Weglänge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Lustique |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Berechnen Sie die Weglänge $L(\gamma_j)$ der folgenden Wege $\gamma_j$, $j=1,2,3$, und fertigen Sie eine Skizze an.
[...]
b) $\gamma_2\colon [0,2\pi]\to\mathbb{R}^2, \qquad \gamma_2(t)=\begin{pmatrix}\cos^3(t) \\ \sin^3(t)\end{pmatrix}$
[...]
Welche der Wege sind regulär,? Bestimmen Sie ggf. die Singulärstellen. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe eben gemacht, und wollte dann mein Ergebnis mal mit WolframAlpha kontrollieren. Da beides nicht zusammenpasst, ich aber bei mir keine Fehler finde, wollte ich euch bitten mal eben über meine Lösung drüber zu schauen.
Also, die Weglänge für $\gamma_2$ wäre ja, da $\gamma_2$ rektifizierbar ist, folgender Ausdruck: $L(\gamma_2)=\int_0^{2\pi} \lVert \dot{\gamma_2}(t)\rVert_2 \mathrm{d}t$.
Ich habe dann also mal angefangen zu rechnen:
$\dot{\gamma_2}}(t)=\begin{pmatrix}-3 \sin(t)\cos^2(t) \\ 3\cos(t)\sin^2(t)\end{pmatrix}$
$L(\gamma_2)=\int_0^{2\pi} \lVert \dot{\gamma_2}(t)\rVert_2 \mathrm{d}t=\int_0^{2\pi} \sqrt{\Big(-3 \sin(t)\cos^2(t)\Big)^2+\Big(3\cos(t)\sin^2(t)\Big)^2}\:\mathrm{d}t=3\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2(t)\cos^4(t)+\cos^2(t)\sin^4(t)}\:\mathrm{d}t=$
$3\int_0^{2\pi} \sqrt{\Big(\sin^2(t)+\cos^2(t)\Big)\cos^2(t)\sin^2(t)}\:\mathrm{d}t=3\int_0^{2\pi} \sqrt{\cos^2(t)\sin^2(t)}\:\mathrm{d}t=3\int_0^{2\pi} \cos(t)\sin(t)\:\mathrm{d}t=\ldots$
Ab hier dann zwei "Möglichkeiten":
Mein erster Versuch (Additionstheorem):
$3\int_0^{2\pi} \cos(t)\sin(t)\:\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\int_0^{2\pi} \Big(\cos(t-t)-\cos(t+t)\Big)\:\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\int_0^{2\pi} \Big(1-\cos(2t)\Big)\:\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\left(\left[t\right]^{2\pi}_0 - \int_0^{2\pi} \cos(2t)\Big)\:\mathrm{d}t\right)=$
$3\pi-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\left(\int_0^{2\pi} 2\cos(2t)\Big)\:\mathrm{d}t\right)=3\pi-\frac{3}{4}\left[\sin(2t)\right]^{2\pi}_0=3\pi$
Mein zweiter Versuch (Substitution):
$3\int_0^{2\pi} \cos(t)\sin(t)\:\mathrm{d}t=3\int^{\sin(2\pi}_{sin(0)} u\:\mathrm{d}u=3\left[\frac{u^2}{2}\right]^{\sin(2\pi)}_{\sin(0)}=3\left[\frac{\sin^2(t)}{2}\right]^{2\pi}_0=0$
So, jetzt ist ja schon mal offensichtlicherweise min. einer der beiden Versuche falsch, aber ich bin gerade zu doof den/die Fehler zu finden. Könntet ihr mir dabei vielleicht helfen? Habe ich vielleicht auch schon ganz zu Anfang Beträge vergessen, oder so, also bei $\lVert\cdot\rVert_2$?
WolframAlpha spuckt als Ergebnis übrigens 6 aus. (![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha)
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Hallo Lustique,
> Berechnen Sie die Weglänge [mm]L(\gamma_j)[/mm] der folgenden Wege
> [mm]\gamma_j[/mm], [mm]j=1,2,3[/mm], und fertigen Sie eine Skizze an.
>
> [...]
>
> b) [mm]\gamma_2\colon [0,2\pi]\to\mathbb{R}^2, \qquad \gamma_2(t)=\begin{pmatrix}\cos^3(t) \\ \sin^3(t)\end{pmatrix}[/mm]
>
> [...]
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> Welche der Wege sind regulär,? Bestimmen Sie ggf. die
> Singulärstellen.
>
>
>
> Hallo,
>
> ich habe diese Aufgabe eben gemacht, und wollte dann mein
> Ergebnis mal mit WolframAlpha kontrollieren. Da beides
> nicht zusammenpasst, ich aber bei mir keine Fehler finde,
> wollte ich euch bitten mal eben über meine Lösung drüber
> zu schauen.
>
> Also, die Weglänge für [mm]\gamma_2[/mm] wäre ja, da [mm]\gamma_2[/mm]
> rektifizierbar ist, folgender Ausdruck:
> [mm]L(\gamma_2)=\int_0^{2\pi} \lVert \dot{\gamma_2}(t)\rVert_2 \mathrm{d}t[/mm].
>
> Ich habe dann also mal angefangen zu rechnen:
>
> [mm]\dot{\gamma_2}}(t)=\begin{pmatrix}-3 \sin(t)\cos^2(t) \\ 3\cos(t)\sin^2(t)\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]L(\gamma_2)=\int_0^{2\pi} \lVert \dot{\gamma_2}(t)\rVert_2 \mathrm{d}t=\int_0^{2\pi} \sqrt{\Big(-3 \sin(t)\cos^2(t)\Big)^2+\Big(3\cos(t)\sin^2(t)\Big)^2}\:\mathrm{d}t=3\int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2(t)\cos^4(t)+\cos^2(t)\sin^4(t)}\:\mathrm{d}t=[/mm]
>
> [mm]3\int_0^{2\pi} \sqrt{\Big(\sin^2(t)+\cos^2(t)\Big)\cos^2(t)\sin^2(t)}\:\mathrm{d}t=3\int_0^{2\pi} \sqrt{\cos^2(t)\sin^2(t)}\:\mathrm{d}t=3\int_0^{2\pi} \cos(t)\sin(t)\:\mathrm{d}t=\ldots[/mm]
>
> Ab hier dann zwei "Möglichkeiten":
>
> Mein erster Versuch (Additionstheorem):
>
> [mm]3\int_0^{2\pi} \cos(t)\sin(t)\:\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\int_0^{2\pi} \Big(\cos(t-t)-\cos(t+t)\Big)\:\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\int_0^{2\pi} \Big(1-\cos(2t)\Big)\:\mathrm{d}t=\frac{3}{2}\left(\left[t\right]^{2\pi}_0 - \int_0^{2\pi} \cos(2t)\Big)\:\mathrm{d}t\right)=[/mm]
>
> [mm]3\pi-\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\left(\int_0^{2\pi} 2\cos(2t)\Big)\:\mathrm{d}t\right)=3\pi-\frac{3}{4}\left[\sin(2t)\right]^{2\pi}_0=3\pi[/mm]
>
> Mein zweiter Versuch (Substitution):
>
> [mm]3\int_0^{2\pi} \cos(t)\sin(t)\:\mathrm{d}t=3\int^{\sin(2\pi}_{sin(0)} u\:\mathrm{d}u=3\left[\frac{u^2}{2}\right]^{\sin(2\pi)}_{\sin(0)}=3\left[\frac{\sin^2(t)}{2}\right]^{2\pi}_0=0[/mm]
>
Du integrierst hier über Nullstellen des Integranden hinweg.
Ausserdem lautet der Integrand [mm]\vmat{\sin\left(t\right)*\cos\left(t\right)}[/mm].
> So, jetzt ist ja schon mal offensichtlicherweise min. einer
> der beiden Versuche falsch, aber ich bin gerade zu doof
> den/die Fehler zu finden. Könntet ihr mir dabei vielleicht
> helfen? Habe ich vielleicht auch schon ganz zu Anfang
> Beträge vergessen, oder so, also bei [mm]\lVert\cdot\rVert_2[/mm]?
>
> WolframAlpha spuckt als Ergebnis übrigens 6 aus.
> (WolframAlpha)
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Sa 19.05.2012 | | Autor: | Lustique |
> Du integrierst hier über Nullstellen des Integranden
> hinweg.
Also einfach das Integral an den Nullstellen aufteilen?
> Ausserdem lautet der Integrand
> [mm]\vmat{\sin\left(t\right)*\cos\left(t\right)}[/mm].
Also fängt man Folgendermaßen an? [mm] $L(\gamma_2)=\int_0^{2\pi} \lVert \dot{\gamma_2}(t)\rVert_2 \mathrm{d}t=\int_0^{2\pi} \sqrt{\left\lvert\Big(-3 \sin(t)\cos^2(t)\Big) \right\rvert ^2+\left\lvert\Big(3\cos(t)\sin^2(t)\Big)\right\rvert^2}\:\mathrm{d}t$
[/mm]
Aber eigentlich ist das ja auch klar. Es ist ja [mm] $\lVert x\rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n \lvert x\rvert_i^2}$ [/mm] für [mm] $x\in\mathbb{R}^n$. [/mm] Da habe ich dann einfach nur die Betragstriche ganz am Anfang unterschlagen, oder?
Ist/Wäre der Rest der Rechnung denn richtig?
> Gruss
> MathePower
Danke! Da war ich wohl ziemlich betriebsblind. :D
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Hallo Lustique,
> > Du integrierst hier über Nullstellen des Integranden
> > hinweg.
>
> Also einfach das Integral an den Nullstellen aufteilen?
>
Ja.
> > Ausserdem lautet der Integrand
> > [mm]\vmat{\sin\left(t\right)*\cos\left(t\right)}[/mm].
>
> Also fängt man Folgendermaßen an?
> [mm]L(\gamma_2)=\int_0^{2\pi} \lVert \dot{\gamma_2}(t)\rVert_2 \mathrm{d}t=\int_0^{2\pi} \sqrt{\left\lvert\Big(-3 \sin(t)\cos^2(t)\Big) \right\rvert ^2+\left\lvert\Big(3\cos(t)\sin^2(t)\Big)\right\rvert^2}\:\mathrm{d}t[/mm]
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> Aber eigentlich ist das ja auch klar. Es ist ja [mm]\lVert x\rVert_2=\sqrt{\sum_{i=1}^n \lvert x\rvert_i^2}[/mm]
> für [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm]. Da habe ich dann einfach nur die
> Betragstriche ganz am Anfang unterschlagen, oder?
>
Ja.
> Ist/Wäre der Rest der Rechnung denn richtig?
>
Bis auf das Ergebnis.
> > Gruss
> > MathePower
>
> Danke! Da war ich wohl ziemlich betriebsblind. :D
Gruss
MathePower
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