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| Aufgabe | | Wechselstrom Aufgaben (verschiedene Fragen) |
Hallo allerseits, tja ich weis gar nicht wo ich anfangen soll...
Das ist schonmal ein guter erster Satz werdet Ihr euch denken, aber ich habe die letzte Woche Intensiv damit zugebracht mir den Wechselstrom erneut in den Kopf zu hämmern und bin dabei über den einen oder anderen Stolperstein gefallen.
Ich habe im Zuge meiner Rechnungen gleich mehrere kurze Fragen zu unterschiedlichen Aufgaben und jetzt frage ich mich, wie bringe ich das hier unter ohne gleich 10 Topics zu eröffnen und das Forum zuzuspammen...zum Teil sind es Aufgaben, wo ich bereits Alle Abschnitte bearbeitet habe(a,b,c,d) allerdings dann bei einem Teilabschnitt eine Frage habe. Ich versuche alle notwendigen Informationen mitzuliefern.
Ich versuche es mal und baue auf euer Mitgefühl :)
1 Aufgabe: Gegeben ist ein CR- Stromkreis mit der Wechselstromspannung [mm] U_{E}(t)=U_{0}*cos \omega*t [/mm] und zwei in Reihe geschalteten Widerständen. Ein Kondensator der in Reihe zu einem Ohmschen Widerstand geschaltet ist. Über dem Ohmschen Widerstand wird die Ausgangsspannung [mm] U_{A}(t) [/mm] abgegriffen.
a) Berechnen Sie die Amplitude [mm] U_{A0} [/mm] und Phasenverschiebung der Ausgangsspannung:
[mm] \bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R}{R-\bruch{i}{\omega c}} [/mm]
Um das i aus dem Nenner zu bekommen erweitere ich mit dem Nenner, wobei das - durch ein plus vertauscht wird:
[mm] \bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R^{2} + i \bruch{R}{\omega c} }{R^{2}+ \bruch{1}{\omega*c}}
[/mm]
Nun ist die Amplitude [mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{a^{2}+ i b^{2}}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R^{2}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}+\bruch{\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+\bruch{1}{\omega c})^{2}}}$
[/mm]
Beide Brüche zusammen addieren:
[mm] $\left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R^{2}+\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}}$
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher , ob ich das noch weiter vereinfachen könnte, ich seh da nix..
Jetzt der Phasenwinkel:
[mm] tan\varphi [/mm] = [mm] \bruch{Im(Z)}{Re(Z)}
[/mm]
Nach all dem kürzen bleibt über:
[mm] tan\varphi [/mm] = [mm] \bruch{1}{\omega c}
[/mm]
[mm] \varphi [/mm] = arctan [mm] \bruch{1}{\omega c}
[/mm]
Soweit sollte alles stimmen.. ich bin mir bei solchen Aufgaben generell immer unsicher was das weitere Auflösen des doch recht komplizierten Bruches [mm] \left| Z \right| [/mm] angeht, da ich da sehr schnell Kürzungsfehler einbaue.
b) Bei welcher Kreisfrequenz ist die Amplitude der Ausgangsspannung auf
[mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] angestiegen?
Sooo, hier kommt jetzt meine Frage:
Um [mm] \omega [/mm] zu bestimmen muss ich also die Amplitude gleich den Wert [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] setzen, korrekt?
Also :
[mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm]
Wieso(ich kenne das von vergleichbaren Aufgaben) verschwindet dabei das [mm] U_{0} [/mm] aus der Gleichung? Wir haben doch nur die Amplitude [mm] \left| Z \right| [/mm] auf der einen Seite des Gleichheitszeichens und kein [mm] U_{0}????
[/mm]
Jetzt müsste ich weiter so vorgehen:
[mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm]
[mm] $\left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R^{2}+\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] $
und das nach [mm] \omega [/mm] auflösen.. allerdings scheint mir das ein Ding der unmachbarkeit , die Bruchtherme aufzulösen, habe ich da eventuell einen Fehler drinne ?
c)Nochmal die Kreisfrequenz berechnen bei der die Amplitude der Ausgangsspannung auf [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] abgesunken ist, bei einem RC-Kreis ( über C wird diesmal Spannung abgegriffen)
Dies ist eine Zusatzaufgabe(Die Aufgabe von der ich im Aufgabenteil b) gesprochen hatte). Ich habe bei anderen Aufgaben gesehen, dass wie bereits gesagt das [mm] U_{0} [/mm] verschwindet.. jetzt habe ich außerdem bei anderen Aufgaben gesehn ( die ich ironischer Weise vor einem halben Jahr selbst gerechnet habe, nur der Zähler der Amplitude im Aufgabenteil b) berücksichtigt wird...
Da war ein RC-kreis gegeben, also fast genau das selbe:
Als Amplitude kam heraus:
[mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1+\omega^{2} c^{2} R^{2}}{(\omega^{2} c^{2} R^{2} + 1)^{2}}}
[/mm]
Phasenwinkel:
[mm] \varphi [/mm] = [mm] arctan(-\bruch{\omega c R}{1})
[/mm]
Jetzt die Kreisfrequenz bei der [mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] :
[mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm]
[mm] \wurzel{2}= \wurzel{1+\omega^{2} c^{2} R^{2}}
[/mm]
[mm] \omega [/mm] = [mm] \bruch{1}{R c}
[/mm]
Wie ihr seht , hatte ich damals nur den Zähler der Amplitude verwendet und das [mm] U_{0} [/mm] auf magische Weise in einem Umformungsschritt, den ich mir nicht aufgeschrieben hatte, wegdividiert auf beiden seiten...
Ich weis das ist eine ziemlich lange Aufgabe, aber es geht mir eigentlich nur um dieses verflixte "wann ist Kreisfrequenz auf Wert XY abgesunken/angestiegen" ... Ich hoffe Ihr findet die Zeit und könnt mir weiterhelfen.
Mit freundlichen Grüßen euer Hannes
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Hallo!
Naja, da ist schon so einiges zu finden...
>
> a) Berechnen Sie die Amplitude [mm]U_{A0}[/mm] und
> Phasenverschiebung der Ausgangsspannung:
>
> [mm]\bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R}{R-\bruch{i}{\omega c}}[/mm]
>
> Um das i aus dem Nenner zu bekommen erweitere ich mit dem
> Nenner, wobei das - durch ein plus vertauscht wird:
oder mathematisch ausgedrückt: Du erweiterst mit dem komplex konjungierten
> [mm]\bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R^{2} + i \bruch{R}{\omega c} }{R^{2}+ \bruch{1}{\omega*c}}[/mm]
Sollte es hier nicht [mm] (\omega*c)^\red{2} [/mm] im Nenner heißen? Das führt im Folgenden natürlich zu nem (einfachen) Folgefehler
> Nun ist die Amplitude [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\wurzel{a^{2}+ i b^{2}}[/mm]
Nicht ganz, das i muß da raus. Hast du im Folgenden aber korrekt gemacht.
Und nochwas: Man benutzt den Buchstaben z gerne für komplexe Zahlen, aber auch (groß geschrieben) für den komplexen Widerstand. Das, was du hier als Z bezeichnest, ist aber kein Widerstand, sondern die Übertragungsfunktion. Tu dir einen Gefallen, und wähle dafür eine andere Bezeichnung, sonst führt das zu Verwechselungen. Ich kenne das als [mm] g(\omega) [/mm] .
> Daraus folgt:
> $ [mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R^{2}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}+\bruch{\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+\bruch{1}{\omega c})^{2}}} [/mm] $
Du meinst wohl eher
$ [mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R^\red{4}}{(R^\red{2}+ \bruch{1}{(\omega c)^\red{2}})^{2}}+\bruch{\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R^\red{2}+\bruch{1}{(\omega c)^\red{2}})^{2}}} [/mm] $
> Beide Brüche zusammen addieren:
>
> [mm]\left| Z \right| = \wurzel{\bruch{R^{2}+\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}}[/mm]
>
> Ich bin mir nicht sicher , ob ich das noch weiter
> vereinfachen könnte, ich seh da nix..
Oh, da hast du aber ein paar Tomaten auf den Augen  Der Nenner ist ein Quadrat und kann vor die Wurzel gezogen werden, und im Zähler lässt ich ein [mm] R^2 [/mm] ausklammern, das dann ebenfalls vor die Wurzel gezogen werden kann.
>
> Jetzt der Phasenwinkel:
>
> [mm]tan\varphi[/mm] = [mm]\bruch{Im(Z)}{Re(Z)}[/mm]
>
> Nach all dem kürzen bleibt über:
>
> [mm]tan\varphi[/mm] = [mm]\bruch{1}{\omega c}[/mm]
Nein, das passt von den Einheiten schon nicht. Der Tangens liefert eine einheitenlose Größe, rechts gibt es aber [mm] \Omega [/mm] . Schau nochmal genau hin, du hast ein R zuviel weggekürzt.
Soo, jetzt solltest du bei gegebener Eingangsspannung die Ausgangsspannung angeben. Das fehlt noch.
> b) Bei welcher Kreisfrequenz ist die Amplitude der
> Ausgangsspannung auf
> [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm] angestiegen?
>
> Sooo, hier kommt jetzt meine Frage:
>
> Um [mm]\omega[/mm] zu bestimmen muss ich also die Amplitude gleich
> den Wert [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm] setzen, korrekt?
>
> Also :
>
> [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Wieso(ich kenne das von vergleichbaren Aufgaben)
> verschwindet dabei das [mm]U_{0}[/mm] aus der Gleichung? Wir haben
> doch nur die Amplitude [mm]\left| Z \right|[/mm] auf der einen Seite
> des Gleichheitszeichens und kein [mm]U_{0}????[/mm]
Schau ganz an den Anfang. Es ist
[mm] \frac{U_A}{U_E}=Z [/mm] Und nun soll [mm] U_E=U_0... [/mm] und [mm] U_A=U_0... [/mm] sein. Da kürzen sich die [mm] U_0 [/mm] raus.
>
> Jetzt müsste ich weiter so vorgehen:
>
> [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
Nö, [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]\left| Z \right| = \wurzel{\bruch{R^{2}+\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}} = \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> und das nach [mm]\omega[/mm] auflösen.. allerdings scheint mir das
> ein Ding der unmachbarkeit , die Bruchtherme aufzulösen,
> habe ich da eventuell einen Fehler drinne ?
Naja, siehe oben, da kannst du noch so einiges optimieren.
Aber es gibt noch eine ganz andere Methode, mit der du auch Aufgabe a) einfacher haben kannst. Es gilt ja [mm] a+ib=\sqrt{a^2+b^2}e^{i*{\tan (b/a)}}. [/mm] Und damit:
[mm] \bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R}{R-\bruch{i}{\omega c}}=\frac{Re^{i*0}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}*e^{i*\arctan(-1/(\omega c R))}}
[/mm]
Und weil man komplexe Brüche teilt, indem man ihre Beträge teilt, und die Winkel subtrahiert:
[mm] =\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}}*e^{i*-\arctan(-1/(\omega c R))}
[/mm]
Winkel und Betrag stehen jetzt direkt da. Und mit diesem Betrag, der nebenbei mit deinem übereinstimmen sollte, lässt sich die Aufgabe recht schnell lösen.
>
>
> c)Nochmal die Kreisfrequenz berechnen bei der die Amplitude
> der Ausgangsspannung auf [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
> abgesunken ist, bei einem RC-Kreis ( über C wird diesmal
> Spannung abgegriffen)
Hier steige ich nicht so richtig hinter die Aufgabe. Kannst du die mal vollständig nennen und auch deine Rechnung etwas weiter ausführen? (Vielleicht haben sich deine Fragen aber bisher auch schon geklärt)
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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung !
Habe meine Fehler gefunden und korrigiert.
>Du meinst wohl eher:
$ [mm] \left| Z \right| [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R^\red{4}}{(R^\red{2}+ \bruch{1}{(\omega c)^\red{2}})^{2}}+\bruch{\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R^\red{2}+\bruch{1}{(\omega c)^\red{2}})^{2}}} [/mm] $
Ja , auf dem Papier hatte ich es noch richtig stehen gehabt, aber der Formeleditor hat mich besiegt :)
> Oh, da hast du aber ein paar Tomaten auf den Augen Der
> Nenner ist ein Quadrat und kann vor die Wurzel gezogen
> werden, und im Zähler lässt ich ein [mm]R^2[/mm] ausklammern, das
> dann ebenfalls vor die Wurzel gezogen werden kann.
Ok dann führe ich die Schritte einmal durch und erhalte dann:
[mm]\left| Z \right|[/mm][mm] =\bruch{R}{R+\bruch{1}{\omega c}}* \wurzel{R^{2}+\bruch{1}{\omega^{2} c^{2}}}
[/mm]
Das [mm] R^{2} [/mm] was noch unter der Wurzel steht kann ich jetzt nicht mehr herausziehen oder?
> > Jetzt der Phasenwinkel:
> >
> > [mm]tan\varphi[/mm] = [mm]\bruch{Im(Z)}{Re(Z)}[/mm]
> >
> > Nach all dem kürzen bleibt über:
> >
> > [mm]tan\varphi[/mm] = [mm]\bruch{1}{\omega c}[/mm]
>
> Nein, das passt von den Einheiten schon nicht. Der Tangens
> liefert eine einheitenlose Größe, rechts gibt es aber
> [mm]\Omega[/mm] . Schau nochmal genau hin, du hast ein R zuviel
> weggekürzt.
[mm] tan\varphi=R \omega [/mm] c
[mm] \varphi= [/mm] arctan R [mm] \omega [/mm] c
So sollte es passen..?
> Soo, jetzt solltest du bei gegebener Eingangsspannung die
> Ausgangsspannung angeben. Das fehlt noch.
Da muss ich ja jetzt nurnoch meine Ergebnisse für die Amplitude und Phasenwinkel einsetzen, also :
[mm] \bruch{U_{A}}{U_{E}}=[/mm] [mm]\left| Z \right|[/mm]
[mm] U_{A}=[/mm] [mm]\left| Z \right|[/mm] * [mm] U_{E}
[/mm]
Mit: [mm] U_{E}(t) [/mm] = [mm] U_{0}*cos \omega [/mm] (t)
[mm] U_{A}(t)=\bruch{R}{R+\bruch{1}{\omega c}}* \wurzel{R^{2}+\bruch{1}{\omega^{2} c^{2}}} *U_{0}*cos \omega [/mm] (t)
Muss da nicht noch irgendwo der Winkel [mm] \varphi [/mm] rein?
sowas wie ... [mm] *cos^{-i*arctan \varphi }..oder [/mm] war das bei der Stromstärke oder?
> > b) Bei welcher Kreisfrequenz ist die Amplitude der
> > Ausgangsspannung auf
> > [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm] angestiegen?
> >
> > Sooo, hier kommt jetzt meine Frage:
> >
> > Um [mm]\omega[/mm] zu bestimmen muss ich also die Amplitude gleich
> > den Wert [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm] setzen, korrekt?
> >
> > Also :
> >
> > [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
> >
> > Wieso(ich kenne das von vergleichbaren Aufgaben)
> > verschwindet dabei das [mm]U_{0}[/mm] aus der Gleichung? Wir haben
> > doch nur die Amplitude [mm]\left| Z \right|[/mm] auf der einen Seite
> > des Gleichheitszeichens und kein [mm]U_{0}????[/mm]
>
>
> Schau ganz an den Anfang. Es ist
>
> [mm]\frac{U_A}{U_E}=Z[/mm] Und nun soll [mm]U_E=U_0...[/mm] und [mm]U_A=U_0...[/mm]
> sein. Da kürzen sich die [mm]U_0[/mm] raus.
>
>
>
> >
> > Jetzt müsste ich weiter so vorgehen:
> >
> > [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Nö, [mm]\left| Z \right|[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> > [mm]\left| Z \right| = \wurzel{\bruch{R^{2}+\bruch{R^{2}}{\omega^{2} c^{2}}}{(R+ \bruch{1}{\omega c})^{2}}} = \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> >
> > und das nach [mm]\omega[/mm] auflösen.. allerdings scheint mir das
> > ein Ding der unmachbarkeit , die Bruchtherme aufzulösen,
> > habe ich da eventuell einen Fehler drinne ?
>
> Naja, siehe oben, da kannst du noch so einiges optimieren.
Ich bin leicht verwirrt, versuche aber noch zu folgen :)
Also folgt für Wann ist die Amplitude der Ausgangsspannung auf den Wert [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] angestiegen
[mm] U_{A}(t)= U_{0}*cos \omega [/mm] (t) [mm] *\left| Z \right|
[/mm]
[mm] U_{A}(t)=\bruch{R}{R+\bruch{1}{\omega c}}* \wurzel{R^{2}+\bruch{1}{\omega^{2} c^{2}}} *U_{0}*cos \omega(t)=\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm]
Jetzt noch [mm] \omega [/mm] auflösen richtig?
Den Rest (Aufgabe c) lasse ich erstmal weg, bis wir das Problem hier klären konnten :). Vielen Vielen Dank nochmal für die nützlichen Tipps
MfG
Hannes
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Hallo!
> Da muss ich ja jetzt nurnoch meine Ergebnisse für die Amplitude und Phasenwinkel einsetzen, also :
> $ [mm] \bruch{U_{A}}{U_{E}}= [/mm] $ $ [mm] \left| Z \right| [/mm] $
> $ [mm] U_{A}= [/mm] $ $ [mm] \left| Z \right| [/mm] $ * $ [mm] U_{E} [/mm] $
> Mit: $ [mm] U_{E}(t) [/mm] $ = $ [mm] U_{0}\cdot{}cos \omega [/mm] $ (t)
> $ [mm] U_{A}(t)=\bruch{R}{R+\bruch{1}{\omega c}}\cdot{} \wurzel{R^{2}+\bruch{1}{\omega^{2} c^{2}}} \cdot{}U_{0}\cdot{}cos \omega [/mm] $ (t)
> Muss da nicht noch irgendwo der Winkel $ [mm] \varphi [/mm] $ rein?
> sowas wie ... $ [mm] \cdot{}cos^{-i\cdot{}arctan \varphi }..oder [/mm] $ war das bei der Stromstärke oder?
Nunja... da fehlt in der Tat der winkel. Es kommt immer drauf an, was gefragt ist.
Entweder ist nur die Amplitude gefragt, dann ist
$ [mm] |U_{A}|= [/mm] | Z | * [mm] |U_{E}| [/mm] $
und es kommt kein [mm] \omega [/mm] und kein t drin vor.
Oder es ist der zeitliche Verlauf gefragt, dann ist
$ [mm] U_{A}= [/mm] Z * [mm] U_{E} [/mm] $
Das ist aber nur die halbe Wahrheit, denn daraus würde man ja nicht die Phase erkennen. Deshalb, mit [mm] $U_E=U_0\cos(\omega [/mm] t)$:
$ [mm] U_{A}= [/mm] |Z| * [mm] U_0\cos(\omega t+\varphi) [/mm] $
Aber ich muß auch sagen, irgendwas stimmt mit deinem Z noch nicht, das ist nach meiner Methode ja deutlich einfacher. (Oder hab ich mich verrechnet?) Ich schau es mir nochmal an.
Außerdem ist die gesamte Rechnung etwas kompliziert, meine ist da ja sehr viel schneller. Ich schreib dir dazu noch was zu der anderen Frage!
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Ich habe mir jetzt das mal angeschaut und das sieht wirklich viel einfacher aus, allerdings habe ich dazu ein paar Fragen um das komplett zu verstehen... Das ist ja diese Umrechnung von Betrag und Phase, also ganz Dunkel erinnere ich mich...
Ist dieses verfahren universell einsetzbar? Also wenn wir jetzt im Zähler nicht nur den Reelen Widerstand hätten sondern noch einen Imaginärteil? Dann hätten beide Teile natürlich einen Winkel korrekt? Also für R wäre es Winkel 0 und für den Imaginärteil dann irgendwas mit [mm] \varphi [/mm] wegen der Phasenverschiebung korrekt?
> Aber es gibt noch eine ganz andere Methode, mit der du auch
> Aufgabe a) einfacher haben kannst. Es gilt ja
> [mm]a+ib=\sqrt{a^2+b^2}e^{i*{\tan (b/a)}}.[/mm] Und damit:
>
>
> [mm]\bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R}{R-\bruch{i}{\omega c}}=\frac{Re^{i*0}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}*e^{i*\arctan(-1/(\omega c R))}}[/mm]
hmm... [mm] e^{i*\arctan(-1/(\omega c R}
[/mm]
woher nimmst du die Information über die Phasenverschiebung ohne den Phasenwinkel vorher berechnet zu haben(? Also , ich bin mir sicher du kennst den Winkel auswendig für diese einfach Schaltung ;) ..aber woher soll ich den Winkel nehmen?
>
> Und weil man komplexe Brüche teilt, indem man ihre
> Beträge teilt, und die Winkel subtrahiert:
>
> [mm]=\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}}*e^{i*-\arctan(-1/(\omega c R))}[/mm]
>
> Winkel und Betrag stehen jetzt direkt da. Und mit diesem
> Betrag, der nebenbei mit deinem übereinstimmen sollte,
> lässt sich die Aufgabe recht schnell lösen.
Das bedeutet für meinen Aufgabenteil b) Bei welcher Kreisfrequenz ist die Amplitude der
Ausgangsspannung auf
$ [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}} [/mm] $ angestiegen?
[mm] $\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}} [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}$
[/mm]
Jetzt nach [mm] \omega [/mm] auflösen richtig? Aber jetzt habe ich wieder nur das [mm] U_{0} [/mm] auf der einen Seite und kann es nicht wegdividieren.. Himmel hilf, Verwirrung lass nach ...
MfG
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Hallo!
> Ist dieses verfahren universell einsetzbar?
Ja, das Verfahren ist universell, es hat nichts mit E-Technik zu tun, sondern ist eine Eigenschaft der komplexen Zahlen.
Es gilt einfach
[mm] a+ib=\sqrt{a^2+b^2}e^{i*{\tan (b/a)}} [/mm] mit [mm] a,b\in\IR
[/mm]
[mm] $A*e^{i\varphi} [/mm] * [mm] B*e^{i\psi}=A*B*e^{i(\varphi+\psi)}$ [/mm] mit mit [mm] a,b,\varphi,\psi\in\IR
[/mm]
sowie entsprechend
[mm] $\frac{A*e^{i\varphi}}{B*e^{i\psi}}=\frac{A}{B}*e^{i(\varphi-\psi)}$
[/mm]
Das ist sehr wichtig, und du solltest das ganz dringend beherrschen.
> Also wenn wir
> jetzt im Zähler nicht nur den Reelen Widerstand hätten
> sondern noch einen Imaginärteil? Dann hätten beide Teile
> natürlich einen Winkel korrekt? Also für R wäre es
> Winkel 0 und für den Imaginärteil dann irgendwas mit
> [mm]\varphi[/mm] wegen der Phasenverschiebung korrekt?
Genau!
>
>
>
> > Aber es gibt noch eine ganz andere Methode, mit der du auch
> > Aufgabe a) einfacher haben kannst. Es gilt ja
> > [mm]a+ib=\sqrt{a^2+b^2}e^{i*{\tan (b/a)}}.[/mm] Und damit:
> >
> >
> > [mm]\bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R}{R-\bruch{i}{\omega c}}=\frac{Re^{i*0}}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}*e^{i*\arctan(-1/(\omega c R))}}[/mm]
>
> hmm... [mm]e^{i*\arctan(-1/(\omega c R}[/mm]
>
> woher nimmst du die Information über die
> Phasenverschiebung ohne den Phasenwinkel vorher berechnet
> zu haben(? Also , ich bin mir sicher du kennst den Winkel
> auswendig für diese einfach Schaltung ;) ..aber woher soll
> ich den Winkel nehmen?
Nein, ich kenn den Winkel nicht für die Schaltung. Aber du hast ja ganz am Anfang geschrieben:
$ [mm] \bruch{U_{A}}{U_{E}}=\bruch{R}{R-\bruch{i}{\omega c}} [/mm] $
Und für den Winkel im Nenner gilt ja [mm] \varphi=\arctan(-\frac{1}{\omega c}/R)=\arctan(-\frac{1}{\omega c R})
[/mm]
> > Und weil man komplexe Brüche teilt, indem man ihre
> > Beträge teilt, und die Winkel subtrahiert:
> >
> > [mm]=\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}}*e^{i*-\arctan(-1/(\omega c R))}[/mm]
>
> >
> > Winkel und Betrag stehen jetzt direkt da. Und mit diesem
> > Betrag, der nebenbei mit deinem übereinstimmen sollte,
> > lässt sich die Aufgabe recht schnell lösen.
>
> Das bedeutet für meinen Aufgabenteil b) Bei welcher
> Kreisfrequenz ist die Amplitude der
> Ausgangsspannung auf
> [mm]\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm] angestiegen?
>
>
> [mm]\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}} = \bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> Jetzt nach [mm]\omega[/mm] auflösen richtig? Aber jetzt habe ich
> wieder nur das [mm]U_{0}[/mm] auf der einen Seite und kann es nicht
> wegdividieren.. Himmel hilf, Verwirrung lass nach ...
 Dir soll geholfen werden.
[mm] \bruch{|U_{A}|}{|U_{E}|}=|Z|
[/mm]
Jetzt ist [mm] |U_E|=U_0 [/mm] und [mm] |U_A|=\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \frac{\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}}{U_0}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}}
[/mm]
Das sollte jetzt kein Problem mehr darstellen.
Und nochmal der Hinweis: Z ist eine ganz schlechte Wahl, weil der Buchstabe auch für die Impedanz benutzt wird. Nimm lieber $g_$ oder [mm] $g(\omega)$, [/mm] das ist meines Wissens der Standard für die Übertragungsfunktion (So heißt das Ding, mit dem du dich die ganze Zeit beschäftigst)
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Vielen Dank Event Horizon ! Sehr ausführliche und gut erklärte Antworten. Noch einen schönen Feierabend :=)
MfG Hannes
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> Dir soll geholfen werden.
>
> [mm]\bruch{|U_{A}|}{|U_{E}|}=|Z|[/mm]
>
> Jetzt ist [mm]|U_E|=U_0[/mm] und [mm]|U_A|=\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}[/mm]
>
> [mm]\frac{\bruch{U_{0}}{\wurzel{2}}}{U_0}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{R}{\sqrt{R^2+\frac{1}{(\omega c)^2}}}[/mm]
>
> Das sollte jetzt kein Problem mehr darstellen.
Ahhh eine Frage habe ich noch...sorry :)
Wieso ist Jetzt ist $ [mm] |U_E|=U_0 [/mm] $ ? Weil es sich um eine Amplitude handelt fällt der Teil mit [mm] cos\omega [/mm] (t) einfach raus? Das kann man dann einfach weglassen?
Weil [mm] |U_E| [/mm] war ja = [mm] U_0 cos\omega [/mm] (t)
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Hallo!
Das ist ein wenig verwirrend, ja.
Im Grunde wird die Wechselspannung stets als komplexe Größe gesehen, obwohl man nur den Realteil messen kann, und man häufig nur den Realteil angibt.
Also, man misst die Spannung
[mm] $U(t)=U_0\cos(\omega [/mm] t)$
behandelt sie aber rechnerisch als komplexe Spannung
[mm] $U(t)=U_0\left(\cos(\omega t)+i\sin(\omega t)\right)=U_0e^{i\omega t}$
[/mm]
Und der Betrag ist dann einfach
[mm] $|U(t)|=U_0$
[/mm]
Deine Schaltung führt zu einer Phasenverschiebung und zu einer Amplitudenänderung. Geht es dir alleine um die Amplitude, kannst du die ganze Zeit mit den Beträgen rechnen.
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