Warum keine Wurzelgesetze in C < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
nach hunderten Webseiten habe ich folgende Aussagen auf Websetien/Büchern gefunden bzw. stelle folgende Vermutungen an, die ich gerne überprüft hätte:
1. Die Wurzelgesetze (Wurzelexponent aus N) sind im Komplexen nicht gültig.
2. Im Imaginären sind die Wurzelgesetze gültig, sonst könnte man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht finden. Beispiel: [mm] \wurzel{-3}=\wurzel{-1}*\wurzel{3}
[/mm]
3. Dass die Wurzelgesetze im Komplexen nicht gültig sind, liegt an der Nichtstetigkeit der Argumentfunktion der Wurzelfunktion (hab ich so in einem Forum gelesen). Die Wurzelfunktion für imaginäre Zahlen ist dagegen stetig, und daher darf ich die Wurzelgesetze (zumindest das erwähnte) anwenden.
Meine Fragen sind nun:
1. Stimmt das so, was ich vermute.
2. Kennt jemand ein Buch/Skript (auch englisch), wo das ganze erklärt ist.
3. Ist es bei reellen Zahlen auch so, dass für eine nichtstetige Funktion keine Gesetze angegeben werden können? Wenn ja, woran liegt das? Hängt das irgendwie mit der fehlenden Anordung der Funktionwerte zusammen? Oder was steckt das mathematisch dahinter.
Ja, die Fragen sind etwas sonderbar. Ich gebe es zu. Hab schon die halbe Uni-Bibliothek durch, aber kein Buch gefunden, wo das erklärt ist. Noch nichtmal ein englisches.
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> Hallo,
> nach hunderten Webseiten habe ich folgende Aussagen auf
> Websetien/Büchern gefunden bzw. stelle folgende
> Vermutungen an, die ich gerne überprüft hätte:
>
> 1. Die Wurzelgesetze (Wurzelexponent aus N) sind im
> Komplexen nicht gültig.
> 2. Im Imaginären sind die Wurzelgesetze gültig, sonst
> könnte man die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht
> finden. Beispiel: [mm]\wurzel{-3}=\wurzel{-1}*\wurzel{3}[/mm]
> 3. Dass die Wurzelgesetze im Komplexen nicht gültig sind,
> liegt an der Nichtstetigkeit der Argumentfunktion der
> Wurzelfunktion (hab ich so in einem Forum gelesen). Die
> Wurzelfunktion für imaginäre Zahlen ist dagegen stetig,
> und daher darf ich die Wurzelgesetze (zumindest das
> erwähnte) anwenden.
>
> Meine Fragen sind nun:
> 1. Stimmt das so, was ich vermute.
> 2. Kennt jemand ein Buch/Skript (auch englisch), wo das
> ganze erklärt ist.
> 3. Ist es bei reellen Zahlen auch so, dass für eine
> nichtstetige Funktion keine Gesetze angegeben werden
> können? Wenn ja, woran liegt das? Hängt das irgendwie mit
> der fehlenden Anordung der Funktionwerte zusammen? Oder was
> steckt das mathematisch dahinter.
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> Ja, die Fragen sind etwas sonderbar. Ich gebe es zu. Hab
> schon die halbe Uni-Bibliothek durch, aber kein Buch
> gefunden, wo das erklärt ist. Noch nichtmal ein
> englisches.
Guten Abend
ich möchte nur eine ganz knappe Antwort geben:
der heikle Punkt ist einfach der, dass es im Bereich [mm] \IC
[/mm]
nicht so leicht (wie zum Beispiel in [mm] \IR^+) [/mm] möglich ist,
den Potenzfunktionen $\ p:\ [mm] z\,\to\ z^n$ [/mm] (mit [mm] n\in \IN)
[/mm]
auf einfache und einheitliche Weise eindeutig definierte
Umkehrfunktionen (also die von dir gewünschten "komplexen
Wurzelfunktionen" zuzuordnen. Der Grund dafür ist, dass
die Funktion $\ p:\ [mm] z\,\to\ z^n$ [/mm] den Bereich [mm] \IC [/mm] zwar
auf [mm] \IC [/mm] abbildet, aber halt jeweils in n-facher Überlappung.
Ich würde trotzdem nicht sagen, dass etwa "die Wurzelgesetze
(für Wurzelexponenten aus [mm] \IN) [/mm] im Komplexen einfach nicht
gültig seien".
Wer mit Wurzelausdrücken in [mm] \IC [/mm] hantieren will, muss eben
nur stets klar machen, wie er diese Wurzelterme definiert
haben will - und sich dann selber an diese Definitionen
halten.
Dann noch spezielle Ausnahmeregelungen für rein imaginäre
Zahlen einzuführen, hielte ich für ziemlich abwegig.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:22 Sa 02.07.2016 | | Autor: | Psychopath |
>Der Grund dafür ist, dass die Funktion $ \ p:\ [mm] z\,\to\ z^n [/mm] $ den
>Bereich $ [mm] \IC [/mm] $ zwar auf $ [mm] \IC [/mm] $ abbildet, aber halt jeweils in n-facher
>Überlappung.
Hallo, danke für die Antwort. Das war wohl der Punkt, an den ich nicht gedacht habe. Viele Grüße
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