Wahrscheinlichkeitsbestimmung < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 So 06.08.2006 | | Autor: | Sammy839 |
Mich interessiert die Frage wie man prinzipiell die Wahrscheinlichkeit bestimmt, mit der eine Aktie während einer festgelegten Laufzeit MINDESTENS EINMAL einen bestimmten Wert übersteigt. Unterstellt werden soll ein geometrisch Brownscher Prozess.
Überlegt man sich das anhand eines Binomialmodells sollte es nicht schwierig sein. Man zählt einfach alle Pfade die mindestens einmal den gesuchten Wert überschreiten und bildet ein Verhältnis zu allen vorkommenden Pfaden. Denn jeder Pfad sollte mit der selben Wahrscheinlichkeit auftreten. (Ist das richtig?)
Nur mir ist nicht ganz klar wie man das in einem stetigen Modell bewerkstelligt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mo 07.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Zur geometrischen Brownschen Bewegung kann ich wenig sagen. Aber vielleicht hilft dir folgende Eigenschaft des zugrundeliegenden Wiener-Prozesses [mm] $\{W_t\}_{t\geq 0}$:
[/mm]
Das Pfadmaximum [mm] $M_t [/mm] = [mm] \max\limit_{0\leq s\leq t} [/mm] ~ [mm] W_s$ [/mm] besitzt dieselbe Verteilung wie der Betrag [mm] $|W_t|$, [/mm] wegen [mm] $W_t\sim\mathcal{N}(0,t)$ [/mm] hat [mm] $M_t$ [/mm] demnach die Dichte
[mm] $$f_{M_t}(x) [/mm] = [mm] \frac{2}{\sqrt{2\pi t}} [/mm] ~ [mm] \exp\left\{ -\frac{x^2}{2t} \right\},\quad [/mm] x>0$$
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Mo 07.08.2006 | | Autor: | Sammy839 |
Hallo Dirk!
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das ging ja wirklich fix.
Ich bin übrigens kein Statistiker daher ist mir z.B. der Begriff Pfadmaximum vom genauen Inhalt her neu. Darum bitte ich Sie um etwas Nachsicht...
Die geometrisch Brownsche Bewegung ist übrigens keine zwingende Voraussetzung. Mir gehts eher um das prinzipielle Vorgehen. Da hatte ich mich etwas blöd ausgedrückt.
Wenn ich es aber richtig verstanden habe, dann bedeutet das Pfadmaximum für den einzelnen Pfad die grösste Abweichung von der gedachten Linie zwischen dem Erwartungswert und dem heutigen Ausgangswert der Aktie. Das impliziert aber auch, dass auf beiden Seiten, "rechts" und "links" (von dieser gedachten Linie) der Dichtefunktion dieselbe Anzahl an Maxima auftritt.
Dabei ergibt sich folgendes Problem:
Um das ganze zu vereinfachen möchte ich von einem Random Walk Prozess ausgehen. Negative Werte sind erlaubt. Der aktuelle Wert liegt bei 0 der Erwartungswert ebenfalls bei 0. Der gewünschte Schwellenwert soll bei 0.000001 liegen.
Bei der Frage wieviele Maxima überhalb dieser Schwelle von 0.000001 liegen, dürfte demnach recht genau 50% herauskommen.
Wenn man aber fragt wieviele Pfade während der Laufzeit MINDESTENS EINMAL diese Schwelle überschreiten, müsste man noch die hinzuzählen, die aus dem Bereich unter der Schwelle diese für kurze Zeit übertreten, ohne ein neues Maximum zu bilden. Folglich sollte die Zahl der gefragten Pfade insgesamt über 50% liegen.
Beim Binomialmodell hatte ich nach ein paar kurzen Durchläufen per Hand einen Wert von 62,5% raus.
Hab ich hier nun was falsch verstanden??? Wie funktioniert es richtig???
Vielen Dank nochmal für Ihre Mühen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Di 08.08.2006 | | Autor: | DirkG |
Der Begriff "Pfadmaximum" war auch nur als zusätzliche Erklärung gedacht, maßgeblich war nur die Definition [mm] $M_t [/mm] = [mm] \max\limit_{0\leq s\leq t} [/mm] ~ [mm] W_s$, [/mm] und das ist eben das Maximum der Wienerprozess-Werte [mm] $W_s$ [/mm] im Intervall $[0,t]$. Wenn man also danach fragt, ob [mm] $W_s$ [/mm] wenigstens einmal bis zum Zeitpunkt $t$ die Schwelle $x$ überschreitet, dann ist das gleichbedeutend damit, dass dieses Maximum [mm] $M_t$ [/mm] größer als $x$ ist, und wegen [mm] $M_t\sim |W_t|$ [/mm] heißt das eben
[mm] $$P\left( \max\limits_{0\leq s\leq t} ~ W_s > x \right) [/mm] = [mm] P\left( M_t > x \right) [/mm] = [mm] P\left( |W_t| > x \right) [/mm] = [mm] 2\left( 1 - \Phi\left( \frac{x}{\sqrt{t}} \right) \right),\qquad [/mm] x>0$$
mit Verteilungsfunktion [mm] \Phi [/mm] der Standardnormalverteilung. Das nur als Beispiel.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 08.08.2006 | | Autor: | Sammy839 |
Hallo!
Ja jetzt hab ich es. Ich hatte mir die Dichte auch nochmal mit einem Programm aufgezeichnet und dann gesehen wie es richtig ist. Ich hatte mit dem Betrag des WP wohl etwas durcheinander gebracht.
Vielen Dank für Ihre Hilfe!
|
|
|
|
