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| Aufgabe | Als weiterer Teil der Werbekampagne wird in der Fußgängerzone ein Glücksrad mit 4 gleich großen Sektoren aufgebaut. Dreht ein Passant das Glücksrad, so bekommt er eine Flasche BioFrucht der angezeigten Sorte geschenkt.
10 Personen drehen nacheinander je einmal das Glücksrad.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
(1) "Genau 3 Personen erhalten je eine Flasche der Sorte D."
(2) "Mindestens 3 Personen erhalten eine Flasche der Sorte D."
(3) "3 aufeinander folgende Personen erhalten eine Flasche der Sorte D, die restlichen Personen erhalten Flaschen anderer Sorten.
b) Wie oft muss das Glücksrad mindestens gedreht werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95% mindestens eine Flasche der Sorte C verschenkt wird? |
Hey Leute,
Hab die Aufgaben gerade angefangen,
a) (1), habe ich nach der Pfadregel gelöst:
[mm]0,25^3*0,75^7=0,2085[/mm] (20,85%)
a) (2), war für mich ein Fall für die Tabelle, Tabelle mit n=10, p=0,25 und k=2:
[mm]P(x\ge3)=1-P(x\le2)=0,4744[/mm] (47,44%)
a) (3), weiss ich nicht weiter.
Teil b) ist besonders wichtig aber da fällt mir nun wirklich garnix zu ein.
Gruß Blackpearl
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> Als weiterer Teil der Werbekampagne wird in der
> Fußgängerzone ein Glücksrad mit 4 gleich großen Sektoren
> aufgebaut. Dreht ein Passant das Glücksrad, so bekommt er
> eine Flasche BioFrucht der angezeigten Sorte geschenkt.
> 10 Personen drehen nacheinander je einmal das Glücksrad.
>
> a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender
> Ereignisse:
>
> (1) "Genau 3 Personen erhalten je eine Flasche der Sorte
> D."
> (2) "Mindestens 3 Personen erhalten eine Flasche der Sorte
> D."
> (3) "3 aufeinander folgende Personen erhalten eine Flasche
> der Sorte D, die restlichen Personen erhalten Flaschen
> anderer Sorten.
>
> b) Wie oft muss das Glücksrad mindestens gedreht werden,
> damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95%
> mindestens eine Flasche der Sorte C verschenkt wird?
> Hey Leute,
>
> Hab die Aufgaben gerade angefangen,
>
> a) (1), habe ich nach der Pfadregel gelöst:
> [mm]0,25^3*0,75^7=0,2085[/mm] (20,85%)
>
Offenbar hast du es hier mit einer Bernoullikette zu tun, oder? :) Also du hast schon richtig berechnet, wie die Wahrscheinlichkeit für den Fall 1. D,D,D,X,X,X,X,X,X,X lauten würden, aber was ist mit den ganzen anderen Fällen??? Müssen denn die drei Ds am Anfang stehen? Deshalb lautet die Bernoulliformel ja:
$ [mm] B(p,n,k)=\vektor{n \\ k}*p^k*q^{n-k} [/mm] $
Sprich, was bei dir fehlt, ist noch 10 über 3!
> a) (2), war für mich ein Fall für die Tabelle, Tabelle mit
> n=10, p=0,25 und k=2:
> [mm]P(x\ge3)=1-P(x\le2)=0,4744[/mm] (47,44%)
>
Sollte korrekt sein, es heißt ja in Worten: "höchstens zwei Leute erhalten keine Flasche D"! und das ist ja leichter zu berechnen, als 3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 10
> a) (3), weiss ich nicht weiter.
Nun ist die Frage, wie oft genau drei Personen hintereinander eine Flasche gewinnen können!
Wir hatten am Anfang den ähnlichen Fall von {D,D,D,X,X,X,X,X,X,X}, also 3 mal D und ansonsten etwas anderes. Nun können die Ds beliebig im Tupel verteilt sein, ihre Reihenfolge ist nicht interessant. Anders jetzt bei der (3), denn hier dürfen die Drei Ds ausschlißelich hintereinander stehen. Ohne Formel können wir uns überlegen, wie oft ist dies möglich? Offenbar geht es am Anfang und am Ende und dazwischen sind noch 8 Möglichkeiten, aber unsere Kette ist zwei Ds lang, also 8-2=6 mal zusätzlich zu der Start- und Endposition, also 8 mal.
Sprich es geht
D,D,D,X...
X,D,D,D,X...
X,X,D,D,D,X...
X,X,X,D,D,D,X...
X,X,X,X,D,D,D,X...
X,X,X,X,X,D,D,D,X...
X,X,X,X,X,X,D,D,D,X...
X,X,X,X,X,X,X,D,D,D
>
>
> Teil b) ist besonders wichtig aber da fällt mir nun
> wirklich garnix zu ein.
>
>
> Gruß Blackpearl
b ist sehr wichtig, weil das oft drankommt!
Also diesmal ist n, also die Anzahl der Personen, die drehen, nicht festgelegt! Damit ist n nicht mehr 10, sondern eben unbekannt und bleibt n.
Ferner wissen wir, dass die Endwahrscheinlichkeit größer als 0,95 sein soll, und zwar für min. EINE Flasche C. Da hast du selbst in (2) gesagt, dies sei identisch mit 1-P(k=0) für C kein einziges mal.
Also lautet dein Ansatz:
$ [mm] 1-\vektor{n \\ 0}*0,25^0*0,75^n>0,95 [/mm] $
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> Offenbar hast du es hier mit einer Bernoullikette zu tun,
> oder? :) Also du hast schon richtig berechnet, wie die
> Wahrscheinlichkeit für den Fall 1. D,D,D,X,X,X,X,X,X,X
> lauten würden, aber was ist mit den ganzen anderen
> Fällen??? Müssen denn die drei Ds am Anfang stehen? Deshalb
> lautet die Bernoulliformel ja:
>
> [mm]B(p,n,k)=\vektor{n \\ k}*p^k*q^{n-k}[/mm]
>
> Sprich, was bei dir fehlt, ist noch 10 über 3!
[mm]B(p,n,k)=\vektor{10 \\ 3}*0,25^3*0,75^{7}=0,2503[/mm] (25,03%)
Das hatte ich am anfang gemacht doch dann hab ichs wieder weggemacht da ihc dachte die Pfadregel wäre da richtig. Irgendwie schien mir der Wert 20,85% sinnvoller. Frag mich nicht wieso..^^
> Sollte korrekt sein, es heißt ja in Worten: "höchstens zwei
> Leute erhalten keine Flasche D"! und das ist ja leichter zu
> berechnen, als 3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 10
Das hat sich dann geklärt. :)
> Nun ist die Frage, wie oft genau drei Personen
> hintereinander eine Flasche gewinnen können!
>
> Wir hatten am Anfang den ähnlichen Fall von
> {D,D,D,X,X,X,X,X,X,X}, also 3 mal D und ansonsten etwas
> anderes. Nun können die Ds beliebig im Tupel verteilt sein,
> ihre Reihenfolge ist nicht interessant. Anders jetzt bei
> der (3), denn hier dürfen die Drei Ds ausschlißelich
> hintereinander stehen. Ohne Formel können wir uns
> überlegen, wie oft ist dies möglich? Offenbar geht es am
> Anfang und am Ende und dazwischen sind noch 8
> Möglichkeiten, aber unsere Kette ist zwei Ds lang, also
> 8-2=6 mal zusätzlich zu der Start- und Endposition, also 8
> mal.
>
> Sprich es geht
>
> D,D,D,X...
> X,D,D,D,X...
> X,X,D,D,D,X...
> X,X,X,D,D,D,X...
> X,X,X,X,D,D,D,X...
> X,X,X,X,X,D,D,D,X...
> X,X,X,X,X,X,D,D,D,X...
> X,X,X,X,X,X,X,D,D,D
Also Pfadregel? [mm]0,25^3*0,75^7[/mm] oder muss ich das noch am ende mit 8 multiplizieren?
> b ist sehr wichtig, weil das oft drankommt!
>
> Also diesmal ist n, also die Anzahl der Personen, die
> drehen, nicht festgelegt! Damit ist n nicht mehr 10,
> sondern eben unbekannt und bleibt n.
>
> Ferner wissen wir, dass die Endwahrscheinlichkeit größer
> als 0,95 sein soll, und zwar für min. EINE Flasche C. Da
> hast du selbst in (2) gesagt, dies sei identisch mit
> 1-P(k=0) für C kein einziges mal.
>
> Also lautet dein Ansatz:
>
> [mm]1-\vektor{n \\ 0}*0,25^0*0,75^n>0,95[/mm]
Das muss ich jetzt mit dem logarithmus nach "n" umformen oder? Ich hab noch nie so im dunkeln getappt.. keine Ahnung was ich da tun soll!
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> > Offenbar hast du es hier mit einer Bernoullikette zu tun,
> > oder? :) Also du hast schon richtig berechnet, wie die
> > Wahrscheinlichkeit für den Fall 1. D,D,D,X,X,X,X,X,X,X
> > lauten würden, aber was ist mit den ganzen anderen
> > Fällen??? Müssen denn die drei Ds am Anfang stehen? Deshalb
> > lautet die Bernoulliformel ja:
> >
> > [mm]B(p,n,k)=\vektor{n \\ k}*p^k*q^{n-k}[/mm]
> >
> > Sprich, was bei dir fehlt, ist noch 10 über 3!
>
> [mm]B(p,n,k)=\vektor{10 \\ 3}*0,25^3*0,75^{7}=0,2503[/mm] (25,03%)
>
> Das hatte ich am anfang gemacht doch dann hab ichs wieder
> weggemacht da ihc dachte die Pfadregel wäre da richtig.
> Irgendwie schien mir der Wert 20,85% sinnvoller. Frag mich
> nicht wieso..^^
>
> > Sollte korrekt sein, es heißt ja in Worten: "höchstens zwei
> > Leute erhalten keine Flasche D"! und das ist ja leichter zu
> > berechnen, als 3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 10
>
> Das hat sich dann geklärt. :)
>
> > Nun ist die Frage, wie oft genau drei Personen
> > hintereinander eine Flasche gewinnen können!
> >
> > Wir hatten am Anfang den ähnlichen Fall von
> > {D,D,D,X,X,X,X,X,X,X}, also 3 mal D und ansonsten etwas
> > anderes. Nun können die Ds beliebig im Tupel verteilt sein,
> > ihre Reihenfolge ist nicht interessant. Anders jetzt bei
> > der (3), denn hier dürfen die Drei Ds ausschlißelich
> > hintereinander stehen. Ohne Formel können wir uns
> > überlegen, wie oft ist dies möglich? Offenbar geht es am
> > Anfang und am Ende und dazwischen sind noch 8
> > Möglichkeiten, aber unsere Kette ist zwei Ds lang, also
> > 8-2=6 mal zusätzlich zu der Start- und Endposition, also 8
> > mal.
> >
> > Sprich es geht
> >
> > D,D,D,X...
> > X,D,D,D,X...
> > X,X,D,D,D,X...
> > X,X,X,D,D,D,X...
> > X,X,X,X,D,D,D,X...
> > X,X,X,X,X,D,D,D,X...
> > X,X,X,X,X,X,D,D,D,X...
> > X,X,X,X,X,X,X,D,D,D
>
> Also Pfadregel? [mm]0,25^3*0,75^7[/mm] oder muss ich das noch am
> ende mit 8 multiplizieren?
So ist es, die Pfadwahrscheinlichkeit für ein Ereignis ist ja immer gleich. Bei der a gab es dann jedoch 170 Möglichkeiten (10 über 3!), diese Ds anzuordnen. Hier gibt es nur 8, deshalb mal 8, richtig.
>
> > b ist sehr wichtig, weil das oft drankommt!
> >
> > Also diesmal ist n, also die Anzahl der Personen, die
> > drehen, nicht festgelegt! Damit ist n nicht mehr 10,
> > sondern eben unbekannt und bleibt n.
> >
> > Ferner wissen wir, dass die Endwahrscheinlichkeit größer
> > als 0,95 sein soll, und zwar für min. EINE Flasche C. Da
> > hast du selbst in (2) gesagt, dies sei identisch mit
> > 1-P(k=0) für C kein einziges mal.
> >
> > Also lautet dein Ansatz:
> >
> > [mm]1-\vektor{n \\ 0}*0,25^0*0,75^n>0,95[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Das muss ich jetzt mit dem logarithmus nach "n" umformen
> oder? Ich hab noch nie so im dunkeln getappt.. keine Ahnung
> was ich da tun soll!
Richtig, um das n zu erhalten, musst du den log anwenden
$ -0,75^n>-0,05 \gdw 0,75^n<0,05 $
$ log(0,75^n)<log(0,05) $
$ n*log(0,75)<log(0,05) $
$ n>\bruch{log(0,05)}{log(0,75)}} $
Das Ungleichzeichen dreht sich im letzten Schritt rum, weil eine Teilung durch log(0,75) eine Division mit einer negativen Zahl darstellt! Da log(x) für 0<x<1 immer negativ
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Hiho,
> [mm]-0,75^n>-0,05 \gdw 0,75^n<0,05[/mm]
> [mm]log(0,75^n)
> [mm]n*log(0,75)
> [mm]n>\bruch{log(0,05)}{log(0,75)}}[/mm]
>
> Das Ungleichzeichen dreht sich im letzten Schritt rum, weil
> eine Teilung durch log(0,75) eine Division mit einer
> negativen Zahl darstellt! Da log(x) für 0<x<1 immer
> negativ
Ich versteh nicht wie du von der Bernoulli-Formel auf diese Form kommst. Ich hab da glaube ich Elementare verständnis Probleme.
Muss ich einfach diese n über k weglassen und den rest dann umformen?
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$ [mm] 1-\vektor{n \\ 0}\cdot{}0,25^0\cdot{}0,75^n>0,95 [/mm] $
Das war die Ausgangsgleichung. Dann formulier dass doch einmal aus :)
n über 0 ist 1, ebenso wie 0,25 hoch 0 1 ist. Übrig bleibt nur [mm] 0,75^n, [/mm] die 1 habe ich durch Subtraktion nach rechts verfrachtet.
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Jo danke. Jetzt hab ichs gecheckt.
Aber sagen wir mal ganz hypothetisch, k wäre nicht 0 sondern 2.
Was wäre dann?
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Wenn du wissen willst, wie groß die W-keit ist, dass mehr als 2mal C kommt, dann:
P(X>2) = [mm] 1-P(X\le1)
[/mm]
Wenn du wissen willst, wie groß die W-keit ist, dass weniger als 2mal C kommt, dann:
P(X<2) = [mm] P(X\le1)
[/mm]
Diese Werte solltest du in einer Tabelle nachschauen.
Wenn du jetzt wieder wissen willst, wie oft du drehen musst, um mit 95% W-keit mindestens zweimal C zu bekommen, dann kannst du das
mit der Formel ausrechnen: du musst addieren (also die W-keit, dass C einmal kommt plus die W-keit, dass es garnicht kommt):
[mm] P(X\ge2)= 1-P(X\le1) [/mm] = 1- (P(X=1) + P(X=0)) =1 - [mm] (\vektor{n \\ 1}*(\bruch{1}{4})^1*(\bruch{3}{4})^{n-1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 0}*(\bruch{1}{4})^0*(\bruch{3}{4})^{n}) [/mm] > 0,95
Allerdings wird die zu lösende Ungleichung jetzt etwas ungemütlicher  . Wird auch selten gefragt, eher das mit dem "mindestens einmal", weil dann das Gegenereignis "passiert nicht" in die Rechnung einfließt.
Gruß,
weightgainer
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Also wird das dann zu komplex für die mündliche Nachprüfung meinste? Weil Hypothesentest soll ja auch nich drankommen also eher am Ende, wenn ich alles andere schon durch hab.
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Bei mündlichen Prüfungen werden praktisch nie so ganz komplizierte Rechenaufgaben gestellt. Wichtig ist erstmal, dass du die Wege verstehst und erklären kannst. In diesem Fall wäre das etwa so:
1. "Mindestens einmal" --> Verwendung des Gegenereignisses "keinmal"
2. Nutzung der Bernoulli-Formel
Und dann je nach Aufgabenstellung
3a. W-keit ausrechnen
3b. n ermitteln mittels Logarithmus
Wichtig ist vor dem 1. noch das richtige "Übersetzen" einer Aufgabe in diesen stochastischen Formalismus.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mi 10.06.2009 | | Autor: | Blackpearl |
Hilft mir schonma gut weiter. Vorallem weil der Stochastiche-Teil der 2. Teil sein wird und somit die Befragung ist.
Ausrechnen muss ich im 1., das wird der Analysis-Teil!
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> Das Ungleichzeichen dreht sich im letzten Schritt rum, weil
> eine Teilung durch log(0,75) eine Division mit einer
> negativen Zahl darstellt! Da log(x) für 0<x<1 immer negativ
Nochma ne Frage hierzu. Da wir den log(0,75) und 0,75 kleiner als 1 ist und dreht sich das Zeichen um? Wenns log(1,5) wäre würde es sich also nicht umdrehen??
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Ja genau.
Du kannst es ja in den TR eintippen - der Logarithmus von 1 ist immer 0 (weil [mm] x^0=1 [/mm] ist), egal ob ln, log oder irgendein anderer. Wenn die Zahl kleiner ist, muss der log negativ sein und bei Ungleichung dreht sich das Vergleichszeichen bei Division/Multiplikation mit negativer Zahl das Zeichen rum:
-3x > 6 | : (-3)
x < -2
denn:
-3x > 6 | + 3x
0 > 3x + 6 | -6
-6 > 3x | :3
-2 > x oder andersrum geschrieben eben x < -2
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> [mm]-0,75^n>-0,05 \gdw 0,75^n<0,05[/mm]
> [mm]log(0,75^n)
> [mm]n*log(0,75)
> [mm]n>\bruch{log(0,05)}{log(0,75)}}[/mm]
>
> Das Ungleichzeichen dreht sich im letzten Schritt rum, weil
> eine Teilung durch log(0,75) eine Division mit einer
> negativen Zahl darstellt! Da log(x) für 0<x<1 immer
> negativ
Was jetzt als Ergebnis kommt ist ja n > 10. Sag ich jetzt einfach ab 10 Versuchen ist eine Chance von 95 % das mind. 1 mal BioFrucht D kommt?
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Du bekommst ja n > 10,4 raus, dann ist es also erst ab dem 11. Versuch so, dass mit mindestens 95% W-keit mindestens einmal C dabei ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Do 11.06.2009 | | Autor: | Blackpearl |
Also da, auf die nächst große dezimal Zahl aufrunden. Weiss ich bescheid! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 11.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blackpearl!
> Also da, auf die nächst große dezimal Zahl aufrunden.
Das muss natürlich "nächstgrößere ganze Zahl" heißen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Do 11.06.2009 | | Autor: | Blackpearl |
Jo danke! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 10.06.2009 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Tag,
ich empfehle die geometrische Verteilung zur Lösung von b).
Schönen Gruß
Karsten
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Also ehrlich gesagt habe ich den Begriff bis jetzt noch nie gehört bei uns in der Schule. Klar kann es sein das ich es einfach vergessen habe oder der Lehrer andere Begriffe dafür benutzt hat.
Ich habs gerade mal gegoogelt. Meinste die Bernoulli-Formel?
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Adamantin hat es schon ziemlich gut erklärt...
Du drehst also n-mal an dem Glücksrad. Die W-keit dafür, dass mind. einmal C kommt ist P(mind. 1x kommt C) = 1 - P(C kommt nie).
Wenn du dir jetzt den Baum dazu vorstellst, dann gibt es für die jetzt gesuchte W-keit (dass C garnicht kommt) nur einen einzigen Pfad. Auf diesem Pfad hat jeder Ast immer die W-keit [mm] \bruch{3}{4} [/mm] und du hast n Stufen, weil du ja n-mal drehst. Dieser Pfad hat also die W-keit [mm] (\bruch{3}{4})^n.
[/mm]
Das kannst du jetzt einsetzen und du bekommst:
P(mind. 1x kommt C) = 1 - P(C kommt nie) = 1 - [mm] (\bruch{3}{4})^n [/mm] und das soll größer als 0,95 sein. Das ist die Ungleichung, die Adamantin schon im Detail vorgerechnet hat.
Was ich jetzt "zu Fuß" im Baum ermittelt habe, lässt sich eben ganz einfach durch die Bernoulli-Formel berechnen. Dort taucht der Binomialkoeffizient auf, der dir die Anzahl der Pfade angibt (hier gibt es nur einen, also 1), dann kommen die W-keiten der Äste und hier kommt eben 0-mal die [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und n-mal die [mm] \bruch{3}{4}.
[/mm]
Gruß,
weightgainer
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