Wegintegral Parametrisierung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
| Aufgabe | | Berechnen Sie für das Feld [mm] \vec{F} [/mm] = [mm] \vektor{yz \\ xz \\ xy} [/mm] das Wegintegral über die direkte Strecke vom Koordinatenursprung zum Punkt (1,2,1). |
Hallo zusammen,
ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich muss diese Aufgabe lösen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das ganze mit t parametrisiere.
Ich glaube ich muss damit anfangen, dass ich erstmal x = t => dx = dt setze.. aber was muss ich dann für y und z machen? Am Ende muss ich ja dann eine Funktion haben, die nur noch von t abhängt... mit der Parametisierung...nur wie gehe ich da vor?
Bin für jeden Tip dankbar,
Tin-Chen
|
|
| |
|
Hallo Tin-Chen,
> Berechnen Sie für das Feld [mm]\vec{F}[/mm] = [mm]\vektor{yz \\ xz \\ xy}[/mm]
> das Wegintegral über die direkte Strecke vom
> Koordinatenursprung zum Punkt (1,2,1).
> Hallo zusammen,
> ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich muss diese Aufgabe
> lösen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das ganze mit t
> parametrisiere.
> Ich glaube ich muss damit anfangen, dass ich erstmal x = t
> => dx = dt setze.. aber was muss ich dann für y und z
> machen? Am Ende muss ich ja dann eine Funktion haben, die
> nur noch von t abhängt... mit der Parametisierung...nur
> wie gehe ich da vor?
Der direkte Weg ist eine Gerade durch den
Koordinatenurspung und den gegebenen Punkt.
> Bin für jeden Tip dankbar,
> Tin-Chen
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Genau, ich habe eine Gerade. Und wie gehe ich jetzt damit um? Wie sieht mein Integral denn dann aus? Setze ich einfach x = y = z = t? Dann hätte ich ja sowas wie
[mm] \integral_{a}^{b}{3t^{2} dx} [/mm]
Aber wie würden dann die Grenzen aussehen? Und kann ich einfach alles gleich t setzen?
|
|
|
| |
|
Hallo Tin-Chen,
> Genau, ich habe eine Gerade. Und wie gehe ich jetzt damit
> um? Wie sieht mein Integral denn dann aus? Setze ich
> einfach x = y = z = t? Dann hätte ich ja sowas wie
Lege einfach eine Gerade durch den Koordinatenursprung
und den gegebenen Punkt.
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=t*\pmat{... \\ ... \\ ... }[/mm]
> [mm]\integral_{a}^{b}{3t^{2} dx}[/mm]
> Aber wie würden dann die Grenzen aussehen? Und kann ich
> einfach alles gleich t setzen?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Ich scheine auf dem Schlauch zu stehen... wie mach ich das genau?
t $ [mm] \pmat{x \\ y \\ z}=t\cdot{}\pmat{1 \\ 2 \\ 1 } [/mm] $ ?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo Tin-Chen,
> Ich scheine auf dem Schlauch zu stehen... wie mach ich das
> genau?
> t [mm] \pmat{x \\ y \\ z}=t\cdot{}\pmat{1 \\ 2 \\ 1 }[/mm] ?
Genau so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Hey,
und wie komme ich nun von da aus weiter?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Di 26.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast den Weg [mm] \vec{c(t)} [/mm] das Wegintegral ost dann über
[mm] \vec{F}*c\vec{c'(t)}*dt(skalarprodukt) [/mm] von 0 bis 1
(Zur Vorstellung Kraft in Wegrichtung *Weg aufsummiert gibt die Arbeit. die "Wegrichtung" ist durch den Tangentialvektor c' gegeben.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ist da nicht ein c zu viel?
So sieht es besser aus:
[mm] $W=\integral \vec{F}(\vec{x})\cdot{}\vec{c'}(t)\cdot{}dt$ [/mm]
@Tin-Chen:
also erst den Ortsvektor nach t ableiten und dann das Skalarprodukt mit dem Kraftfeld, aber daran denken, das du dies auch Parametriseiren musst. Also eigentlich hat man:
[mm] $W=\integral \vec{F}(\vec{x}(t))\cdot{}\vec{c'}(t)\cdot{}dt$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Hallo,
ist dann $ [mm] \vec{F}(\vec{x}(t)) [/mm] $ = [mm] 3t^{2} [/mm] und der Ortsvektor ist (t,2t,t), was ich dann ableiten muss, also (1,2,1) und dann bilde ich das Skalarprodukt aus [mm] 3t^{2} [/mm] und (1,2,1) ?
|
|
|
| |
|
Aus $ [mm] \vec{F} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{yz \\ xz \\ xy} [/mm] $
und da der ortsvektor (t,2t,t) ist so ist x=t und y=2t und z=t
hat man:
$ [mm] \vec{F} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{2t^2 \\ t^2 \\ 2t^2} [/mm] $ und damit machst du das Skalarprodukt mit (1,2,1)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Achso... okay... also haben ich dann [mm] 2t^{2}+2t^{2}+2t^{2}=6t^{2}.
[/mm]
Und davon muss ich dann das Integral bilden? Also
[mm] \integral_{0}^{1}{6t^{2} dt} [/mm] = 2
Ist das richtig soweit?
Wie komm ich nochmal gleich auf die Grenzen von 0 bis 1?
Vielen Dank!!
Tin-Chen
|
|
|
| |
|
Ja das stimmt!
Die Grenzen musst du dir aus deinem parametrisierten Ortsvektor überlegen.
du willst von (0,0,0) zu (1,2,3) und da der Ortsvektor bei dir: (1t,2t,1t) ist musst du von 0 bis 1.
Hättest du (0.5t,t,0.5t) genommen müsstest du von 0 bis 2.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 26.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Achsoo... okay.. ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Vielen Dank!!
Ich habe jetzt mal versucht das ganze auf ein anderes Vektorfeld anzuwenden:
Vektorfeld: [mm] \vektor{x^{2}y \\ yz \\ x} [/mm]
auch wieder von (0,0,0) bis (1,2,1)
Dann ist der Ortsvektor wieder (1,2,1) und ich muss folgendes Integrieren:
[mm] \integral_{0}^{1}{ 2t^{3}+4t^{2}+t dt} [/mm] = [mm] 2\bruch{1}{3}
[/mm]
Ist das korrekt?
Danke nochmal!!
Tin-Chen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Di 26.04.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Achsoo... okay.. ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
> Vielen Dank!!
> Ich habe jetzt mal versucht das ganze auf ein anderes
> Vektorfeld anzuwenden:
> Vektorfeld: [mm]\vektor{x^{2}y \\ yz \\ x}[/mm]
> auch wieder von (0,0,0) bis (1,2,1)
> Dann ist der Ortsvektor wieder (1,2,1) und ich muss
> folgendes Integrieren:
> [mm]\integral_{0}^{1}{ 2t^{3}+4t^{2}+t dt}[/mm] = [mm]2\bruch{1}{3}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
ja.
> Danke nochmal!!
> Tin-Chen
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Okay, das freut mich doch.
Jetzt noch eine (hoffentlich letzte) Frage.
Ich habe jetzt die Aufgabe, von einem Feld erst entlang einer Geraden und dann entlang einer Parabel das Wegintegral zu berechnen.
Erstmal entlang der Geraden:
[mm] \vec{A} [/mm] = [mm] \vektor{x-y \\ xy} [/mm] von (0,0) nach (1,1)
Da habe ich dann gerechnet:
[mm] \integral_{0}^{1}{t^{2} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Dann entlang der Parabel:
y = [mm] x^{2}
[/mm]
Also [mm] \vec{r}(t) [/mm] = [mm] (t,t^{2}) [/mm] Dann bilde ich das Skalarprodukt aus der Ableitung des Ortsvektors und der Funktion:
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{t-2t \\ 2t^{2}} * \vektor{1 \\ 2t} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{-t + 4t^{3} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Irgendwo müsste doch jetzt ein Fehler sein, oder? Müsste da nicht beide Male das gleiche Ergebnis raus kommen?
Danke,
Tin-Chen
|
|
|
| |
|
Hallo Tin-Chen,
> Okay, das freut mich doch.
> Jetzt noch eine (hoffentlich letzte) Frage.
> Ich habe jetzt die Aufgabe, von einem Feld erst entlang
> einer Geraden und dann entlang einer Parabel das
> Wegintegral zu berechnen.
> Erstmal entlang der Geraden:
> [mm]\vec{A}[/mm] = [mm]\vektor{x-y \\ xy}[/mm] von (0,0) nach (1,1)
> Da habe ich dann gerechnet:
> [mm]\integral_{0}^{1}{t^{2} dt}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> Dann entlang der Parabel:
> y = [mm]x^{2}[/mm]
> Also [mm]\vec{r}(t)[/mm] = [mm](t,t^{2})[/mm] Dann bilde ich das
> Skalarprodukt aus der Ableitung des Ortsvektors und der
> Funktion:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{t-2t \\ 2t^{2}} * \vektor{1 \\ 2t} dt}[/mm]
Der Vektor [mm]\vektor{t-2t \\ 2t^{2}}[/mm] stimmt nicht.
>
> = [mm]\integral_{0}^{1}{-t + 4t^{3} dt}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Irgendwo müsste doch jetzt ein Fehler sein, oder? Müsste
> da nicht beide Male das gleiche Ergebnis raus kommen?
Wenn das Feld ein Gradientenfeld ist,
dann muß beides mal dasselbe herauskommen.
>
> Danke,
>
> Tin-Chen
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Guten MOrgen,
ich komme nicht aufs richtige Ergebnis. Was muss ich denn jetzt für x und y einsetzen? Ich dachte x = t und y = 2t... sehe grad, das das nicht logisch ist.. dann dachte ich, vielleicht x = t und y = [mm] t^{2} [/mm] Aber da kommt auch nicht [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus... könnt ihr mir da nochmal helfen? Wäre echt super!
Der Ortsvektor stimmt aber, oder?
Danke,
Tin-Chen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Guten MOrgen,
>
> ich komme nicht aufs richtige Ergebnis. Was muss ich denn
> jetzt für x und y einsetzen? Ich dachte x = t und y =
> 2t... sehe grad, das das nicht logisch ist.. dann dachte
> ich, vielleicht x = t und y = [mm]t^{2}[/mm]
Klar, was denn sonst
> Aber da kommt auch
> nicht [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus
Warum sollte das rauskommen ?
FRED
> ... könnt ihr mir da nochmal
> helfen? Wäre echt super!
> Der Ortsvektor stimmt aber, oder?
> Danke,
> Tin-Chen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Tin-Chen |
Mh... ich dachte irgendwie, dass der Weg egal ist...
Also komme ich jetzt auf folgendes Ergebnis:
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{t-t^{2} \\ t*t^{2}}*\vektor{1 \\ 2t} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{t-t^{2}+2t^{4} dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}+\bruch{2}{5} [/mm] = [mm] \bruch{17}{30}
[/mm]
Ist das dann richtig so?
Danke,
Tin-Chen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Mi 27.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Richtig
Gruss leduart
|
|
|
|
