Wahrscheinlichkeitsmass < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Do 09.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Die Anhänger des Fussballclubs „H. BSC„ vermuten, dass die zufällige Zeit, die bei den Spielen ihrer Manschaft immer
zu früh abgepfiffen wird, durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß beschrieben wird, das eine Dichte der Form
[mm] f(x)=\begin{cases} \beta/x, & \mbox{für } 1\le x\le \alpha\mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x<1 od. x > \alpha \mbox{} \end{cases}
[/mm]
besitzt. Hierbei sind [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0 Parameter der Dichte.
(a) Welche Beziehung muss zwischen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] bestehen, damit f wirklich Dichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes ist?
(b) Bestimmen Sie für [mm] \alpha= [/mm] e und [mm] \beta [/mm] = 1 die zu f gehörende Verteilungsfunktion, d.h. die durch
F: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR F(X)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
definierte Funktion F.
(c) Skizzieren Sie die Graphen von f und F für [mm] \alpha [/mm] = e und [mm] \beta= [/mm] 1.
(d) Sei wieder [mm] \alpha [/mm] = e und [mm] \beta [/mm] = 1. Wie groß ist – sofern f wirklich die zufällige Zeit beschreibt, die bei den Spielen
immer zu früh abgepfiffen wird – die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel
i. weniger als zwei Minuten zu früh abgepfiffen wird?
ii. mehr als drei Minuten zu früh abgepfiffen wird? |
Hallo,
ich löse gerade ein paar Probeklausuren, d.h. ich habe die Lösung dieser Aufgabe vor mir, bin aber etwas verwirrt :-S
zu a) Da f eine Dichte ist, muss [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
Hieraus folgt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{\alpha}{f(x) dx}+\integral_{\alpha}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
Jz steht in der Lösung: [mm] \integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}=\integral_{\alpha}^{\infty}{f(x) dx}=0
[/mm]
das versteh ich nicht :-S
die stammfunktion ist ja [mm] \beta*ln(x)
[/mm]
d.h. für
[mm] \integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
haette ich [mm] 0-\beta*ln(-\infty)
[/mm]
ist [mm] ln(-\infty)=0 [/mm] ?
und bei [mm] \integral_{\alpha}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] haette ich
[mm] \beta*\ln(\infty)-\beta*ln(\alpha) [/mm] warum ist das 0?
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Hallo,
> Die Anhänger des Fussballclubs „H. BSC„ vermuten, dass
> die zufällige Zeit, die bei den Spielen ihrer Manschaft
> immer
> zu früh abgepfiffen wird, durch ein
> Wahrscheinlichkeitsmaß beschrieben wird, das eine Dichte
> der Form
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \beta/x, & \mbox{für } 1\le x\le \alpha\mbox{ } \\
0, & \mbox{für } x<1 od. x > \alpha \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
> besitzt. Hierbei sind [mm]\alpha, \beta[/mm] > 0 Parameter der
> Dichte.
>
> (a) Welche Beziehung muss zwischen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm]
> bestehen, damit f wirklich Dichte eines
> Wahrscheinlichkeitsmaßes ist?
> (b) Bestimmen Sie für [mm]\alpha=[/mm] e und [mm]\beta[/mm] = 1 die zu f
> gehörende Verteilungsfunktion, d.h. die durch
>
> F: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR F(X)=\integral_{-\infty}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> definierte Funktion F.
> (c) Skizzieren Sie die Graphen von f und F für [mm]\alpha[/mm] = e
> und [mm]\beta=[/mm] 1.
> (d) Sei wieder [mm]\alpha[/mm] = e und [mm]\beta[/mm] = 1. Wie groß ist –
> sofern f wirklich die zufällige Zeit beschreibt, die bei
> den Spielen
> immer zu früh abgepfiffen wird – die
> Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel
> i. weniger als zwei Minuten zu früh abgepfiffen wird?
> ii. mehr als drei Minuten zu früh abgepfiffen wird?
> Hallo,
>
> ich löse gerade ein paar Probeklausuren, d.h. ich habe die
> Lösung dieser Aufgabe vor mir, bin aber etwas verwirrt
> :-S
>
> zu a) Da f eine Dichte ist, muss
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
>
> Hieraus folgt:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{\alpha}{f(x) dx}+\integral_{\alpha}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
>
>
> Jz steht in der Lösung: [mm]\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}=\integral_{\alpha}^{\infty}{f(x) dx}=0[/mm]
>
> das versteh ich nicht :-S
Deine Dichte ist ja nur auf [mm] [1;\alpha] [/mm] per definitionem von Null verschieden. Alles, was außerhalb dieses Intervalls liegt, trägt nichts zur Verteilung bei, daher weiß man, dass diese beiden Integrale jeweils gleich Null sein müssen, also verschwinden, wie man ja auch soschön sagt. 
>
> die stammfunktion ist ja [mm]\beta*ln(x)[/mm]
>
> d.h. für
> [mm]\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}[/mm]
>
> haette ich [mm]0-\beta*ln(-\infty)[/mm]
>
> ist [mm]ln(-\infty)=0[/mm] ?
>
> und bei [mm]\integral_{\alpha}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] haette ich
>
> [mm]\beta*\ln(\infty)-\beta*ln(\alpha)[/mm] warum ist das 0?
Wie oben schon gesagt. Das bedeutet aber, du musst das Integral auf dem Intervall [mm] [1;\alpha] [/mm] betrachten. Welchen Wert muss es haben, damit die Funktion eine Dichte ist? Daraus bekommst du dann sofort die Beziehung zwischen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 09.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hey,
danke für die schnelle Antwort. Das war echt blöd von mir
dann habe ich noch eine Frage zu d)
ich versteh bei beiden irgendwie nicht, wie die auf die Grenzen kommen:
für i) [mm] P(X<2)=\integral_{-\infty}^{2}{f(x) dx}=\integral_{1}^{2}{1/t dx}
[/mm]
warum auf einmal von 1 bis 2? Wieder weil es nur von [mm] [1,\alpha] [/mm] def. ist?
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Hallo,
> ich versteh bei beiden irgendwie nicht, wie die auf die
> Grenzen kommen:
>
> für i) [mm]P(X<2)=\integral_{-\infty}^{2}{f(x) dx}=\integral_{1}^{2}{1/t dx}[/mm]
>
> warum auf einmal von 1 bis 2
Nun, das ist der gleiche Grund wie vorher. Die Bereiche, die nichts beitragen, lässt man weg.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 09.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
aber hab ich hier nicht:
[mm] \integral_{-\infty}^{2}{f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{e}{f(x) dx}+\integral_{e}^{2}{f(x) dx}???
[/mm]
Dann haette ich nur
[mm] \integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx} [/mm] weggelassen
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Hallo,
> aber hab ich hier nicht:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{2}{f(x) dx}=\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{e}{f(x) dx}+\integral_{e}^{2}{f(x) dx}???[/mm]
>
> Dann haette ich nur
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{1}{f(x) dx}[/mm] weggelassen
nein. Es liegt in der Natur der Defintion einer stetigen Verteilungsfunktion, dass man Wahrscheinlichkeiten der Form [mm] P({X}\le{k}) [/mm] direkt mit folgendem Integral berechnet:
[mm]P({X}\le{k})=\integral_{-\infty}^{k}{f(x) dx}[/mm]
wobei die Fuinktion f(x) die zugehörige Dichte ist. Du solltest dir diese Zusammenhänge nochmal ausführlich anschauen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Do 09.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
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> nein. Es liegt in der Natur der Defintion einer stetigen
> Verteilungsfunktion, dass man Wahrscheinlichkeiten der Form
> [mm]P({X}\le{k})[/mm] direkt mit folgendem Integral berechnet:
>
> [mm]P({X}\le{k})=\integral_{-\infty}^{k}{f(x) dx}[/mm]
aber wie komme ich dann auf 1 statt [mm] -\infty [/mm]
wenn ich das direkt berechnen soll, würde ich sagen, dass es 0 ist wie bei a)
Bei ii) haben die zum Beispiel:
[mm] P(X\ge [/mm] 3)=1-P(X<3)= [mm] 1-\integral_{-\infty}^{3}{f(x) dx}=1-\integral_{1}^{e}{f(x) dx}
[/mm]
ich versteh nicht, wie man auf diese unterschiedlichen Grenzen kommt. Ok für [mm] -\infty [/mm] ist es nicht def. , aber wie komm ich dann auf die neuen?
> wobei die Fuinktion f(x) die zugehörige Dichte ist. Du
> solltest dir diese Zusammenhänge nochmal ausführlich
> anschauen!
Das werd ich auf jedenfall. Fang direkt an, nach einer gescheiten Seite zu suchen.
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Hallo Laura,
nochmal: deine Dichte existiert nur auf dem Intervall [mm] [1;\alpha]. [/mm] Im Falle der Teilaufgabe d) haben wir [mm] \alpha=e [/mm] und sprechen von dem abgeschlossenen Intervall [1;e]. Alles, was außerhalb dieses Intervalls liegt, trägt nichts zu der Verteilung bei. Also muss man hier bei der Integration diejenigen Bereiche, über denen die Dichte 0 ist, weglassen.
Bei i) ist [mm] -\infty<1, [/mm] also wird der Bereich [mm] (-\infty;1) [/mm] weggelassen. Bei ii) ist e<3, also wird hier der Bereich (e;3] weggelassen.
Mache dir nochmal klar, dass sich alle deine bisherigen Fragen um den gleichen 'Knackpunkt' gedreht haben. Es ist in der Mathematik sehr hilfreich, so etwas zu erkennen, es ist oft der Schlüssel zu einem tiefergehenden Verständnis.
> Das werd ich auf jedenfall. Fang direkt an, nach einer
> gescheiten Seite zu suchen.
Hast du denn keine Literatur? Falls nein: in welchem Rahmen betreibst du Stochastik, vielleicht kann noch jemand einen guten Literaturtipp raushauen?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Do 09.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
Danke nochmal für deine Hilfe. Es ist auf jedenfall verstaendlicher geworden. Damit ich jedoch sagen kann: ich habs wirklich verstanden, muss ich mir noch weitere Literatur suchen.
İch studiere Mathematik auf Lehramt. Wir haben zwar ein Skript. Jedoch keine Beispiele bzw. Erklaerungen.
Falls ich aus dem İnternet nicht schlauer werde, versuch ich es mal in der Bib. Für Büchertipps bin ich immer offen :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Do 09.08.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
vielleicht wäre für den Anfang der 3. band Papula für dich geeignet:
L. Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
Lol, den habe ich heute schonmal jemand empfohlen. Das ist aber insgesamt (über alle drei Bände) ein anschaulich geschriebene Lehrbuch, vielleicht kommen Theorie und Beweise ein wenig kurz. Aber für ein grundlegendes Verständnis nach meiner Meinung auf allen enthaltenen Gebieten hilfreich.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:19 Do 09.08.2012 | | Autor: | Laura87 |
vielen dank. Ich werde es mir anschauen!
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