Was ist denn arsinh x? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Hyperbolischen Funktionen sind gegeben durch
[mm] sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{ 2} [/mm]
[mm] cosh x x=\frac{e^x+e^{-x}}{ 2} [/mm]
[mm] tanh x=\frac{sinh x}{ coshx} [/mm]
[mm] coth x=\frac{coshx}{ sinhx} [/mm]
a) Differenzieren Sie die Funktionen
b) Stellen Sie eine Beziehung zwischen sinh x und seiner Ableitung her
c) Differenzieren Sie die zugehörigen Umkehrfunktionen: arsinh x, arcosh x, artanh x und arcoth x |
Hallo!
Hab schon wieder jede Menge Fragen.
Die Teilaufgabe a) hab ich gelöst.
Teilaufgabe b) verstehe ich nicht was ich tun soll, heißt das ich soll die Ableitung von sinhx beweisen?
Bei Teilaufgabe c) mangelt es mir auch an Vertändnis.
Was ist denn arsinh x?
Bedeutet das:
[mm] arsinh x=\frac{2}{ e^x-e^{-x}} [/mm]
also einfach der Kehrwehrt von sinh x?
vielen Dank im Vorraus.
mfg alieneater
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo alieneator!
> Teilaufgabe b) verstehe ich nicht was ich tun soll, heißt
> das ich soll die Ableitung von sinhx beweisen?
Wie lautet denn die Ableitung zu $f(x) \ = \ [mm] \sinh(x)$ [/mm] ?
Hat diese vielleicht "Ähnlichkeit" mit eine der anderen hyperbolischen Funktionen?
> Bei Teilaufgabe c) mangelt es mir auch an Vertändnis.
> Was ist denn arsinh x?
Falls hier die direkte Funktionsvorschrift nicht vorgegeben ist, musst Du diese erst selbst ermitteln.
Und zwar handelt es hier bei $arsinh(x)_$ um die Umkehrfunktion zu [mm] $\sinh(x)$ [/mm] .
Du musst hier also die Gleichung $y \ = \ [mm] \bruch{e^x-e^{-x}}{2}$ [/mm] nach $x \ = \ ...$ umstellen.
Substituiere dafür $u \ := \ [mm] e^x$ [/mm] , nachdem Du diese Gleichung mit [mm] $e^x$ [/mm] multipliziert hast. Dann erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du wie gewohnt mit der  p/q-Formel lösen kannst.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo roadrunner!
Ich habe schon gesehen, dass sinh' (x)=cosh (x) ist, aber trotzdem ist mir nicht klar was ich machen soll.
Zu Teilaufgabe c):
Ich kann leider nicht nachvollziehgen was du da vorschlägst.
Wenn ich [mm] e^x:=u [/mm] substituiere bringt mich das leider keinen Schritt weiter. Zumindest seh ich nicht was mir das bringt...
Weil ja immer noch [mm] e^{-x} [/mm] übrig ist. Oder muss das auch noch substituiert werden?
kannst du bitte etwas genauer erklären wie ich das machen soll?
Ich danke allen, die sich die Mühe machen mir zu helfen!
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Hallo!
> Ich habe schon gesehen, dass sinh' (x)=cosh (x) ist, aber
> trotzdem ist mir nicht klar was ich machen soll.
Na, und was ist die Ableitung von [mm] \cosh(x)? [/mm] Na, klingelt's? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") Da soll dann nachher so was ähnliches stehen wie: [mm] \sin''(x)=-\sin(x) [/mm] - nur halt für den [mm] \sinh(x).
[/mm]
> Zu Teilaufgabe c):
> Ich kann leider nicht nachvollziehgen was du da
> vorschlägst.
> Wenn ich [mm]e^x:=u[/mm] substituiere bringt mich das leider keinen
> Schritt weiter. Zumindest seh ich nicht was mir das
> bringt...
> Weil ja immer noch [mm]e^{-x}[/mm] übrig ist. Oder muss das auch
> noch substituiert werden?
Machen wir es mal so, wie Roadrunner es gesagt hat:
[mm] ye^x=\bruch{e^x(e^x-e^{-x})}{2}
[/mm]
[mm] \gdw ye^x=\bruch{e^{2x}-1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw yu=\bruch{u^2-1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw 2yu=u^2-1
[/mm]
Schaffst du nun weiter? Oder geht das so doch nicht?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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