, dass [mm] $\ln(1+x) \approx [/mm] x$
MFG,
Gono.
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