Wann ist der Ausdruck prim? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 24.04.2007 | | Autor: | Didi |
| Aufgabe | | Für welche natürlichen Zahlen m,n ist [mm] n^{4}+4m^{4}=p [/mm] prim? |
Hallo,
ich hänge bei dieser Teilaufgabe und wäre über einen kleinen Tip sehr dankbar.
p ist für n=1 und m=1 prim.
Ich meine, dass dies die einzige Möglichkeit sein müsste. Ich habe in einem Buch gelesen, dass eine Zahl eine Primzahl ist, wenn sie von der Form 3r+1 oder 3r-1 oder 4r+1 oder 4r-1 oder 6r+1 oder 6r-1 ist. Außnahmen sind die Primzahlen 2 und 3.
Interessant wäre für meine Aufgabe nur der Fall 4r+1. Dies wäre erfüllt, wenn n,m=1. Also [mm] r=m^{4} [/mm] und [mm] 1=n^{4}. [/mm] Andererseits kann p für kein anderes n,m aus den natürlichen Zahlen prim sein, da [mm] 4m^{4} [/mm] und [mm] n^{4} [/mm] dann immer gerade sind und p somit durch 2 teilbar sein muss.
Ist diese Argumentation so in Ordnung? Wenn ja, wie kann ich denn begründen, dass p von der Form 4r+1 sein muss um Primzahl zu sein?
Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Di 24.04.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] m^{4}+4n^{4} [/mm] = [mm] (m^2+2n^2-2mn)(m^2+2n^2+2mn) [/mm]
daher max. nur dann prim, wenn [mm] m^2+2n^2-2mn [/mm] = 1
[mm] m^2+2n^2-2mn [/mm] = [mm] (m-n)^{2}+n^2 [/mm]
daraus folgt m-n=0 und n=1 da m,n natürl. Zahlen sein sollen.
daher m=n=1 einzige Lösung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Di 24.04.2007 | | Autor: | Didi |
Super, danke. So ist es natürlich ganz einfach 
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