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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen im [mm] $\IR^3$ [/mm] sind zusammenhängend, welche wegzusammenhängend?
(i) $D1 = [mm] \{ (x, y, z) \in \IR^3 : x^2 + y^2 < z^2 \}$,
[/mm]
(ii) $D1 = [mm] \{ (x, y, z) \in \IR^3 : x = r cos \varphi , y = r sin \varphi, z = e^{-\varphi} , 0 \le \varphi < \infty, 0 \le r \le 1\}\cup [/mm] K$,
(iii) $D1 = [mm] \{ (x, y, z) \in \IR^3 : x = r cos \varphi , y = r sin \varphi, z = e^{-\varphi} , 0 \le \varphi < \infty, \bruch{1}{2} \le r \le 1\}\cup [/mm] K$,
wobei [mm] $K=\{(x, y, 0) : x^2+y^2\le 1\} [/mm] ist. |
Hallo, das ist mein erster Beitrag hier. :)
Mir liegt die oben genannte Aufgabe vor. Leider weiß ich nicht so recht, wie ich hier ran gehe. Gibt es vielleicht eine allgemeine Herangehensweise?
Ich denke, mir sind die Begriffe auch noch nicht ganz klar. Kann sie mir jemand an einem einfachen Beispiel erklären oder hat einen Link zu einer solchen Erklärung? Das würde sicher schon einmal viel helfen.
Ich bin dankbar für jede Hilfe/ jeden Hinweis.
Beste Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich habe mal die Mengen für K und D1 gezeichnet:
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Kann ich so wegzusammenhängend zeigen, also graphisch (im Bezug zur Aufgabe)?
Wenn fehlerhaft/ nicht ausreichend, was muss ergänzt werden, wie kann ich es rechnerisch zeigen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ich habe mal die Mengen für K und D1 gezeichnet:
> Datei-Anhang
>
> Kann ich so wegzusammenhängend zeigen, also graphisch (im
> Bezug zur Aufgabe)?
Nein. Die Menge [mm] $D_1$ [/mm] ist nicht wegzusammenhängend, und die Menge [mm] $D_1\cap [/mm] K$ ist leer und als solche trivialerweise zusammenhängend und wegzusammenhängend.
Beachte, daß der Nullpunkt nicht in [mm] $D_1$ [/mm] enthalten ist!
Gruß,
Wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:59 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Beschränken wir uns mal auf die erste Teilaufgabe:
> Welche der folgenden Mengen im [mm]\IR^3[/mm] sind zusammenhängend,
> welche wegzusammenhängend?
>
> (i) [mm]D1 = \{ (x, y, z) \in \IR^3 : x^2 + y^2 < z^2 \}[/mm],
Diese Menge ist nicht zusammenhängend. Dies zeigst Du laut Definition von "nicht zusammenhängend", indem Du zwei Mengen $V$ und $W$ angibst mit den Eigenschaften:
(Z1) $V$ und $W$ sind zueinander disjunkt, d. h. [mm] $V\cap [/mm] W = [mm] \emptyset$
[/mm]
(Z2) $V$ und $W$ sind nichtleer,
(Z3) [mm] $V\cup [/mm] W = [mm] D_1$
[/mm]
(Z4) V und W sind in [mm] D_1 [/mm] relativ offen.
Zerlege den Doppelkegel [mm] $D_1$ [/mm] in die beiden Kegel und zeige, daß sie (Z1) bis (Z4) erfüllen.
[mm] $D_1$ [/mm] ist nicht wegzusammenhängend. Um dies zu zeigen, kannst Du benutzen, daß jede offene, wegzusammenhängende Menge auch zusammenhängend ist. Hierzu zeige, daß [mm] $D_1$ [/mm] offen ist.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:41 So 05.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Hallo, ich verstehe was du meinst, aber wie kann ich V und W angeben?
Und: Was meinst du mit "relativ offen"? Meinst du damit nur "offen"? Wie zeigt/beweist man Offenheit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo, ich verstehe was du meinst, aber wie kann ich V und
> W angeben?
V ist der obere Kegel, also alle Punkte aus D1 mit positiver dritter Komponente und W der untere Kegel.
> Und: Was meinst du mit "relativ offen"? Meinst du damit
> nur "offen"? Wie zeigt/beweist man Offenheit?
Die Frage überrascht mich jetzt ein wenig. Der Begriff "zusammenhängende" Menge stützt sich doch auf den Begriff "offen" bzw. "relativ offen". Eine Teilmenge M eines metrischen Raumes ist offen, wenn es zu jedem Punkt in M eine Umgebung gibt, die in M enthalten ist. Und eine Teilmenge V einer Teilmenge D1 von [mm] $\IR^3$ [/mm] ist relativ offen, wenn es zu jedem Punkt in V eine Umgebung U gibt, so daß U [mm] $\cap$ [/mm] D1 ganz in V enthalten ist. Das heißt, man betrachtet den metrischen Raum D1 mit der Abstandsfunktion des metrischen Raums [mm] $\IR^3$ [/mm] und sagt V [mm] $\subseteq$ [/mm] D1 sei offen relativ zu D1, wenn V eine offene Teilmenge des metrischen Raums D1 ist.
In meiner letzten Antwort schrieb ich, daß zusammenhängend aus offen und wegzusammenhängend folgt. In der Tag folgt zusammenhängend aber schon allein aus wegzusammenhängend.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 05.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Ich frage mich auch, wie D2 und D3 aussehen sollen. Meine Überlegungen: für z=0 ergibt sich bei D2 der Einheitskreis, aber wie lässt sich das ganze in Verbindung mit anderern Angaben für z außer 0 bringen, ich meine, wie stellt man sich dann die Menge vor?
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Also ich stelle mir D2 jetzt wie einen Zylinder vor, der für x, y, z bis max. 1 geht, jedoch auf z nie 0 ganz erreicht. D.h. also die Fläche von K wird nie eingenommen.
Wenn das dann mit K vereinigt wird, so ist die Menge nach meiner Vermutung wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.
Dementsprechend wäre D3 ein Zylinder mit zylindrischen Hohlraum (dessen Radius 1/2 ist). Hier bin ich mir jedoch nicht sicher, ob weg- oder nicht wegzusammenhängend.
Bitte korrigiert mich, falls ich da falsch liege.
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