Wahrscheinlichkeitsrechnung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 25.07.2007 | | Autor: | LiliMa |
| Aufgabe | Bei der Herstellung von Elektrogeräten in großen Stückzahlen ergeben regelmäßige Kontrollen zwei Hauptfehler: 15% haben schlechte Konakte, 8% arbeiten zu laut und 3% weisen beide Fehler auf.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät genau einen Fehler hat?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät mindestens einen Fehler hat?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät keinen Fehler hat. |
Halli Hallo,
liebe Leute ich bin am verzweifeln. Schon während der Schulzeit hab ich die Wahrscheinlichkeit nicht kapiert und hab mir deswegen son Übungsheft gekauft wo diese Aufgabe als Beispielaufgabe verwendet wurde. Ich komme jedoch mit den Erläuterungen überhaupt nicht klar.
Ich bitte euch deswegen, mir diese Aufgabe so einfach zu erklären, dass ich es auch verstehe. Am besten mit dem Wissensstand den ich habe: Ich weiß dass ich einen Baum verwenden muss und dass ich die Pfadregeln anwenden muss. Ich weiß auch dass ich die Prozentzahlen in Dezimalzahlen 0,15 umwandeln muss. Dann is aber auch schon Schluss, da ich nicht weis, welche Zahlen an den Teilpfaden stehen müssen und wie ich die Ereignisse definieren muss. Ich glaube dass man bei der b ein Gegenereignis braucht. Aber Ihr seht ich kann das echt gar nicht. Am besten Ihr erklärt mir auch noch, wenns geht, wie man auf die Ereignisse kommt.
Ich will das mit der Wahrscheinlichkleitsrechnung unbedingt verstehen, weil dass ja in Klasse 11 auch ein großes Thema ist und ich sonst in Mathe eigentlich alles verstanden habe.
Vielleicht könnt Ihr mir auch sagen, worauf es in Klasse 11 bei der Wahrscheinlichkeit am meisten ankommt.
Vielen Dank für eure Hilfe schonmal im Vorraus
Grüssle
Lili
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> Bei der Herstellung von Elektrogeräten in großen
> Stückzahlen ergeben regelmäßige Kontrollen zwei
> Hauptfehler: 15% haben schlechte Konakte, 8% arbeiten zu
> laut und 3% weisen beide Fehler auf.
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> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät
> genau einen Fehler hat?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät
> mindestens einen Fehler hat?
> c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät
> keinen Fehler hat.
> Halli Hallo,
>
> liebe Leute ich bin am verzweifeln. Schon während der
> Schulzeit hab ich die Wahrscheinlichkeit nicht kapiert und
> hab mir deswegen son Übungsheft gekauft wo diese Aufgabe
> als Beispielaufgabe verwendet wurde. Ich komme jedoch mit
> den Erläuterungen überhaupt nicht klar.
>
> Ich bitte euch deswegen, mir diese Aufgabe so einfach zu
> erklären, dass ich es auch verstehe. Am besten mit dem
> Wissensstand den ich habe: Ich weiß dass ich einen Baum
> verwenden muss und dass ich die Pfadregeln anwenden muss.
Also ich muss leider sagen, dass ich die Darstellung in einem Baumdiagramm nicht einmal so günstig finde, wenn es um die Lösung gerade dieser Aufgabe geht. Aber vielleicht wird Dir ein anderes Mitglied auch noch einen Lösungsweg mit Hilfe eines Baumdiagrammes liefern.
Ich schreibe Dir einfach einmal, wie ich selbst überlegen und rechnen würde. Zuerst definiere ich mir abkürzende Bezeichnungen für folgende Ereignisse:
[mm] [center]$\blue{K :=}$ [/mm] 'das Gerät hat defekte Kontakte'[/center]
und
[mm] [center]$\blue{L :=}$ [/mm] 'das Gerät hat defekte Lautstärke'.[/center]
Gegeben sind also die Wahrscheinlichkeiten [mm] $\mathrm{P}(K)=0.15$, $\mathrm{P}(L)=0.08$ [/mm] und [mm] $\mathrm{P}(K\cap [/mm] L) = 0.03$. Anstelle eines Baumdiagrammes empfehle ich Dir einfach Mengendiagramme für die Ereignisse (Ergebnismengen) $K$ und $L$ bzw. deren Komplemente zu zeichnen und zu versuchen, die Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit gesucht ist, durch geeignete Vereinigung, Durchschnitt oder Differenz dieser Mengen darzustellen. Wahrscheinlichkeiten verhalten sich ja, was die Rechenmöglichkeiten betrifft, wie die Flächeninhalte ihrer Darstellungen durch solche Mengendiagramme.
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät genau einen Fehler besitzt, lässt sich als [mm] $\mathrm{P}\big((K\backslash [/mm] L) [mm] \cup (L\backslash K)\big)$ [/mm] schreiben (mit anderen Worten: ein solches Gerät besitzt entweder defekte Kontakte aber richtige Lautstärke, [mm] $K\backslash [/mm] L$, oder defekte Lautstärke und funktionierende Kontakte, [mm] $L\backslash [/mm] K$). Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt auf die gegebenen Wahrscheinlichkeiten zurückführen:
[mm]\begin{array}{clcl}
\text{(1)} & \mathrm{P}\big((K\backslash L)\cup(L\backslash K)\big) &=& \mathrm{P}(K\backslash L)+\mathrm{P}(L\backslash K)\\
\text{(2)} & &=& \mathrm{P}(K)-\mathrm{P}(K\cap L)\; +\; \mathrm{P}(L)-\mathrm{P}(L\cap K)\\
\text{(3)} & &=& \mathrm{P}(K)+\mathrm{P}(L)-2\cdot\mathrm{P}(K\cap L)\\
\text{(4)} & &=& 0.15+0.08-2\cdot 0.03\\
\text{(5)} & &=& 0.17\\
\text{(6)} & &=& 17\%
\end{array}[/mm]
b) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät mindestens einen Defekt besitzt, ist nichts anderes als [mm] $\mathrm{P}(K\cup [/mm] L)$. Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:
[mm]\begin{array}{clcl}
\text{(1)} & \mathrm{P}(K\cup L) &=& \mathrm{P}(K)+\mathrm{P}(L)-\mathrm{P}(K\cap L)\\
\text{(2)} & &=& 0.15+0.08-0.03\\
\text{(3)} & &=& 0.2\\
\text{(4)} & &=& 20\%
\end{array}[/mm]
c) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät keinen Defekt hat, ist die Wahrscheinlichkeit [mm] $\mathrm{P}(\overline{K}\cap \overline{L})$. [/mm] Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:
[mm]\begin{array}{clcll}
\text{(1)} & \mathrm{P}(\overline{K}\cap \overline{L}) &=& \mathrm{P}(\overline{K\cup L})\\
\text{(2)} & &=& 1-\mathrm{P}(K\cup L)\\
\text{(3)} & &\overset{\text{b}}{=}& 1-0.2 &\text{(aufgrund von Teilaufgabe b)}\\
\text{(4)} & &=& 0.8\\
\text{(5)} & &=& 80\%\\
\end{array}[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:37 Mi 25.07.2007 | | Autor: | LiliMa |
Vielen Dank für deine tolle erklärung. Könntest du mir aber noch erklären was es mit den nach unten und nach oben geöffneten Us auf sich hat. Ich weis, dass nach unten Schnittmenge heißt und nach oben vereinigungsmenge. Aber leider kann ich damit wenig anfangen. Dass mit den VENN-Diagrammen verstehe ich leider auch nicht wirklich. Woher weis man was man da zeichnen muss und was man dann Rechnen muss.
Ich muss nochmal darauf hinweisen, dass ich in Wahrscheinlichkeitsrechnung im Prinzip gar nix kann, weil unser Mathelehrer uns nur für die ZKs das ganz Grundlegende beigebracht hat. Also die Baumdiagramme und etwas Kombinatorik.
Vielen Dank für deine/eure Geduld
Lili
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> Vielen Dank für deine tolle erklärung.
Naja, eine Erklärung, die nicht verstanden wird, ist irgendwie notwendigerweise nicht wirklich so toll...
> Könntest du mir aber
> noch erklären was es mit den nach unten und nach oben
> geöffneten Us auf sich hat. Ich weis, dass nach unten
> Schnittmenge heißt und nach oben vereinigungsmenge. Aber
> leider kann ich damit wenig anfangen.
Dies ist natürlich eines der Probleme, mit denen jeder zu kämpfen hat, der versucht, in diesem Forum eine Antwort zu geben: man weiss einfach zuwenig über die Vorkenntnisse, die man beim Fragesteller voraussetzen darf. Jede Erklärung muss sich ja auf Vorwissen stützen.
> Dass mit den
> VENN-Diagrammen verstehe ich leider auch nicht wirklich.
> Woher weis man was man da zeichnen muss und was man dann
> Rechnen muss.
Ich mache einmal ein Beispiel. Stelle Dir einfach die Gesamtheit aller Geräte, die produziert werden, in einer Menge [mm] $\Omega$ [/mm] zusammengefasst vor.
Diejenigen Geräte, die defekte Kontakte haben, stellen wir uns in der Menge [mm] $\blue{K}$ [/mm] (einer Teilmenge von [mm] $\Omega$) [/mm] zusammengefasst vor. Diejenigen Geräte, die defekte Lautstärke haben, stellen wir uns in der Menge [mm] $\green{L}$ [/mm] (ebenfalls einer Teilmenge von [mm] $\Omega$) [/mm] zusammengefasst vor. Nun zeichnen wir diese Mengen in möglichst "allgemeiner Lage" wie folgt in ein Diagramm ein:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie ich geschrieben habe, verhalten sich Wahrscheinlichkeiten, was die Rechengesetze betrifft, wie Flächeninhalte der in einer solchen Skizze dargestellten Punktmengen.
Nun wollen wir in Teilaufgabe b) die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein zufällig aus [mm] $\Omega$ [/mm] herausgegriffenes Gerät, sagen wir $x$, mindestens einen Defekt hat: also defekte Kontakte oder defekte Lautstärke. Dass $x$ defekte Kontakte hat, ist nichts anderes als zu sagen, dass [mm] $x\in [/mm] K$ gilt ($x$ ein Element der Menge $K$ ist). Dass $x$ defekte Lautstärke hat, ist nichts anderes als zu sagen, dass [mm] $x\in [/mm] L$ gilt ($x$ also ein Element der Menge $L$ ist).
Die Menge aller $x$ die in $K$ oder in $L$ sind, bezeichnet man als die Vereinigung(smenge) von $K$ und $L$, und schreibt diese Menge kurz [mm] $K\cup [/mm] L$.
Wir wollen in Teilaufgabe b) also die Wahrscheinlichkeit [mm] $\mathrm{P}(K\cup [/mm] L)$ berechnen, dass ein zufällig aus [mm] $\Omega$ [/mm] herausgegriffenes Gerät in [mm] $K\cup [/mm] L$ liegt.
Wir kennen die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät in $K$ liegt: [mm] $\mathrm{P}(K)$. [/mm] Wir kennen auch die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät in $L$ liegt: [mm] $\mathrm{P}(L)$. [/mm] Und wir wissen zudem, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Gerät sowohl in $K$ als auch in $L$ liegt (diese Menge nennt man den Durchschnitt von $K$ und $L$, kurz [mm] $K\cap [/mm] L$ geschrieben): [mm] $\mathrm{P}(K\cap [/mm] L)$.
Nun ist unser Problem also, die gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] $\mathrm{P}(K\cup [/mm] L)$ mit Hilfe dieser gegebenen Wahrscheinlichkeiten auszudrücken.
Dies gelingt eben, weil, anschaulich gesprochen, die Flächeninhalte der skizzierten Punktmengen sich wie die Wahrscheinlichkeiten verhalten. Die Punktmenge [mm] $K\cup [/mm] L$ ist einfach die Menge aller Elemente von [mm] $\Omega$, [/mm] die in $K$ oder in $L$ liegen. Man könnte also versucht sein zu behaupten, dass [mm] $\mathrm{P}(K\cup L)=\mathrm{P}(K)+\mathrm{P}(L)$ [/mm] gilt. Aber dies ist nicht ganz richtig:denn bei dieser Rechnung zählt man die Wahrscheinlichkeit, dass das zufällig ausgewählte Gerät $x$ in beiden Mengen, $K$ und $L$ (also in [mm] $K\cap [/mm] L$) liegt, doppelt (einmal, weil es in $K$ liegt, und ein zweites Mal, weil es in $L$ liegt). Daher gilt:
[mm]\mathrm{P}(K\cup L)=\mathrm{P}(K)+\mathrm{P}(L)-\mathrm{P}(K\cap L)[/mm]
Da die Wahrscheinlichkeiten auf der rechten Seite dieser Beziehung alle gegeben sind, können wir also die in Teilaufgabe b) gesuchte Wahrscheinlichkeit [mm] $\mathrm{P}(K\cup [/mm] L)$ berechnen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 26.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ich habe die Aufgabe mal mit folgender Vierfelder-Tafel gelöst.
Die "großen" Zahlen sind dabei die gegeben Größen in Prozent, wobei die 100 logischer Weise immer rechts unten steht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die "kleinen" Zahlen kannst du leicht einsetzen, weil in der ganz rechten Spalte und ganz untersten Zeile immer die Summe stehen muss.
Mit einem Baumdiagramm geht das ganze genau so. Aus jeder Vierfelder-Tafel kann man ein Baumdiagramm entwickeln und umgekehrt.
Probier das selber einfach mal aus.
Nun kannst du die Lösungen zu deinen Fragen aus der Vierfelder-Tafel leicht ablesen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:18 Do 26.07.2007 | | Autor: | Blech |
> Bei der Herstellung von Elektrogeräten in großen
> Stückzahlen ergeben regelmäßige Kontrollen zwei
> Hauptfehler: 15% haben schlechte Konakte, 8% arbeiten zu
> laut und 3% weisen beide Fehler auf.
>
> a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät
> genau einen Fehler hat?
> b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät
> mindestens einen Fehler hat?
> c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gerät
> keinen Fehler hat.
Laß mich hier auch noch meinen Senf dazugeben, in Form einer kurzen Klartextlösung =)
15% haben schlechte Kontakte und 3% beide Fehler [mm] \Rightarrow [/mm] 12% haben nur schlechte Kontakte.
Ebenso folgt, daß 5% nur zu laut sind.
a) Genau ein Fehler [mm] \Rightarrow [/mm] nur schlechte Kontakte oder nur zu laut [mm] \Rightarrow [/mm] 12% + 5% = 17%
b) Mindestens ein Fehler [mm] \Rightarrow [/mm] nur zu laut, nur schlechte Kontakte oder beides [mm] \Rightarrow [/mm] 12% + 5% + 3% = 20% (Beim addieren von Wahrscheinlichkeiten muß man immer aufpassen, daß man nicht Sachen doppelt zählt; beim Wörtchen "mindestens" sollten alle Alarmglocken schrillen)
c) Kein Fehler [mm] \Rightarrow [/mm] 1 - "mindestens ein Fehler" = 80% (Und immer schauen, ob es einfacher ist, das Komplement zu berechnen)
Gerade wenn dir Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht so leicht fällt, kann ich aber nur dazu raten, dir die Mengenrechnung von Somebody genauer anzuschauen.
Wirkt auf den ersten Blick umständlich, ist auch gewöhnungsbedürftig, aber es braucht am wenigsten "Geistesblitz".
Bei komplexeren Aufgaben kommt man leicht mal auf einen falschen Ast, und der Formalismus ist da sehr hilfreich - weiß ich aus Erfahrung. =)
EDIT: Ich brauch ein Bett =P
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> Ich will das mit der Wahrscheinlichkleitsrechnung unbedingt
> verstehen... Vielleicht könnt Ihr mir auch sagen, worauf es
> bei der Wahrscheinlichkeit am meisten ankommt.
Die meisten Aufgaben lassen sich mit Hilfe des "Urnenmodells" simulieren. Da die wenigsten Leute aber eine "Urne" mit roten, blauen, schwarzen etc. Kugeln zur Hand haben, geht es genau so gut mit einem Kartenspiel.
Um zum Beispiel deine oben genannte Aufgabe zu simulieren, nimm 10 Karten .
4 Karten sind schwarz (schlechte Kontakte) - 6 Karten sind rot (gute Kontakte)
7 Karten sind Zahlen (gute Lautstärke) - 3 Karten sind Buben (schlechte Lautstärke)
Und eine Karte ist ein schwarzer Bube (schlechter Kontakt und schlechte Lautstärke)
Nun kannst du anhand der Karten sehen, wie deine Fragen a), b) und c) zu beantworten wären, und was man dazu rechnen müsste.
Und genau so rechnest du dann auch bei deiner konkreten Aufgabe.
Wie gesagt: Wenn du eine Aufgabe mit "komplizierten" Zahlen hast, dass simulier sie erst mal mit "einfachen" Zahlen. Dann siehst du, was man rechnen muss, und danach nimmst du dann den selben Rechenweg mit den Zahlen aus der Aufgabe.
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