Wegintegral/ Kurvenintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:56 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Simurgh5 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Wegintegral zwischen den Punkten A(1;π/6) und B (2; π/4) entlang einer Linie AB. Zeigen Sie, dass das Integral von der Art der Linie AB unabhängig ist.
[mm] \integral_{AB}^{}{2xy dx + x^2 dy} [/mm] |
Hallo,
Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, obwohl sie sicherlich sehr, sehr einfach ist. Ich habe ein Brett vorm Kopf mit dem Grundprinzip.
also mir ist der zweite Teil ziemlich klar:
Ich habe ja freundlicherweise schon die Skalarteile vom ursprünglichen Ortsvektor r gegeben.
Also Fx = 2XY und Fy = [mm] X^2
[/mm]
Fx nach Y und Fy nach X abgeleitet... ergibt jeweils 2X, damit ist nach dem Satz von Schwarz ja bewiesen, dass das Integral wegunabhängig ist.
Der erste Teil ist mir leider überhaupt nicht klar. Wie komme ich die Koordinatentransformation? Wie setze ich die Grenze ein?
Ich habe jetzt schon alle Papulas, und vermutlich sämtliche Internetseiten dazu durchwühlt... nirgendwo finde ich mein Problem so erklärt, dass es jemand versteht, der das Ganze nur mal in einer Vorlesung angerissen gehört hat...
Ich danke schon mal für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mo 28.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Wegintegral zwischen den Punkten
> A(1;π/6) und B (2; π/4) entlang einer Linie AB. Zeigen
> Sie, dass das Integral von der Art der Linie AB unabhängig
> ist.
>
> [mm]\integral_{AB}^{}{2xy dx + x^2 dy}[/mm]
> Hallo,
> Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, obwohl sie
> sicherlich sehr, sehr einfach ist. Ich habe ein Brett vorm
> Kopf mit dem Grundprinzip.
> also mir ist der zweite Teil ziemlich klar:
>
> Ich habe ja freundlicherweise schon die Skalarteile vom
> ursprünglichen Ortsvektor r gegeben.
>
> Also Fx = 2XY und Fy = [mm]X^2[/mm]
> Fx nach Y und Fy nach X abgeleitet... ergibt jeweils 2X,
> damit ist nach dem Satz von Schwarz ja bewiesen, dass das
> Integral wegunabhängig ist.
Na also. Du hast die Stammfunktion $F(x,y) = x^2y$
Das Integral ist dann = F(B)-F(A)
FRED
>
> Der erste Teil ist mir leider überhaupt nicht klar. Wie
> komme ich die Koordinatentransformation? Wie setze ich die
> Grenze ein?
>
> Ich habe jetzt schon alle Papulas, und vermutlich
> sämtliche Internetseiten dazu durchwühlt... nirgendwo
> finde ich mein Problem so erklärt, dass es jemand
> versteht, der das Ganze nur mal in einer Vorlesung
> angerissen gehört hat...
>
> Ich danke schon mal für eure Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Simurgh5 |
Ich suche doch aber nicht das Integral der Funktion, sondern das Wegintegral. Also quasi die Summe aller Punkte, nicht die Summe aller Funktionswerte.
Mein Hauptproblem ist: Wie setze ich da die Grenzen ein?
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Hallo Simurgh5,
> Ich suche doch aber nicht das Integral der Funktion,
> sondern das Wegintegral. Also quasi die Summe aller Punkte,
> nicht die Summe aller Funktionswerte.
> Mein Hauptproblem ist: Wie setze ich da die Grenzen ein?
Zunächst musst Du den Weg von A nach B parametrisieren.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Simurgh5 |
Ja, weiß ich, bzw. das steht ja überall, aber wie mache ich das? Wie komme ich zu diesen neuen Grenzen wie 0 < t < 1 und so was? Ich muss doch mit den Punkten irgendwas machen.
Ich habe jetzt nach dem ersten Tipp gedacht, man könnte ja für die Funktion F(x;y) Funktionswerte ermitteln für die Grenzen. Also quasi dann F(A)=π/6 und F(B)=π. Aber was mache ich dann damit?
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Nein, du brauchst gerade keine Parametrisierung (wie wolltest du auch eine angeben - du kennst ja die Kurve gar nicht!), eben weil es eine Stammfunktion gibt, also eine Funktion [mm]F = F(x,y)[/mm] mit [mm]F_x = 2xy[/mm] und [mm]F_y = x^2[/mm] (siehe den Beitrag von fred97). In diesem Fall kannst du den Wert des Kurvenintegrals wie im Eindimensionalen bestimmen. Dort gilt, wenn [mm]F[/mm] eine Stammfunktion ist
[mm]\text{Wert des Integrals} = F(\text{obere Grenze}) - F(\text{untere Grenze})[/mm]
Und hier gilt:
[mm]\text{Wert des Kurvenintegrals} = F(\text{Endpunkt der Kurve}) - F(\text{Anfangspunkt der Kurve})[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Simurgh5 |
Also ist die Lösung einfach 5/6 π?
Irgendwie klingt das fast zu einfach :/
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Hallo Simurgh5,
> Also ist die Lösung einfach 5/6 π? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
So kannst du es eintippen, damit es "schön" aussieht: \bruch{5}{6}\pi.
Das gibt das schön leserliche [mm] $\bruch{5}{6}\pi$
[/mm]
>
> Irgendwie klingt das fast zu einfach :/
Das kommt vor 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 Mo 28.12.2009 | | Autor: | Simurgh5 |
Dann sag ich mal ganz lieb danke für eure Hilfe und löse die anderen Integrale wieder alleine. (Was ohnehin ein besseres Gefühl ist :))
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> Berechnen Sie das Wegintegral zwischen den Punkten
> A(1;π/6) und B (2; π/4) entlang einer Linie AB. Zeigen
> Sie, dass das Integral von der Art der Linie AB unabhängig
> ist.
>
> [mm]\integral_{AB}^{}{2xy dx + x^2 dy}[/mm]
Guten Abend Simurgh,
jetzt haben verschiedene Leute probiert, dir die Lösung
der ersten Teilaufgabe auszureden, nämlich die Berechnung
eines konkreten Wegintegrals. Dies ist aber in deiner
Aufgabenstellung eindeutig verlangt. Deshalb ist dieser
Beitrag auch eine leise Rüge an meine Vorredner ...
Um einen konkreten Weg von A nach B festzulegen,
kannst du zum Beispiel verwenden:
1.) die geradlinige Verbindungsstrecke
Die kannst du so parametrisieren:
$\ P(t)=(x(t)/y(t))$ mit
$\ x(t)=1+t$
$\ [mm] y(t)=\pi/6+t*\pi/12$
[/mm]
[mm] (0\le{t}\le1)
[/mm]
oder z.B.
2.) zuerst nach rechts, dann nach oben:
$\ x(t)=1+t$
$\ [mm] y(t)=\pi/6$
[/mm]
[mm] (0\le{t}\le1)
[/mm]
$\ x(u)=2$
$\ [mm] y(u)=\pi/6+u*\pi/12$
[/mm]
[mm] (0\le{u}\le1)
[/mm]
(beide Teilintegrale addieren !)
Es wären natürlich auch viele andere Wege möglich.
LG Al-Chw.
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