Warum ist 1+2+...+n=-(1/12) < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | 1+2+3+...+n=-[mm]\bruch{1}{12}[/mm] mit n=unendlich |
Warum kann man bei dieser Gleichung -[mm]\bruch{1}{12}[/mm] erhalten?
Normalerweise kenne ich die Formel: 1+2+3+...+n=[mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
Setzt man n gleich unendlich, so wird auch 1+2+3+...+n unendlich.
Hinter der Lösung -[mm]\bruch{1}{12}[/mm] steckt die Überlegung die Reihe so zu schreiben: [mm]1+\bruch{1}{2^-1}+\bruch{1}{3^-1}+\bruch{1}{4^-1}...+\bruch{1}{n^-1}[/mm]
Dabei muss man sie irgendwie in die Zeta-Funktion einsetzen: <img class="tex" [mm] alt="\sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}" [/mm] src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/f/c/0/fc01d9628ee9c0f2971e14f10856592a.png">
Ich möchte gerne wissen, wie man auf dieses Ergebnis kommt, um die Zeta-Funktion besser zu verstehen.
Kann es üerhaupt sein, dass ein und derselbe Ausdruck zwei Lösungen hat? - Einmal unendlich und ein anderes Mal [mm]\bruch{1}{12}[/mm]?
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> 1+2+3+...+n = [mm]-\ \bruch{1}{12}[/mm] mit n=unendlich
>
> Warum kann man bei dieser Gleichung [mm]-\ \bruch{1}{12}[/mm]
> erhalten?
Das ist natürlich Unsinn !
(vielleicht hast du an diese Möglichkeit ja
auch schon gedacht ...  )
> Normalerweise kenne ich die Formel:
> 1+2+3+...+n = [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> Setzt man n gleich unendlich, so wird auch 1+2+3+...+n
> unendlich.
Genau ausgedrückt ginge es dabei um eine Grenzwertbetrachtung.
> Hinter der Lösung -[mm]\bruch{1}{12}[/mm] steckt die Überlegung
> die Reihe so zu schreiben:
> [mm]1+\bruch{1}{2^-1}+\bruch{1}{3^-1}+\bruch{1}{4^-1}...+\bruch{1}{n^-1}[/mm]
so notiert, wie du es gemeint hast:
[mm]1+\bruch{1}{2^{-1}}+\bruch{1}{3^{-1}}+\bruch{1}{4^{-1}}\,...\,+\bruch{1}{n^{-1}}\,+\,.....[/mm]
> Dabei muss man sie irgendwie in die Zeta-Funktion
> einsetzen: <img class="tex" [mm]alt="\sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}"[/mm]
> src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/f/c/0/fc01d9628ee9c0f2971e14f10856592a.png">
>
> Ich möchte gerne wissen, wie man auf dieses Ergebnis
> kommt, um die Zeta-Funktion besser zu verstehen.
Wenn du das vorhast, beginnst du wohl besser nicht gerade
mit einer Jux-Gleichung ...
diesen Begriff der Jux-Gleichung muss ich wohl zurücknehmen,
nachdem sie offenbar von Srinivasa Ramanujan stammt ...
> Kann es überhaupt sein, dass ein und derselbe Ausdruck zwei
> Lösungen hat? - Einmal unendlich und ein anderes Mal
> [mm]\bruch{1}{12}[/mm] ?
Natürlich nicht. Es zeigt sich einfach, dass in wenigstens
einer der beiden Berechnungen ein fundamentaler Fehler
steckt !
Siehe z.B. da: ![[]](/images/popup.gif) Zeta(-1) ist nicht definiert
Auf welche Weise da jemand den Wert [mm] -\,\frac{1}{12} [/mm] erhalten
hat, ist mir schleierhaft.
Durch ähnliche "Tricks" (bei welchen an irgendeiner
Stelle ein Rechengesetz grob verletzt wird), kann
man etwa Gleichungen wie [mm] 0=1=\frac{1}{2} [/mm] etc. "beweisen":
1.) 1-1+1-1+1-1+ ..... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+ .... = 0+0+0+ ..... = 0
2.) 1-1+1-1+1-1+ ..... = 1-[(1-1)+(1-1)+(1-1)+ ....] = 1-[0+0+ .....] = 1-0 = 1
3.) 1-1+1-1+1-1+ ..... ist eine geometrische Reihe mit dem
Anfangsglied [mm] a_1=1 [/mm] und dem Quotienten q=-1, also ist die
Summe:
$\ [mm] s_{\infty}\ [/mm] =\ [mm] a_1*\frac{1}{1-q}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{1-(-1)}\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
ein bekannter "Beweis" für die Gleichung 4=5:
http://home.arcor.de/bastian-voelker/tricks.html
LG
Al-Chw.
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> > 1+2+3+...+n = [mm]-\ \bruch{1}{12}[/mm] mit n=unendlich
> >
> > Warum kann man bei dieser Gleichung [mm]-\ \bruch{1}{12}[/mm]
> > erhalten?
>
> Das ist natürlich Unsinn !
> (vielleicht hast du an diese Möglichkeit ja
> auch schon gedacht ... )
Das kann nicht sein, siehe hier: [mm] http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%80%A6
[/mm]
Die Berechnung wurde von Ramanujan durchgeführt: http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
Ich verstehe nur nicht, was dort passiert ist und was mir das Ergebnis sagt.
Es geht für mich dabei darum die Zeta-Funkion besser zu verstehen, da ich eine Facharbeit über Primzahlen schreiben werde und gerne wissen würde, wie diese Funktion funkitoniert.
>
> > Normalerweise kenne ich die Formel:
> > 1+2+3+...+n = [mm]\bruch{n*(n+1)}{2}[/mm]
> > Setzt man n gleich unendlich, so wird auch 1+2+3+...+n
> > unendlich.
>
> Genau ausgedrückt ginge es dabei um eine
> Grenzwertbetrachtung.
>
> > Hinter der Lösung -[mm]\bruch{1}{12}[/mm] steckt die Überlegung
> > die Reihe so zu schreiben:
> >
> [mm]1+\bruch{1}{2^-1}+\bruch{1}{3^-1}+\bruch{1}{4^-1}...+\bruch{1}{n^-1}[/mm]
>
> so notiert, wie du es gemeint hast:
>
> [mm]1+\bruch{1}{2^{-1}}+\bruch{1}{3^{-1}}+\bruch{1}{4^{-1}}\,...\,+\bruch{1}{n^{-1}}\,+\,.....[/mm]
>
> > Dabei muss man sie irgendwie in die Zeta-Funktion
> > einsetzen: <img class="tex" <span="">[mm]alt=" \sum_{n="1}^\infty" {n^{-s}}"$"="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$alt%3D$" {n^{-s}}""="">
> >
> src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/f/c/0/fc01d9628ee9c0f2971e14f10856592a.png">
> >
> > Ich möchte gerne wissen, wie man auf dieses Ergebnis
> > kommt, um die Zeta-Funktion besser zu verstehen.
>
> Wenn du das vorhast, beginnst du wohl besser nicht gerade
> mit einer Jux-Gleichung ...
>
> > Kann es überhaupt sein, dass ein und derselbe Ausdruck
> zwei
> > Lösungen hat? - Einmal unendlich und ein anderes Mal
> > ![$\bruch{1}{12}[/mm] ?
</font>
<br>
<font class=]() >
> Natürlich nicht. Es zeigt sich einfach, dass in
> wenigstens
> einer der beiden Berechnungen ein fundamentaler Fehler
> steckt !
>
> Siehe z.B. da:
> Zeta(-1) ist nicht definiert
>
> Auf welche Weise da jemand den Wert [mm]-\,\frac{1}{12}[/mm]
> erhalten
> hat, ist mir schleierhaft.
> Durch ähnliche "Tricks" (bei welchen an irgendeiner
> Stelle ein Rechengesetz grob verletzt wird), kann
> man etwa Gleichungen wie [mm]0=1=\frac{1}{2}[/mm] etc.
> "beweisen":
>
> 1.) 1-1+1-1+1-1+ ..... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+ .... = 0+0+0+
> ..... = 0
>
> 2.) 1-1+1-1+1-1+ ..... = 1-[(1-1)+(1-1)+(1-1)+ ....] =
> 1-[0+0+ .....] = 1-0 = 1
>
> 3.) 1-1+1-1+1-1+ ..... ist eine geometrische Reihe mit
> dem
> Anfangsglied [mm]a_1=1[/mm] und dem Quotienten q=-1, also ist
> die
> Summe:
>
> [mm]\ s_{\infty}\ =\ a_1*\frac{1}{1-q}\ =\ \frac{1}{1-(-1)}\ =\ \frac{1}{2}[/mm]
>
> ein bekannter "Beweis" für die Gleichung 4=5:
> http://home.arcor.de/bastian-voelker/tricks.html
>
> LG
>
> Al-Chw.
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> Die Berechnung wurde von Ramanujan durchgeführt:
> http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
>
> Ich verstehe nur nicht, was dort passiert ist und was mir
> das Ergebnis sagt.
Hallo,
hast du den dort stehenden einleitenden Satz beachtet:
Ramanujan summation is a technique invented by the
mathematician Srinivasa Ramanujan for assigning a sum
to infinite divergent series. Although the Ramanujan
summation of a divergent series is not a sum in the
traditional sense, it has properties which make it
mathematically useful in the study of divergent
infinite series, for which conventional summation
is undefined.
Es geht also dabei um ein abstraktes Konzept, das mit
der "gewöhnlichen" Algebra und Analysis nur unter
ganz bestimmten Gesichtspunkten vereinbar ist.
Insbesondere kann man diese "Ramanujan-Summation"
nicht mit der "normalen" Summation im Reellen ver-
gleichen.
Es gibt auch andere Konzepte, die über die gewöhnliche
Mathematik hinaus gehen, z.B. die Nichtstandard-Analysis .
Diese Ramanujan-Summation ist mir aber auch ganz neu -
wenn ich Zeit habe, werde ich mich etwas darein vertiefen.
Danke jedenfalls für den Link.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Di 03.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
schau mal hier
Zetafunktion
da ist die Zetafunktion und ihre Fortsetzung in die ganze komplexe Ebene erklärt. Die Schreibweise von Ramanuja [mm] 1+2+3+...+=-\bruch{1}{12} [/mm] bezieht sich auf die Zetafunktion [mm] 1+\bruch{1}{2^{-1}}+\bruch{1}{3^{-1}}+...+\bruch{1}{n^{-1}} [/mm] die in die komplexe Ebene fortgesetzt ist. Im obigen Papier Satz 2.4.
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Vielen Dank für die Antworten.
Die pdf-Datei hilft mir sehr.
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Hallo Profi_jdr_10
ullim hat das richtige Papier gefunden, um sich da zu
informieren. Beachten sollte man jetzt einfach:
Die Reihendarstellung der Zetafunktion
[mm] $\zeta(s)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$
[/mm]
gilt für (reelle oder komplexe) Werte s mit Re(s)>1
Man kann aber die Zetafunktion auf fast ganz [mm] \IC [/mm] (außer s=1,
wo ein Pol liegt) fortsetzen. Damit kommt man dann auch zu
dem konkreten Zahlenwert [mm] $\zeta(-1)\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{1}{12}$
[/mm]
Da aber an dieser Stelle die obige Reihe nicht konvergiert,
ist es nicht zuläßig, die Gleichung
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{-1}}\ [/mm] =\ [mm] -\,\frac{1}{12}$
[/mm]
aufzustellen. Dass Ramanujan trotzdem eine entsprechende
Gleichung notiert hat (wobei er sich bestimmt darüber im
Klaren war, wie diese zu verstehen ist), hat wohl auch damit
zu tun, dass er sich mit den gängigen Schreibweisen in der
professionellen Mathematik nicht hundertprozentig auskannte
bzw. sich nicht scheute, auch eigene Schreibweisen zu
benützen, wie das z.B. auch schon Euler lange vor ihm getan
hatte.
LG Al-Chw.
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