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Hi Leute,
habe gerade von einem Studienkollegen ein kleines Matherätsel bekommen aus dem Bereich Stochastik.
Ein Großhändler hat 10000 Eier im Angebot davon sind 200 verdorben. Ein Kunde kauft 100 Eier. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde kein einziges verdorbenes Ei erwischt?
Ich hätte da folgende Idee:
[mm] \produkt_{i=0}^{99} \bruch{9800 - n}{10000 - n}
[/mm]
dabei erhalte ich als Lösung 13,13%
Mein Freund hat in der Vorlesung gehört, dass es dazu angeblich auch noch eine e-Funktion gäbe, welche dieses Problem noch leichter und präzieser lösen würde.
Weiß von euch jemand diese e-Funktion? Wie richtig liege ich mit meiner Lösungsformel?
Gruß
Prof.
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Hi, Professor,
Es gibt 2 Möglichkeiten, die Aufgabe anzugehen.
(1) Bei der sehr, sehr großen Grundmenge (10000) ist die Binomialverteilung (zwar nur als Näherung, aber sicher genau genug) brauchbar:
n=100; p=0,02.
Gefragt ist dann: P(X=0) = [mm] 0,98^{100} [/mm] = 0,1326.
(2) Exakt müsste man natürlich davon ausgehen, dass es sich hier um das "Ziehen von 100 Eiern ohne Zurücklegen" handelt.
Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Ziehen kein verdorbenes Ei zu kriegen:
[mm] \bruch{9800}{10000}, [/mm]
fürs zweite Ei: [mm] \bruch{9799}{99999}
[/mm]
usw.
fürs letzte Ei: [mm] \bruch{9701}{99901}.
[/mm]
Insofern ist Deine Formel richtig!
Aber siehst Du auch, wie wenig sich Dein "exaktes" Ergebnis von dem aus Möglichkeit (1) unterscheidet?!
Daher wird man in solchen Fällen (große Grundmenge; relativ kleine "Entnahme") doch eher zur Binomialverteilung als Näherung greifen!
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Vielleicht hat Dein Freund an die Poissonverteilung gedacht, die bei p < 0.05 und n > 10 eine gute Näherung an die Binomialverteilung liefert.
[mm] P(X=k)=\bruch{\mu^k}{k!}*e^{-\mu}
[/mm]
mit [mm] \mu=n*p
[/mm]
hier also
mit [mm] \mu=n*p=100*0.02=2
[/mm]
[mm] P(X=0)=\bruch{\mu^0}{0!}*e^{-2}=\bruch{1}{1}*e^{-2}=0.1353
[/mm]
Ich denke, das ist auch eine hinreichend gute Näherung und hat den Vorteil, dass e vorkommt 
Gruss aus der Schweiz
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