Wahrscheinlichkeitsrechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In Deutschland haben 42% der Einwohner Blutgruppe A. Fünf Personen kommen zur Blutspende in ein Krankenhaus.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei dieser Personen Blutgruppe A haben? |
Es gibt 10 Möglichkeiten der Reihenfolge, daher meine Rechnung:
10* [mm] \cdot \* 0,42^2* \cdot \*0,58^3 [/mm] = 34,4% (Wahrscheinlichkeit, dass 2 Menschen Blutgruppe A haben)
Rechne ich die gleiche Aufgabe allerdings mithilfe des Gegenereignisses, komme ich auf eine andere Lösung:
1 - P(1 Person hat Blutgruppe A) - P(niemand hat Blutgruppe A)
bei dieser Rechnung komme ich auf folgendes Ergebnis: 88,75%
Meine Frage: Habe ich das richtige Gegenereignis gefunden, müsste nicht bei beiden Lösungswegen das gleiche Ergebnis rauskommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 So 15.02.2015 | | Autor: | hippias |
Nein, Du hast das Gegenereignis nicht richtig gebildet. Da das Ereignis lautet: genau $2$ Personen haben Blutgruppe $A$, waere das Gegenereignis: mehr oder weniger als $2$ Personen haben Blutgruppe $A$. Du hast damit nur den "weniger Teil" beruecksichtigt.
Im Uebrigen wuerde ich hier nicht mit dem Gegenereignis rechnen, weil man die Wahrscheinlichkeit ja auch leicht direkt berechnen kann (so wie Du es getan hast, obwohl ich es nicht ueberprueft habe).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 So 15.02.2015 | | Autor: | hippias |
Ich habe uebersehen, dass in der Aufgabenstellung nach mindestens $2$ Personen gefragt ist. Meine Antwort bezieht sich somit auf die fiktive Aufgabenstellung, dass es genau $2$ Personen sein sollen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 15.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> In Deutschland haben 42% der Einwohner Blutgruppe A. Fünf
> Personen kommen zur Blutspende in ein Krankenhaus.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei
> dieser Personen Blutgruppe A haben?
> Es gibt 10 Möglichkeiten der Reihenfolge, daher meine
> Rechnung:
> 10* [mm]\cdot \* 0,42^2* \cdot \*0,58^3[/mm] = 34,4%
> (Wahrscheinlichkeit, dass 2 Menschen Blutgruppe A haben)
Das hast du (bis auf die eigenwillige und verwirrende Schreibweise) richtig berechnet und richtig formuliert. Präziser: Die Wahrscheinlichkeit, dass GENAU zwei Personen von diesen fünf Blutspendern die Gruppe A haben, beträgt ca. 33,4%.
In deiner Angabe ist allerdings etwas vollkommen anderes gefragt, nämlich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass MINDESTENS zwei von diesen Personen die Blutgruppe A haben. Da wäre es uns daher auch Recht, wenn drei, vier oder alle fünf diese Blutgruppe hätten und dementsprechend müsstest du alle diese vier Wahrscheinlichkeiten aufsummieren um das gesuchte Ergebnis zu erhalten.
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> Rechne ich die gleiche Aufgabe allerdings mithilfe des
> Gegenereignisses, komme ich auf eine andere Lösung:
> 1 - P(1 Person hat Blutgruppe A) - P(niemand hat Blutgruppe A)
Ja, das ist hier zweifelsohne der vernünftigere Ansatz, da du dabei nur zwei anstelle von vier Wahrscheinlichkeiten ermitteln musst.
> bei dieser Rechnung komme ich auf folgendes Ergebnis: 88,75%
Tja, das ist leider völlig falsch und da du keinen Rechenweg angibst ist es unmöglich zu erraten, was du falsch gemacht hast. Der grundlegende Ansatz ist jedenfalls richtig.
> Meine Frage: Habe ich das richtige Gegenereignis gefunden,
> müsste nicht bei beiden Lösungswegen das gleiche Ergebnis
> rauskommen?
Ja, allerdings. Vorausgesetzt du berechnest in beiden Fällen auch wirklich die Wkt. für das gleiche Ereignis (GENAU [mm] \not= [/mm] MINDESTENS) und du machst keine Rechenfehler.
Das korrekte Ergebnis ist übrigens [mm] $\approx69,672\ \%$.
[/mm]
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