Was sind kompakte Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sei ein Definitionsbereich - D = {x,y [mm] R^2 [/mm] I [mm] 2x^2+ 3y^2 \le [/mm] 6}
Ist D abgeschlossen, offen oder kompakt ? |
Liebe User - 7 Tage ist es noch bis ich eine Klausur schreiben soll, welche unter anderem auch dieses Themengebiet beinhalten soll.
Beim Googeln konnte ich leidernicht schlauer werden und mache mir nun Sorgen, um mein Studium (welches ich auf keinen Fall abbrechen möchte).
Kann mir jemand aus diesem Forum, BITTE auf eine sehr einfache Art erklären, wie ich bei solch einer Aufgabevorgehen soll ?
Und da wäre noch die Frage : Wozu machen wir das ? Ich habe in der Vorlesung gehört, dass man diese "Begriffe" in irgend einer Weise braucht, um Randpunkte Minima oder Maxima besser zu bestimmen (vielleicht ohne die stressige Hesse-Matrix?)
BITTE BITTE Helft mir!!!
|
|
| |
|
> Gegeben sei ein Definitionsbereich - D = [mm] \{x,y R^2 I 2x^2+ 3y^2 \le6\}
[/mm]
>
> Ist D abgeschlossen, offen oder kompakt ?
Hallo,
wenn Du Funktionen über kompakten Definitionsbereichen betrachtest, kannst Du sicher sein, daß sie dort ihr Minimum und Maximum annehmen. Das ist der Grund, weshalb man sich im Zusammenhang mit der Extremwertberechnung für Kompaktheit interessiert.
Du wirst es nur mit Teilmengen des [mm] \IR^n, [/mm] vermutlich maximal [mm] \IR^3 [/mm] zu tun haben.
Kompaktheit bedeutet hier: abgeschlossen und beschränkt.
Wenn Du wie oben eine Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] angegeben hast, machst Du Dir am besten erstmal eine Skizze von der Menge.
Manche Sachen muß man hier halt wissen, und zu der Grundausstattung gehören unbedingt die Gleichungen von Kreisen und Ellipsen.
Das, was Dir oben gegeben ist, ist das Innere einer Ellipse und ihr Rand. Die Ellipse ist beschränkt. (Du kannst einen Ballon malen, in welchem sie eingesperrt ist.) Das "=" bei [mm] "\le" [/mm] sagt Dir, daß der Rand dazugehort.
Dein Definitionsbereich D ist also eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] somit kompakt.
Stünde dort [mm] D_1=\ [/mm] {x,y [mm] R^2 [/mm] I [mm] 2x^2+ 3y^2 [/mm] < [mm] 6\}, [/mm] so hättest Du das Innere einer Ellipse. Die Menge wäre beschränkt, aber wegen des fehlenden Randes nicht abgeschlossen, also nicht kompakt.
Stünde dort [mm] D_2=\ [/mm] {x,y [mm] R^2 [/mm] I [mm] 2x^2+ 3y^2\ge 6\}, [/mm] so hättest Du die Ebene mit Ausnahme der Ellipse. Offensichtlich ist diese Menge nicht beschränkt, also nicht kompakt.
Ich weise nochmal daraufhin, daß das erste, was Du brauchst, eine Skizze ist.
> Und da wäre noch die Frage : Wozu machen wir das ? Ich habe
> in der Vorlesung gehört, dass man diese "Begriffe" in
> irgend einer Weise braucht, um Randpunkte Minima oder
> Maxima besser zu bestimmen (vielleicht ohne die stressige
> Hesse-Matrix?)
Ja, ich hatte oben schon erwähnt, aus welchem Grund man sich für die Kompaktheit des Definitionsbereiches interessiert. Wenn der Definitionsbereich kompakt ist, brauchst Du nur zu gucken, welcher der Extremwertkandidaten den größten und welcher den kleinsten Funktionswert hat, damit hast Du Deine globalen Extremwerte dann gefunden.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen lieben Dank für Deine perfekte Erklärung. Ich war heute in der Uni und muss zugeben, dass es mir niemand auch nur annährend so gut erklären konnte, wie Du.
Ich habe es jetzt kapiert ;) Nur stellt sich bei mir noch eine kleine flüchtige Frage:
Was bedeutet eigentlich beschränkt ? Ich meine bei Deinem 2. Beispiel wo die gesammte Fläche außer der Ellipse gemeint war (">") müsste Diese Menge doch ebenfalls beschränkt sein.
Bezieht sich dieses "Beschränkt" lediglich auf "von Innen nach Außen" ?
Bitte hilf mir dabei, dieses Problem auch noch zu beseitigen 
PS : COOL !!! Ich habe erst jetzt gemerkt, wie cool man mit diesen Definitionen bei Lagrange-Multiplikationsverfahren (da hab ich auch so meine Schwierigkeiten) die verwirrende Hesse-Matrix umgehen kann
Vielen lieben Dank !!!
|
|
|
| |
|
> Ich habe es jetzt kapiert ;)
Hallo,
das freut mich.
Nur stellt sich bei mir noch
> eine kleine flüchtige Frage:
>
> Was bedeutet eigentlich beschränkt ? Ich meine bei Deinem
> 2. Beispiel wo die gesammte Fläche außer der Ellipse
> gemeint war (">") müsste Diese Menge doch ebenfalls
> beschränkt sein.
Stell Dir ein Ellipse in der Ebene vor. Alles, was außerhalb (>) der Ellipse liegt, gehört zu Deiner Menge. Stell es Dir eingefärbt vor, sagen wir: grün. Alles Grüne gehört zu Deiner Menge. Das geht immer weiter. Du kannst es nicht in einen Kasten sperren.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
