Wann ist eine Menge ein Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Sa 21.10.2006 | | Autor: | gender |
da bin ich schon wieder:
noch eine Aufgabe, wobei es mir hierbei gar nicht um die Lösung der Aufgabe geht sondern eher um das Verständnis und die schreibweise:
also:
Sei [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] die Menge aller Paare (a,b) mit a,b [mm] \in \IR. [/mm] Wir definieren auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] eine Addition und eine Multiplikation durch:
(a , b) + [mm] (a^{'}, b^{'}) [/mm] = (a + [mm] a^{'}, [/mm] b + [mm] b^{'})
[/mm]
(a , b) * [mm] (a^{'} [/mm] , [mm] b^{'}) [/mm] = [mm] (aa^{'} [/mm] - [mm] bb^{'}, ab^{'} [/mm] + [mm] a^{'}b).
[/mm]
Ist [mm] (\IR [/mm] x [mm] \IR, [/mm] + , * ) ein Körper ???
Soweit die Aufgabe.
Nun zu meiner ersten Frage:
Warum muss auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] eine Addition und eine Multiplikation definiert sein. Und: Sind diese beiden Definitionen willkürlich aufgestellt. Zum Beispiel verstehe ich nicht, wie die Multiplikation in der Aufgabe entsteht und warum sie gerade so ist ?
Wie kann ich mir das überhaupt logisch vorstellen, dass auf [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] diese beiden Dinge "definiert" werden (müssen) ???
Zweite Frage:
Ist es korrekt, wenn ich schreibe:
[mm] \IR [/mm] x [mm] \IR \to [/mm] K, (a,b) a,b [mm] \in \IR
[/mm]
(wobei K der Körper sein soll)
Sind somit a,b Element von K ?
Wäre es in diesem Fall dann nicht das gleiche, ob ich schreibe a,b [mm] \in [/mm] K
oder
a,b [mm] \in \IR [/mm] ????
danke schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:33 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo gender,
ein paar Fragmente...:
> Warum muss auf [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] eine Addition und eine
> Multiplikation definiert sein.
Das gehört zur Definition eines Körpers (siehe übrigens auch: ![[]](/images/popup.gif) wikipedia: Körper): Eine Menge, in der eine sog. Additon und Mulitplikation definiert sind und in der dabei bestimmte Bedingungen erfüllt sind.
> Und: Sind diese beiden Definitionen willkürlich aufgestellt.
Im Prinzip ja! Vielleicht haben sie irgend einen "anschaulichen" Sinn, aber das muss nicht sein...  Es ist hier einfach eine Aufgabe. Diese sog. Additon und Multiplikation können völlig abstrus definiert sein. Denk bloß an das Kreuzprodukt in der Vektorrechnung...!
> Wie kann ich mir das überhaupt logisch vorstellen, dass
> auf [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR[/mm] diese beiden Dinge "definiert" werden
> (müssen) ???
Naja, wenn man die Zahlenpaar z.B. als Punktkoordinaten auffasst, machen Addition und Multiplikation überhaupt keinen Sinn (Oder gar wenn es Länge und Masse von Blauwalen sein sollten..., aber dann wär's ja nicht in [mm] $\IR$;-)). [/mm]
Wenn man sie aber als Vektoren versteht, dann kennt man noch aus der Schule eine einfache Addition und - gleich zwei völlig verschiedene "Multiplikationen": Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt. Auch wenn beide recht anschauliche Bedeutung haben, so sind sie ja nicht vom Himmel gesandt, sondern letztlich so "definiert" worden.
Zum Mittelteil kann ich leider nichts sagen, nur teilweise auch, weil mir die Frage nicht ganz klar ist, aber zum Letzen:
> Wäre es in diesem Fall dann nicht das gleiche, ob ich
> schreibe a,b [mm]\in[/mm] K
> oder
> a,b [mm]\in \IR[/mm] ????
Ungefär so wie es das Gleiche wäre zu sagen: "Ich fahre eine Auto mit Allradantrieb und Klimaanlage" oder "ich fahre ein Auto".
Ein Körper ist ja eine Menge zusätzlich mit definierten Merkmalen (der Addition und der Multiplikation) und außerdem noch bestimmten dabei zutreffenden Eigenschaften.
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
| |
|
> Zweite Frage:
> Ist es korrekt, wenn ich schreibe:
> [mm]\IR[/mm] x [mm]\IR \to[/mm] K, (a,b) a,b [mm]\in \IR[/mm]
> (wobei K der Körper
> sein soll)
>
>
> Sind somit a,b Element von K ?
> Wäre es in diesem Fall dann nicht das gleiche, ob ich
> schreibe a,b [mm]\in[/mm] K
> oder
> a,b [mm]\in \IR[/mm] ????
Hallo,
ich versuche mir einmal zusammenzureimen, was Du mit dieser Frage meinen könntest, und gebe darauf eine Antwort.
Es ist Dir völlig unbenommen, die Menge [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] irgendwie abzukürzen mit K, X oder Türklinke .
Dann definierst Du [mm] K:=\IR [/mm] x [mm] \IR. [/mm]
Die Menge K enthält Zahlenpaare.
Sei also [mm] x\in [/mm] K, x ein Element von K.
Dann ist x ein Zahlenpaar. Also gibt es a,b [mm] \in \IR [/mm] mit x=(a,b).
Ja? a und b sind reelle Zahlen, x ist ein Zahlenpaar. x ist ja auch K, und K ist die Abkürzung für [mm] \IR [/mm] x [mm] \IR [/mm] , und das sind Zahlenpaare.
Hast Du zwei Elemente x unx x' aus K, also x,x' [mm] \in [/mm] K, so sind das zwei Zahlenpaare. D.h. es gibt a,a',b,b' [mm] \in \IR [/mm] mit x=(a,b) und x'=(a',b').
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Sa 21.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hi Ihr,
noch zur Ergänzung und Vermeidung evtl. Missverständnisse:
Angelas Definition beeinhaltet noch nicht, dass dieses K ein Körper ist. Sie hat lediglich [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] durch Türkl... äh, duch K abgekürzt. Erst wenn für K die beiden Rechenoperationen definiert sind und jene handvoll Bedingungen erfüllt ist, haben wir den Körper.
Schöne Grüße,
ardik
|
|
|
|
