Wahrscheinlichkeitsraum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 17.04.2005 | | Autor: | ronald |
Hallo,
ich habe jetzt noch keine konkrete Frage zu einer bestimmten Aufgabe(kommt bestimmt noch), sondern eine Frage zu Wahrscheinlichkeitsraum. Mir ist der Unterschied zwischen der Sigma-Algebra und der Ergebnismenge omega nicht ganz klar. Hoffentlich kann mir da einer weiterhelfen. danke.
MfG
ronald
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 So 17.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Ronald,
> Mir ist der Unterschied
> zwischen der Sigma-Algebra und der Ergebnismenge omega
> nicht ganz klar.
Vielleicht sieht man es an einem einfachen Beispiel am leichtesten:
Nehmen wir an, wie werfen einen Würfel einmal.
Die Ergebismenge [mm] \Omega [/mm] sind alle möglichen "Elementarereignisse", das bedeutet alle möglichen Ergebnisse des Würfelns, also eine 1, 2, 3, 4, 5, oder 6. Wir haben also [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \{1,2,3,4,5,6\}$. [/mm] Ich denke mal, das ist soweit klar. 
Was ist nun eine [mm] \sigma-Algebra?
[/mm]
[mm] \sigma-Algebren [/mm] sind Mengen von Ereignissen (z.B. "Augenzahl kleiner oder gleich 3"), also allgmein: Eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist eine Menge von Teilmengen von [mm] \Omega, [/mm] die bestimmte Eigenschaften erfüllen muß.
Beispielsweise sind [mm] $\{1,2,3,4,5,6\}$ [/mm] (Omega selbst) und [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] \Omega. [/mm]
Ist nun {{1,2,3,4,5,6},{1,2,3}} eine [mm] \sigma-Algebra? [/mm] NEIN!
Denn für eine [mm] \sigma-Algebra $\cal{A}$ [/mm] soll gelten:
a) [mm] $\Omega \in \cal{A}$
[/mm]
b) Falls $A [mm] \in \cal{A}$ [/mm] dann auch [mm] $A^c \in \cal{A}$
[/mm]
c) Falls [mm] $A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \in \cal{A}$ [/mm] dann auch [mm] $\bigcup_{i=1}^{n} A_i \in \cal{A}$
[/mm]
In unserem Beispiel ist [mm] $\{1,2,3\} \in \cal{A}$ [/mm] aber [mm] $\{1,2,3 \}^c=\{4,5,6\} \notin \cal{A}$ [/mm] sowie [mm] $\Omega^c [/mm] = [mm] \emptyset \notin \cal{A}$.
[/mm]
Wir können also unsere Menge von Teilmegen zu einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] erweitern:
[mm]\{ \{1,2,3\},\{4,5,6\},\Omega,\emptyset\}[/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra, [/mm] was man nach einer Überprüfung der Eigenschaften sieht.
Wozu braucht man [mm] \sigma-Algebren?
[/mm]
Wir wollen alle Mengen benennen, für die man dann eine Wahrscheinlichkeit definieren kann. Es gibt nämlich Situationen, in denen man die Wahrscheinlichkeit (genauer: das Wahrscheinlichkeitsmaß) nicht mehr auf allen Teilmengen definieren kann. Dazu benötigt man dann die [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
Ich hoffe, es hat dir ein wenig geholfen!
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 So 17.04.2005 | | Autor: | ronald |
Hi Astrid,
deine ausführliche Erklärung hat mir sehr geholfen. Vielen Dank. Ich habe nicht mehr geglaubt, dass man noch auf meine Frage antwortet. Das war wirklich eine sehr positve Erfahrung im MatheRaum.
grüse
ronald
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