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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Anja470 |
| Aufgabe | Gewinnwahrscheinlichkeiten (bei 2 Spielern 17:17)
Mit Wahrscheinlichkeit von p=1/2 ist ein Einzelversuch erfolgreich und zählt damit 2 Punkte. Nach einem erfolgreichen Versuch kann der Spieler entscheiden, ob er einen zweiten Versuch unternimmt, oder ob er den erreichten Punktestand (19 Punkte) festhält (und damit dem Gegner den nächsten Versuch überlässt). Nach einem erfolglosen Versuch verfallen nicht festgehaltene Punkte und der Gegner hat den nächsten Versuch. Der Spieler, der zuerst 21 Punkte erhält, gewinnt das Spiel.
1. Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten für den beginnenden Spieler, wenn jeder Spieler den sofortigen Gewinn anstrebt (und damit auf die Möglichkeit verzichtet, erworbene Punkte festzuhalten).
2. Berechnen Sie entsprechend die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler, wenn beide Spieler sofort nach einem Punktgewinn die erreichten Punkte festhalten.
3. Welche Strategien sind noch denkbar? Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler für mindestens einen Fall, bei dem beide Spieler unterschiedliche Strategien verfolgen.
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Meine Lösung für 1. (ich weis aber nicht ob ich richtig gerechnet habe)
Spieler A Spieler B
Anfangszustand 17 -
1. Versuch gewonnen +2 -
2. Versuch gewonnen +2 -
=21
Spieler B kommt nicht dran, da Spieler A sofort gewinnt.
Einzelversuch p=1/2 für Spieler A
Einzelversuch p=1/2 für Spieler B
P(AundB)=P(A)*P(B)=1/2*1/2=1/4
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.onlinemathe.de/forum/Wahrscheinlichkeiten-berechnen-2]
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hallo,
also du kannst sicher nich einfach sagen, dass es nur den fall gibt, dass der beginnende spieler direkt gewinnt, was wäre z.b. wenn sowohl spieler 1 als auch spieler 2 im 1. versuch erfolglos scheitern, du wirst hier schon noch eine reihe bilden müssen, so einfach wie dus gemacht hast, gehts ganz bestimmt nicht,
viele grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Di 03.03.2009 | | Autor: | Anja470 |
| Aufgabe | Gewinnwahrscheinlichkeiten (bei 2 Spielern 17:17)
Mit Wahrscheinlichkeit von p=1/2 ist ein Einzelversuch erfolgreich und zählt damit 2 Punkte. Nach einem erfolgreichen Versuch kann der Spieler entscheiden, ob er einen zweiten Versuch unternimmt, oder ob er den erreichten Punktestand (19 Punkte) festhält (und damit dem Gegner den nächsten Versuch überlässt). Nach einem erfolglosen Versuch verfallen nicht festgehaltene Punkte und der Gegner hat den nächsten Versuch. Der Spieler, der zuerst 21 Punkte erhält, gewinnt das Spiel.
1. Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten für den beginnenden Spieler, wenn jeder Spieler den sofortigen Gewinn anstrebt (und damit auf die Möglichkeit verzichtet, erworbene Punkte festzuhalten).
2. Berechnen Sie entsprechend die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler, wenn beide Spieler sofort nach einem Punktgewinn die erreichten Punkte festhalten.
3. Welche Strategien sind noch denkbar? Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeit für den beginnenden Spieler für mindestens einen Fall, bei dem beide Spieler unterschiedliche Strategien verfolgen.
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Kann ich vielleicht in Aufgabe 1 so vorgehen:
Das Spieler A beim ersten Versuch gewinnt ist 1/4 wahrscheinlich.
nach zwei versuchen ist [mm] 1/4+3/4*(1/4)^2
[/mm]
Ereignisse A = Spieler A gewinnt mit 2 würfen -> p(a)=1/4
Ereignisse B = Spieler B verliert mit 2 würfen -> p(b)=3/4
P(A+Â*B*A)=1/4+3/4*3/4*1/4=25/64
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 So 08.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Zu 1 nur mal:
P("A gewinnt")=P("A gewinnt im 1. Zug")+P("A gewinnt im 2. Zug")+P("A gewinnt im 3. Zug")+...
P("A gewinnt im 1. [mm] Zug")=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}=\bruch{1}{4}=(\bruch{3}{4})^0*\bruch{1}{4}
[/mm]
P("A gewinnt im 2. [mm] Zug")=\bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}*\bruch{1}{4}=(\bruch{3}{4})^2*\bruch{1}{4}
[/mm]
P("A gewinnt im 3. [mm] Zug")=\bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}*\bruch{3}{4}*\bruch{1}{4}=(\bruch{3}{4})^4*\bruch{1}{4}
[/mm]
...
Das ist fast das, was du auch hast, nur, dass ich das noch erweitert habe. Bei dir geht es nur bis P("A gewinnt im 1. Zug")+P("A gewinnt im 2. Zug").
Du musst also folgenden Reihenwert berechnen:
P("A [mm] gewinnt")=\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{3}{4})^{2i}*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{4}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{9}{16})^i
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Di 17.03.2009 | | Autor: | Anja470 |
Meine Lösung für 2:
Ich habe mir so gedacht, dass
P("A hält Punkte fest im 1. Zug")+P("A gewinnt im 2. Zug")+P("A gewinnt im 3. Zug")+P("A gewinnt im 4. Zug")+.... .
Daraus bekomme ich dieses Ergebnis
P("A [mm] gewinnt")=\summe_{i=0}^{n}(\bruch{1}{2})^{2i}\cdot{}\bruch{1}{2}+\summe_{i=0}^{m-n}(\bruch{1}{2})^{2i}\cdot{}\bruch{1}{2}
[/mm]
Meine Lösung für 3:
Meine 1. Möglichkeit, Spieler A verfolgt den direkten Gewinn und Spieler B will auf Nummer sicher gehen.
P("A [mm] gewinnt")=\summe_{i=0}^{n}(\bruch{3}{4}*\bruch{1}{2})^{i}\cdot{}\bruch{1}{4}
[/mm]
Meine 2. Möglichkeit Spieler, A will auf Nummer sicher gehen und Spieler B verfolgt den direkten Gewinn.
P("A [mm] gewinnt")=\summe_{i=0}^{n}(\bruch{3}{4}*\bruch{1}{2})^{i}\cdot{}\bruch{1}{2}+\summe_{i=0}^{m-n}(\bruch{1}{2}*\bruch{3}{4})^{i}\cdot{}\bruch{1}{2}
[/mm]
Ist meine Überlegung richtig oder gibt es eine andere Lösung?
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Hallo,
also ich habe mir zur Aufgabe 2 Folgendes überlegt: Da der Spieler ja nach jedem erfolgreichen Spiel seine Punkte speichert, geht er das Risiko ein, durch den nun folgenden Spieler geschlagen zu werden. Spieler A spielt nun seine erste Runde mit p=1/2, siegt und speichert seine nun 19 Punkte. Spieler B ist jetzt an der Reihe, aber da Spieler A ja beginnt, interssiert es uns gar nicht ob Spieler B nun siegt oder verliert. Seine Wahrscheinlichkeit zum Sieg oder zur Niederlage ist ja deswegen irrelevant, weil wir wieder nach ihm an der Reihe sind, da er seinen Gewinn ja speichert und damit an uns abgibt. Wir haben also, wie in Aufgabe eins, zwei mal p=1/2 chancen, zu gewinnen, also
p = 1/2*1/2 = 1/4
Das sollte also unser Idealfall sein. Anders sähe es aus, wenn wir verlieren . Dann müssen wir zu unseren Chancen zu gewinnen, seine Chancen zu verlieren mit rein rechnen. Dazu kann ich ja mal versuchen Beispiele zu geben die abhänig davon sind, in welcher Reihenfolge was passiert.
Spieler A verliert im ersten ersten Versuch:
P("A verliert im 1. Zug, B gewinnt im ersten Zug aber verliert im zweiten") = 1/2 * 1/2 * 1/4 = 1/16
Spieler A verliert im zweiten Versuch und Spieler B im ersten:
P("A verliert im 2. Zug, B im ersten")
= 3/4 * 1/2 = 3/8
Spieler A verliert im zeiten Versuch:
P("A verliert im 2. Zug, B ebenfalls") = 3/4 * 1/2 * 1/2 = 3/16
Ich habe die Chance des Gegners zu verlieren deswegen immer so bewertet, weil es uns ja nur dann interessiert, was passiert, wenn er mit 19 Punkten an die Reihe kommt und uns so schlagen könnte.
Die Beispiele kann man nun noch beliebig erweitern mit unzähligen Loses von A und B aber ich denke das sollte reichen.
Das wären nun meine Lösungsansätze zur Aufgabe, ich hoffe sie sind korrekt und ich konnte ein wenig weiterhelfen. Ich habe aber, muss ich eingestehen, das Thema hier auch zum Selbstzweck benutzt um selbst ein wenig zu üben, da ich das auch gerade im Unterricht durchnehe :>
Falls irgendwas unklar ist, oder falsch: Bitte melden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:54 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Anja470 |
Hallo AveVincente,
du hast mir zu Aufgabe 2 geschrieben wann Spieler A verliert, aber ich suche die Ergebnisse wann Spieler A gewinnt.
Gruß Anja470
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