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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Di 31.03.2009 | | Autor: | kowi |
| Aufgabe | Diese Technikaufgabe ist mit ganz normaler Schulmathematik zu lösen
Aufgabe b - die verstehe ich nicht. Siehe unten
Sie kaufen Piezokristalle zur Verwendung in Kraftmeßdosen ein. Auf Grund eines besonders heiklen Fertigungsprozesses benötigen Sie extrem dünne Kristalle mit einer Dicke von [mm] 20*10^{-6}m, [/mm] dabei müssen Sie bezüglich der Dicke eine Toleranz von [mm] \pm [/mm] 0.5 [mm] *10^{-6} [/mm] m einhalten.
Da Sie mit Ihrem bisherigen Zulieferer nicht mehr zufrieden sind, fordern Sie bei einem alternativen Anbieter 13 Kristalle zur Analyse an. Bei Ihrer Vermessung der PRoben stellen Sie die folgenden Dicken in [mm] 10^{-6}m [/mm] fest.
19
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22
23
a) Ermitteln Sie die statistischen Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung bzw. deren SChätzwerte, sofern dieses denn näötig ist
Lösung: [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \mu [/mm] = [mm] 21*10^{-6}m
[/mm]
[mm] \sigma [/mm] = s = [mm] 1.08*10^{-6}m
[/mm]
b) Im weiteren soll nun die folgende Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x) als Näherung für die statistische Verteilung angenommen werden (für [mm] \sigma [/mm] und [mm] \mu [/mm] können Sie die unter a berechneten statistischen Kenngrößen annehmen)
p(x) = [mm] \frac{1}{3\sigma} [/mm] - [mm] \frac{1}{9\sigma^2}|x-\mu| [/mm] für [mm] |x-\mu| \le 3\igma
[/mm]
p(x) = 0 sonst
Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Unter der Annahme, dass diese Wahrscheinlichkeitsverteilung auch bei einer zukünftigen Großbestellen zugrundegelegt werden kann, wie groß wäre der Anteil an Kristallen, die Ihre Toleranzen nicht erfüllen ( Ausschuss )?
Lösung:
Der Flächeninhalt des schraffierten Bereichs entspricht im folgenden Diagramm der Wahrscheinlichkeit, dass ein Kristall die Toleranzen nicht erfüllt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da der GEsamtflächeninhalt einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit 100% bekannt ist, wird im Folgenden die Fläche zwischen [mm] 19.5*10^{-6} [/mm] und [mm] 20.*10^{-6} [/mm] m berechnet und von 100% abgezogen. Hierz werden zunächst die WErte für p(19.5) und p(20.5) berechnen. Es folgt
p(19.5*{-6}m) = [mm] \frac{1}{3\sigma}-\frac{1}{9\sigma^2}|19.5*10^{-6}-21*10^{-6}| [/mm] = 0.1658 [mm] \frac{1}{10^-6 m}
[/mm]
[mm] p(20.5*10^{-6}m) [/mm] = [mm] 0.2610\frac{1}{10^{-6}m} [/mm]
Nun berechnen wir die Fläche zwischen 19.5 [mm] \mu [/mm] m und 20.5 [mm] \mu [/mm] m
P' = [mm] 0.1658*\frac{1}{10^{-6}}*\red{1*10^{-6}m} [/mm] + [mm] \red{\frac{1*10^{-6}m}{2}}(0.2610\frac{1}{10^{-6}m} -0.1658\frac{1}{10^{-6}m} [/mm] ) = 21.34%
Meine Frage: Woher kommt das rote? Ich verstehe die Formel hinten und vorne nicht. Gut, im hinteren Teil nimmt man die Differenz, also p(19.5)-p(20.5); aber woher kommt das 1/2 davor? Und warum wird p(19.5) noch mit [mm] 1*10^{-6} [/mm] multipliziert?
Daher ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit 100%-21.34% = 78.66%
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Hallo.
Es wäre super, könnte mir irgendjemand helfen, die Lösung sollte richtig sein (ist eine Musterlösung). Aber das Prinzip verstehe ich nicht, und darum geht es ja,
meine Frage hier war: Woher kommt das rote? Ich verstehe die Formel hinten und vorne nicht. Gut, im hinteren Teil nimmt man die Differenz, also p(19.5)-p(20.5); aber woher kommt das 1/2 davor? Und warum wird p(19.5) noch mit [mm] 1*10^{-6} [/mm] multipliziert?
Vielen lieben Dank, kowi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Di 31.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
In deiner Formel fehlen Klammern!
Die Flaeche ist ein Trapez.
Flaeche =(Grundseite+Deckseite)/2*Hoehe
Wenn du so ne Formel nicht verstehst, warum rechnest du die Flaeche nicht einfach selbst aus.
man kann natuerlich auch unteres Rechteck+ oberes Dreieck rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 31.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo Leduart.
> Hallo
> In deiner Formel fehlen Klammern!
Echt? Kannst du mir auch bitte sagen, wo die fehlen? Also du redest doch auch von der Stelle:
P' = $ [mm] 0.1658\cdot{}\frac{1}{10^{-6}}\cdot{}\red{1\cdot{}10^{-6}m} [/mm] $ + $ [mm] \red{\frac{1\cdot{}10^{-6}m}{2}}(0.2610\frac{1}{10^{-6}m} -0.1658\frac{1}{10^{-6}m} [/mm] $ ) = 21.34%
oder?
> Die Flaeche ist ein Trapez.
Aaaah, jetzt sehe ich es auch. Danke
> Flaeche =(Grundseite+Deckseite)/2*Hoehe
> Wenn du so ne Formel nicht verstehst, warum rechnest du
> die Flaeche nicht einfach selbst aus.
Ich dachte, das wäre eine Fertigformel in der Stochastik.
> man kann natuerlich auch unteres Rechteck+ oberes Dreieck
> rechnen.
Ok, das verstehe ich im Ansatz.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Rechteck berechne ich doch mit a*b = x
wobei a = 20.5 - 19.5 (das 10 hoch -6 und m mal weggelassen)
und b 0.1657
Für das Dreieck
y = 1/2*g*h
g = 20.5-19.5
h = 0.2610-0.1657
gesamt: x+y = gesuchte Wahrscheinlichkeit
Ist das so richtig? Das hätte ja mal Spaß gemacht :)
Vielen lieben Dank erst einmal.
kowi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 31.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig,
und ueberzeug dich davon, dass das wenn dus umschreibst die formel fuers Trapez ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Di 31.03.2009 | | Autor: | kowi |
Hallo leduart
> Hallo
> richtig,
> und ueberzeug dich davon, dass das wenn dus umschreibst
> die formel fuers Trapez ist.
Alles klar, das werde ich bei Gelegenheit mal machen.
Vielen Dank für die ausführliche Hilfestellung!
Kowi
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