Wegintegral,GreenscherInt.Satz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Sa 12.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Wir betrachten die Mengen K := { [mm] (x_1, x_2) \in \IR^2 [/mm] : [mm] (x_1)^2+(x_2)^2 \le [/mm] 4} und
R := {(x1, x2) [mm] \in \IR^2 [/mm] : [mm] 1\le (x_1)^2 +(x_2)^2 \le [/mm] 4} in R2. Berechnen
Sie die Integrale
[mm] \integral_{\partial K}^{}{(x_2) d(x_1)} [/mm] und [mm] \integral_{\partial R}^{}{(x_2 )d(x_1)},
[/mm]
und zwar sowohl direkt als Wegintegral als auch durch Umschreiben in ein geeignetes zweidimensionales Integral über
K bzw. R mit dem Greenschen Integralsatz. |
Wegintegral
ich habs mit Polarkordinaten versucht bei mir kommt die ganze zeit 0 raus
(meine vermutung ist das das stimmt da das integral Wegunabhängig ist
da [mm] \phi(Anfang) [/mm] - [mm] \phi(Ende) [/mm] = 0) <= ist das so richtig^^
bei Green
verstehe ich die Definition nicht
im Script vom Prof. hab ich die Formel hier gefunden
Satz 17.6 (Greenscher Integralsatz) Seien D und X wie in Satz 17.5, und
W = [mm] (W1,W2)^T [/mm] : D [mm] \to \IR^2 [/mm] sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann ist
[mm] \integral_{\partial D}^{}{W dX} [/mm] = [mm] \integral_{D}^{} (\bruch{\partial W_1}{\partial x_1} [/mm] - [mm] \bruch{\partial W_2}{\partial x_2}){( d(x_1,x_2)} [/mm] = [mm] \integral_{D}^{}{(rot W) (x) dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 So 13.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wir betrachten die Mengen $K := [mm] \{ (x_1, x_2) \in \IR^2 : (x_1)^2+(x_2)^2 \le 4\}$ [/mm] und
> $R := [mm] \{(x1, x2)\in \IR^2 : 1\le (x_1)^2 +(x_2)^2 \le 4\}$ [/mm] in
> R2. Berechnen
> Sie die Integrale
> [mm]\integral_{\partial K}^{}{(x_2) d(x_1)}[/mm] und
> [mm]\integral_{\partial R}^{}{(x_2 )d(x_1)},[/mm]
>
> und zwar sowohl direkt als Wegintegral als auch durch
> Umschreiben in ein geeignetes zweidimensionales Integral
> über
> K bzw. R mit dem Greenschen Integralsatz.
>
> Wegintegral
>
> ich habs mit Polarkordinaten versucht bei mir kommt die
> ganze zeit 0 raus
Richtig.
> (meine vermutung ist das das stimmt da das integral
> Wegunabhängig ist
> da [mm]\phi(Anfang)[/mm] - [mm]\phi(Ende)[/mm] = 0) <= ist das so richtig^^
Das ist nur dann hinreichend, wenn (a) der Integrand der Gradient von [mm] $\phi$ [/mm] ist, und (b) das vom Weg begrenzte Gebiet einfach zusammenhängend ist. (b) ist für K der Fall, für R nicht.
> bei Green
> verstehe ich die Definition nicht
>
> im Script vom Prof. hab ich die Formel hier gefunden
>
> Satz 17.6 (Greenscher Integralsatz) Seien D und X wie in
> Satz 17.5, und
> W = [mm](W1,W2)^T[/mm] : D [mm]\to \IR^2[/mm] sei ein stetig
> differenzierbares Vektorfeld. Dann ist
>
> [mm]\integral_{\partial D}^{}{W dX} = \integral_{D}^{} (\bruch{\partial W_1}{\partial x_1} - \bruch{\partial W_2}{\partial x_2}){( d(x_1,x_2)} = \integral_{D}^{}{(rot W) (x) dx}[/mm]
Wie sieht denn dein Vektorfeld W aus? [mm]\integral_{\partial D}^{}{W dX}[/mm] steht doch für
[mm] \integral_{\partial D}^{}{\vektor{W_1\\W_2} \Cdot dX} = \integral_{\partial D}^{}{(W_1 dx_1+W_2 dx_2)}[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 So 13.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hier noch mal der wegIntegrale
erstes Integral
[mm] \integral_{0}^{2}\integral_{0}^{2pi}{r^2 sin(\phi) d\phi dr} [/mm] = 0
zweites integral
0 - [mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2pi}{r^2 sin(\phi) d\phi dr} [/mm] = 0
So Richtig?
> Das ist nur dann hinreichend, wenn (a) der Integrand der
> Gradient von [mm]\phi[/mm] ist, und (b) das vom Weg begrenzte Gebiet
> einfach zusammenhängend ist. (b) ist für K der Fall, für
> R nicht.
oki das ist mir so nicht aufgefallen
mir ist aufgefallen das ich ein fehler bei der formel hatte (ist jetzt verbessert)
> > im Script vom Prof. hab ich die Formel hier gefunden
> >
> > Satz 17.6 (Greenscher Integralsatz) Seien D und X wie in
> > Satz 17.5, und
> > W = [mm](W1,W2)^T[/mm] : D [mm]\to \IR^2[/mm] sei ein stetig
> > differenzierbares Vektorfeld. Dann ist
> >
> > [mm]\integral_{\partial D}^{}{W dX} = \integral_{D}^{} (\bruch{\partial W_2}{\partial x_1} - \bruch{\partial W_1}{\partial x_2}){( d(x_1,x_2)} = \integral_{D}^{}{(rot W) (x) dx}[/mm]
> Wie sieht denn dein Vektorfeld W aus? [mm]\integral_{\partial D}^{}{W dX}[/mm]
> steht doch für
>
> [mm]\integral_{\partial D}^{}{\vektor{W_1\\W_2} \Cdot dX} = \integral_{\partial D}^{}{(W_1 dx_1+W_2 dx_2)}[/mm]
> .
Das ist mein Problem ich kann mir da kein Vektorfeld vorstellen
> Viele Grüße
> Rainer
Danke für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 So 13.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ein Wegintegral über den Rand! du hast ein integral über eine fläche hingeschrieben!
was ist der Rand von K, was der von R
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 13.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
Wegintegral 1:
[mm] \integral_{-2}^{2}\integral_{- \wurzel{4-(x_1)^2}}^{\wurzel{4-(x_1)^2}}{x_2 dx_2 dx_1} [/mm] = 0
Wegintegral 2:
[mm] \integral_{-2}^{2}\integral_{- \wurzel{4-(x_1)^2}}^{\wurzel{4-(x_1)^2}}{x_2 dx_2 dx_1} [/mm] - [mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{- \wurzel{1-(x_1)^2}}^{\wurzel{1-(x_1)^2}}{x_2 dx_2 dx_1} [/mm] = 0 - 0 = 0
So Richtig (dachte eigentlich das ich mit den Polarkordinaten den Rand beschrieben hätte
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Hallo DerKoso,
> Wegintegral 1:
>
> [mm]\integral_{-2}^{2}\integral_{- \wurzel{4-(x_1)^2}}^{\wurzel{4-(x_1)^2}}{x_2 dx_2 dx_1}[/mm]
> = 0
>
> Wegintegral 2:
>
> [mm]\integral_{-2}^{2}\integral_{- \wurzel{4-(x_1)^2}}^{\wurzel{4-(x_1)^2}}{x_2 dx_2 dx_1}[/mm]
> - [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{- \wurzel{1-(x_1)^2}}^{\wurzel{1-(x_1)^2}}{x_2 dx_2 dx_1}[/mm]
> = 0 - 0 = 0
>
Das sind beides Flächenintegrale.
Das Wegintegral lautet doch hier: [mm]\integral_{\partial K}^{}{y \ dx}[/mm]
Jetzt musst Du erstmal den Rand parametrisieren.
>
> So Richtig (dachte eigentlich das ich mit den
> Polarkordinaten den Rand beschrieben hätte
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 So 13.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
[mm] \integral_{0}^{2pi}{r^2 sin(\phi) d\phi} [/mm] = 0
so ? steh gerade tottal aufem schlauch^^
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Hallo DerKoso,
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{r^2 sin(\phi) d\phi}[/mm] = 0
>
> so ? steh gerade tottal aufem schlauch^^
Nein, so nicht.
Die Parametrisierung über den Rand lautet:
[mm]x=2*\cos\left(\phi\right), \ y=2*\sin\left(\phi\right)[/mm]
Das setzt Du jetzt in das Integral
[mm]\integral_{\partial K}^{}{y \ dx}[/mm]
ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 13.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
hmm oki
hab mich Bischin weiter informiert und hab in ein buch rein geschaut^^
wegintegral
[mm] \gamma [/mm] (t) = (2 cos t, 2 sin t)
[mm] \gamma [/mm] '(t)=(-2 sin t, 2 cos t)
die det = 2
also ist das Integral beim ersten
[mm] \integral_{0}^{2pi}{\gamma2(t) * \gamma1'(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2pi}{ 2 sin t * (-2 sin t) dt} [/mm] = -4pi
So Richtig für denn ersten Weg Integral
Nach Green
mein Vektorfeld ist dann doch F(x1,x2)= (0,-x2)
[mm] \integral_{0}^{2pi}{F1 dx_2 - F2 dx_1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2pi} [/mm] div F = -4pi
So Richtig
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Hallo DerKoso,
> hmm oki
>
> hab mich Bischin weiter informiert und hab in ein buch rein
> geschaut^^
>
>
> wegintegral
>
> [mm]\gamma[/mm] (t) = (2 cos t, 2 sin t)
> [mm]\gamma[/mm] '(t)=(-2 sin t, 2 cos t)
> die det = 2
>
> also ist das Integral beim ersten
>
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{\gamma2(t) * \gamma1'(t) dt}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{ 2 sin t * (-2 sin t) dt}[/mm] = -4pi
>
> So Richtig für denn ersten Weg Integral
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Nach Green
>
> mein Vektorfeld ist dann doch F(x1,x2)= (0,-x2)
>
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{F1 dx_2 - F2 dx_1}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2pi}[/mm] div F = -4pi
>
Hier muss doch ein 2-dimensionales Integral stehen:
[mm]\blue{\integral_{0}^{2}}{\integral_{0}^{2\pi} \blue{r}div F \blue{\ d\phi \ dr}} = -4\pi[/mm]
>
> So Richtig
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:31 So 13.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
ja genau so wollte ich es aufschrieben^^ hab aber einfach das integral von oben genommen xD (bin einfach wiel zu faul)
Danke euch allen (habs glaube ich jetzt begriffen^^)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 13.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
hab aber jetzt nur ein Problem
beim zweiten Weg integral kommt bei mir
-4pi - (-pi) = -3pi
und bei Green kommt bei mir
-4pi -(-2pi) = -2pi
das sollte doch gleich sein? oder?
EDIT hat sich erlädigt bin einfach zu müde hab das r vergessen xD^^
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Hallo DerKoso,
> hab aber jetzt nur ein Problem
>
> beim zweiten Weg integral kommt bei mir
>
> -4pi - (-pi) = -3pi
>
> und bei Green kommt bei mir
>
> -4pi -(-2pi) = -2pi
>
Beim 2. Integral hast Du Dich verrechnet.
>
>
> das sollte doch gleich sein? oder?
>
> EDIT hat sich erlädigt bin einfach zu müde hab das r
> vergessen xD^^
Gruss
MathePower
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