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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Do 07.05.2009 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | (a) Sei [mm] f(x)=z^{n}[/mm] mit [mm] n \in \IZ \ \{-1\} [/mm], und sei [mm]\gamma : [0,1] \to \IC[/mm] eine glatte Kurve von [mm] a [/mm] nach [mm] b [/mm], wobei [mm] 0 \not\in | \gamma |[/mm], falls [mm] n<0[/mm]. Dann gilt:
[mm]\integral_{\gamma}^{ }{z^{n} dz} = \bruch{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}. [/mm]
(b) Betachte die positiv orientierte Kreislinie [mm]\partial D_{r}(a) : t \mapsto a + r e^{i2 \pi t}[/mm] [mm]0\le t \le 1[/mm]
Dann gilt
[mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\partial D_{r}(a)}^{ }{\bruch{dz}{z - a} } = 1 [/mm]. |
Definition vom Kurvenintegral von [mm] f(z)dz [/mm] über [mm] \gamma[/mm]: [mm]\integral_{\gamma}^{ }{f(z) dz} := \integral_{a}^{b}{f(\gamma (t)) \gamma '(t) dt}[/mm] mit [mm] \gamma: [a,b] \to \IC [/mm] stetig diffbar und [mm] f: | \gamma | \to \IC [/mm] stetig.
zu (a) [mm] f(x)=z^{n} = \left[ \bruch{1}{n+1} z^{n+1} \right]_{a}^{b} = \bruch{1}{n+1} b^{n+1} - \bruch{1}{n+1} a^{n+1} = \bruch{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} [/mm]
zu (b) Hier benutz ich die Definition:
[mm] f(z) = \bruch{1}{z-a}[/mm] und [mm]\gamma (t) = a+ r e^{i 2 \pi t}[/mm]
[mm] \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{a+ r e^{2 \pi i t} - a}\; r e^{2 \pi i t} \;2 \pi i \;dt} = \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{0}^{1}{i 2 \pi \;dt} = \integral_{0}^{1} {dt} = 1 [/mm]
Stimmt das so? Kommt mir irgendwie zu simpel vor...
Wär ganz nett, wenn jemand Zeit hat mal drüber zu gucken...
Vielen lieben Dank Ella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> (a) Sei [mm]f(x)=z^{n}[/mm] mit [mm]n \in \IZ \ \{-1\} [/mm], und sei [mm]\gamma : [0,1] \to \IC[/mm]
> eine glatte Kurve von [mm]a[/mm] nach [mm]b [/mm], wobei [mm]0 \not\in | \gamma |[/mm],
> falls [mm]n<0[/mm]. Dann gilt:
> [mm]\integral_{\gamma}^{ }{z^{n} dz} = \bruch{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}.[/mm]
>
> (b) Betachte die positiv orientierte Kreislinie [mm]\partial D_{r}(a) : t \mapsto a + r e^{i2 \pi t}[/mm]
> [mm]0\le t \le 1[/mm]
> Dann gilt
> [mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{\partial D_{r}(a)}^{ }{\bruch{dz}{z - a} } = 1 [/mm].
>
> Definition vom Kurvenintegral von [mm]f(z)dz[/mm] über [mm]\gamma[/mm]:
> [mm]\integral_{\gamma}^{ }{f(z) dz} := \integral_{a}^{b}{f(\gamma (t)) \gamma '(t) dt}[/mm]
> mit [mm]\gamma: [a,b] \to \IC[/mm] stetig diffbar und [mm]f: | \gamma | \to \IC[/mm]
> stetig.
>
> zu (a) [mm]f(x)=z^{n} = \left[ \bruch{1}{n+1} z^{n+1} \right]_{a}^{b} = \bruch{1}{n+1} b^{n+1} - \bruch{1}{n+1} a^{n+1} = \bruch{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}[/mm]
>
Das ist so nicht ganz in Ordnung. Die Funktion f hat die Stammfunktion
$F(z) = [mm] \bruch{z^{n+1}}{n+1}$
[/mm]
Damit ist das Integral
$ [mm] \integral_{\gamma}^{ }{z^{n} dz} [/mm] $
wegunabhängig und $ [mm] \integral_{\gamma}^{ }{z^{n} dz} =F(\gamma(1))+F(\gamma(0))= [/mm] F(b)-F(a) $
>
> zu (b) Hier benutz ich die Definition:
> [mm]f(z) = \bruch{1}{z-a}[/mm] und [mm]\gamma (t) = a+ r e^{i 2 \pi t}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2 \pi i} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{a+ r e^{2 \pi i t} - a}\; r e^{2 \pi i t} \;2 \pi i \;dt} = \bruch{1}{2 \pi i} \integral_{0}^{1}{i 2 \pi \;dt} = \integral_{0}^{1} {dt} = 1[/mm]
>
Das ist korrekt
FRED
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> Stimmt das so? Kommt mir irgendwie zu simpel vor...
> Wär ganz nett, wenn jemand Zeit hat mal drüber zu
> gucken...
> Vielen lieben Dank Ella
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