Wandeln in Scheitelpunkt form < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 17.03.2014 | | Autor: | Mr.Duke |
| Aufgabe | y=xhoch2+4x-2,25
y=xhoch2 +4x+4-4-2,25
y=(x+2)hoch2 -6,25 |
Grüsse,
ich verstehe die dritte Zeile nicht. Was passiert da mit +4 und-4,wie kommt der Rechenschritt zu stände?
Vielen Dank.
|
|
| |
|
> [mm] y=x^2+4x-2,25
[/mm]
> [mm] y=x^2 [/mm] +4x+4-4-2,25
> [mm] y=(x+2)^2 [/mm] -6,25
> ich verstehe die dritte Zeile nicht. Was passiert da mit
> +4 und-4,
Hallo,
laß uns zunächst in die 2.Zeile gehen und überlegen, warum dort die "aufgepustete Null", nämlich +4-4, addiert wurde:
der Ausdruck [mm] x^2+4x [/mm] sollte so ergänzt werden, daß man eine binomische Formel hat.
Es ist ja [mm] (x+b)^2=x^2+2bx+b^2,
[/mm]
und wir wollen [mm] x^2+4x [/mm] passend ergänzen, damit man es in der Form [mm] (x+?)^2 [/mm] schreiben kann.
Offenbar ist die 4 das 2b in der Formel weiter oben, also b=2, und damit hat man
[mm] (x+2)^2=x^2+4x+4.
[/mm]
Nun darf man natürlich in einer Gleichung nicht einfach 4 addieren, deshalb wird gleichzeitig die 4 abgezogen.
Den Schritt zu Zeile 3 verstehst Du, wenn Du Klammern setzt:
[mm] y=x^2 [/mm] +4x+4-4-2,25
=( [mm] x^2 [/mm] +4x+4)-4-2,25
=( [mm] x^2 [/mm] +4x+4)-6,25
[mm] =(x+2)^2-6.25
[/mm]
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Mi 19.03.2014 | | Autor: | Mr.Duke |
| Aufgabe | =( $ [mm] x^2 [/mm] $ +4x+4)-6,25
$ [mm] =(x+2)^2-6.25 [/mm] $ |
wie kommt man den von=( $ [mm] x^2 [/mm] $ +4x+4)
[mm] auf(x+2)^2?
[/mm]
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mi 19.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Mr.Duke,
> =( [mm]x^2[/mm] +4x+4)-6,25
>
> [mm]=(x+2)^2-6.25[/mm]
>
> wie kommt man den von=( [mm]x^2[/mm] +4x+4)
>
> [mm]auf(x+2)^2?[/mm]
Ein bisschen Übung, ein gutes Auge, Erfahrung,... 
Es gilt die erste binomische Formel:
[mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
Hier mal ein paar, die man sich einprägen sollte:
[mm] $(x+1)^2=x^2+2x+1$,
[/mm]
[mm] $(x+2)^2=x^2+4x+4$,
[/mm]
[mm] $(x+3)^2=x^2+6x+9$.
[/mm]
Wenn du also ein quadratischen Funktion in die Scheitelpunkt-
form umstellen willst, dann solltest du dir diese auf jeden
Fall genau merken.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Di 25.03.2014 | | Autor: | Mr.Duke |
| Aufgabe | y= X²-2x-8
y= x²-2x +1²-8-1²
oder
y=0,5(x²+4x+3)
y=0,5(x²+4x+4-4+3) |
Grüsse,
bei allen aufgaben dieser Art verstehe ich überhaupt nicht woher man die zahlen +1²-1² herbekommt es muss doch eine Regel geben nach der man das macht, in
meinen Heften gibt es keine. Selbst wenn ich die zahlen errate dann ist die Reihenfolge genauso nicht nachvollziehbar. zb:+1²-8-1²,+4-4+3
Vielen Dank
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Di 25.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> y= X²-2x-8
> y= x²-2x +1²-8-1²
> oder
> y=0,5(x²+4x+3)
> y=0,5(x²+4x+4-4+3)
> Grüsse,
> bei allen aufgaben dieser Art verstehe ich überhaupt
> nicht woher man die zahlen +1²-1² herbekommt es muss doch
> eine Regel geben nach der man das macht, in
> meinen Heften gibt es keine. Selbst wenn ich die zahlen
> errate dann ist die Reihenfolge genauso nicht
> nachvollziehbar. zb:+1²-8-1²,+4-4+3
Das ist in beiden Fällen eine additive Null. Es gilt:
$x=x+0=x+1-1$ für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
Oft benutzt man diese Eigenschaft um eine Binomische Formel
anzuwenden. So auch in deinen Beispielen oben.
Nehmen wir das erste Beispiel:
[mm] $y=x^2-2x-8$
[/mm]
Das erinnert an die zweite binomische Formel
[mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR,
[/mm]
denn $y$ ähnelt offensichtlich
[mm] \green{(x-1)^2=x^2-2x+1}.
[/mm]
Es passt nur am Ende nicht, denn dort muss eine $-8$ stehen,
aber dort steht eine $1$. Aber es gilt: [mm] \red{0=+1-1} [/mm] und demnach
[mm] y=x^2-2x\red{+0}-8=x^2-2x\red{+1-1}-8=(\green{x^2-2x+1})-1-8=(\green{x^2-2x+1})-9=\green{(x-1)}^2-9.
[/mm]
Jetzt noch die Probe:
[mm] (x-1)^2-9=x^2-2x+1-9=x^2-2x+1-8.
[/mm]
Jetzt machst du mal das zweite Beispiel.
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 25.03.2014 | | Autor: | Mr.Duke |
Das heisst die Regel der additiven null heisst das +1-1 immer neben einander stehen. Genau das scheint aber in meinem Heft nicht der fall zu sein ist das egal oder nicht?
hier ein Beisiel:
y=-2x²+6x+8
y= -2(x²-3x-4)
y=-2(x²-3x+1,5²-1,5²-4)
Ich habe zwar die Lösung direkt vor mir und die gesamte Aufgabe aber wie +1,5² -1,5² berechnet erraten oder geschätzt wird kann ich nicht nachvollziehen. Offensichtlich verstehe ich hier nicht viel.Deswegen kann ich eine Aufgabe die ich nicht auswendig kenne nicht berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 25.03.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Das heisst die Regel der additiven null heisst das +1-1
> immer neben einander stehen. Genau das scheint aber in
> meinem Heft nicht der fall zu sein ist das egal oder
> nicht?
Ich habe es nur zur Übersicht nebeneinander geschrieben! Das
spielt keine Rolle, denn es gilt für die Addition in [mm] \IR [/mm] das
Kommutativgesetz:
$a+b=b+a$ für alle [mm] a,b\in\IR.
[/mm]
> hier ein Beisiel:
> y=-2x²+6x+8
> y= -2(x²-3x-4)
> y=-2(x²-3x+1,5²-1,5²-4)
>
> Ich habe zwar die Lösung direkt vor mir und die gesamte
> Aufgabe aber wie +1,5² -1,5² berechnet erraten oder
> geschätzt wird kann ich nicht nachvollziehen.
> Offensichtlich verstehe ich hier nicht viel.Deswegen kann
> ich eine Aufgabe die ich nicht auswendig kenne nicht
> berechnen.
Zunächst gilt:
[mm] $y=-2x²+6x+8=\blue{-2}(x^2-3x-4)$.
[/mm]
Wir wollen dem Ausdruck
[mm] $x^2\red{-3x}-4$
[/mm]
die zweite binomische Formel
[mm] $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ [/mm] für alle [mm] a,b\in\IR
[/mm]
verpassen, wobei wir speziell folgendes brauchen:
[mm] $(x-\alpha)^2+g(x)$ [/mm] mit [mm] \alpha\in\IR,
[/mm]
wobei $g(x)$ der Rest ist. Jetzt wirst du schnell bemerken,
dass wir beim Ausrechnen folgendes erhalten:
[mm] $(x-\alpha)^2+g(x)=x^2-2x\alpha+\alpha^2+g(x)$.
[/mm]
Hier muss also folgendes für den mittleren Term gelten:
[mm] -2x\alpha\overset{!}{=}\red{-3x}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha=\frac{3}{2} [/mm] mit [mm] $x\not=0$
[/mm]
[mm] \Rightarrow \alpha^2=\frac{9}{4}(=(1.5)^2).
[/mm]
Jetzt siehst du woher der Term kommt.
Jetzt kommt, analog zur anderen Aufgabe, der Ansatz:
[mm] x^2-3x-4=x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}-4=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}-4=(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=\blue{-2}\left((x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}\right).
[/mm]
Zur Probe mal den inneren Teil:
[mm] (x-\frac{3}{2})^2-\frac{23}{4}=x^2-2*\frac{3}{2}x+\frac{9}{4}-\frac{25}{4}=x^2-3x-4. [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich hoffe, dass nun alles verständlich ist.
Wenn man es ganz allgemein macht kann man übrigens zeigen,
dass folgendes gilt:
[mm] y=ax^2+bx+c
[/mm]
[mm] \Rightarrow y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)
[/mm]
[mm] \Rightarrow S\left(-\frac{b}{2a}\mid c-\frac{b^2}{4a}\right).
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 25.03.2014 | | Autor: | chrisno |
Das Ziel ist, am Ende [mm] $(x\pm\ldots)^2 \pm \ldots$ [/mm] zu bekommen. Außerhalb der Klammer darf kein x mehr stehen. Nun hast Du einen Ausdruck, in dem [mm] $x^2$ [/mm] und x vorkommen. Die Methode, beide in die Klammer mit dem Quadrat zu bringen, ist eine binomische Formel. Normalerweise steht die nicht da. Dann kommt der Trick mit der additiven Null. Vor dem x steht ein Faktor. Der muss das 2b aus der binomischen Formel sein [mm] $(x+b)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + 2xb + [mm] b^2$. [/mm] Für die komplette Formel fehlt noch das [mm] $b^2$. [/mm] Also musst Du den Faktor vor dem x durch 2 teilen, dann hast Du b. Das b musst Du nun quadrieren und dazu addieren. Gleicheitig musst Du es subtrahieren, damit Du nur eine Null addiert hast.
Beispiel:
[mm] $y=-2x^2+6x+8$
[/mm]
Erst einmal die -2 ausklammern, damit das [mm] x^2 [/mm] nackt da steht.
$y = [mm] -2(x^2-3x-4)$
[/mm]
Nun wird nur noch die Klammer betrachtet. [mm] $x^2 [/mm] -3x -4$ passt nicht in eine binomische Formel.
Das -3x macht aber klar, wohin die Reise geht. Es wird als $-2 [mm] \cdot [/mm] 1,5 [mm] \cdot [/mm] x$ gelesen.
Also ist die 2. binomische Formel dran: [mm] $(x-b)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - 2xb + [mm] b^2$ [/mm] wobei nun b = 1,5 ist. Das verlangt die -3 vor dem x. Um die Formel komplett zu bekommen, wird das [mm] $b^2$ [/mm] benötigt: [mm] $1,5^2$. [/mm] Damit nur eine Null addiert wird, steht da nun [mm] $x^2 [/mm] -3x [mm] +1,5^2 -1,5^2 [/mm] -4$ Nun ist es völlig egal, wo man die hinschreibt. [mm] $x^2 [/mm] -3x [mm] +1,5^2 [/mm] -4 [mm] -1,5^2$ [/mm] ist genau das Gleiche. Es ist geschafft:
Die binomische Formel wird benutzt $(x [mm] -1,5)^2 [/mm] -4 [mm] -1,5^2$ [/mm] und der Rest aufgeräumt $(x [mm] -1,5)^2 -5,5^2$.
[/mm]
Kurz: Die Null wird so gewählt, dass die binomische Formel aufgeht.
|
|
|
|
