Welche Fläche ist richtig ? < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Graphen von f und g haben 3 oder mehr Schnittpunkte. Bestimmen Sie den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flächen |
Hallo , ich habe zwei Funktionen
f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - 4x
g(x) = [mm] 3x^2
[/mm]
Schnittpunkte :
f(x) = g(x)
[mm] x^{3} [/mm] - 4x = [mm] 3x^2
[/mm]
[mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3x^{2} [/mm] -4x = 0
x( [mm] x^2 [/mm] - 3x -4 ) = 0
[mm] x_1 [/mm] = 0 , [mm] x_2 [/mm] = 4 , [mm] x_3 [/mm] = -1
Erste Teilfläche :
[mm] \integral_{-1}^{0}{f(x)- g(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Das ist der Wert der ersten Teilfläche.
Wenn ich jetzt für die zweite Integrationsgrenze 0 und 4 wähle.
[mm] \integral_{0}^{4}{f(x)-g(x) dx} [/mm] bekomme ich 32 raus , müssen die Ergebnisse der Teilflächen nicht immer den gleichen Nenner haben ?
Wenn ich aber statt [mm] \integral_{0}^{4}{f(x)-g(x) dx} [/mm] ,
[mm] \integral_{0}^{3}{f(x)-g(x) dx} [/mm] rechne bekomme ich [mm] |-\bruch{99}{4} [/mm] raus.
Dann haben sie aufeinmal den gleichen Nenner, aber 3 ist kein Schnittpunkt von f und g , was mache ich hier falsch ?
PS: Die Integrale habe ich direkt so aufgeschrieben , die Rechnung ist aber richtig , hab es mit dem nicht zugelassenen Taschenrechner ausgerechnet.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mo 12.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Die Graphen von f und g haben 3 oder mehr Schnittpunkte.
> Bestimmen Sie den Inhalt der von den Graphen von f und g
> eingeschlossenen Flächen
> Hallo , ich habe zwei Funktionen
>
> f(x) = [mm]x^{3}[/mm] - 4x
> g(x) = [mm]3x^2[/mm]
>
>
> Schnittpunkte :
>
> f(x) = g(x)
>
> [mm]x^{3}[/mm] - 4x = [mm]3x^2[/mm]
>
> [mm]x^{3}[/mm] - [mm]3x^{2}[/mm] -4x = 0
>
> x( [mm]x^2[/mm] - 3x -4 ) = 0
>
> [mm]x_1[/mm] = 0 , [mm]x_2[/mm] = 4 , [mm]x_3[/mm] = -1
okay
> Erste Teilfläche :
>
> [mm]\integral_{-1}^{0}{f(x)- g(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
du sagst, die Integrale sind korrekt, weil du mit TR gerechnet hast - deswegen habe ich das auch nicht nachgerechnet.
Das stimmt, denn das erste Teilstück, dass von den Graphen eingeschlossen wird, liegt im Intervall [-1;0].
>
> Das ist der Wert der ersten Teilfläche.
> Wenn ich jetzt für die zweite Integrationsgrenze 0 und 4
> wähle.
>
> [mm]\integral_{0}^{4}{f(x)-g(x) dx}[/mm] bekomme ich 32 raus ,
Jetzt habe ich es auch mal mit nem Progi zeichnen lassen. Der Wert der Teilfläche ist tatsächlich 32 (positiv). So, wie du das rechnest f(x)-g(x) kommt aber -32 raus. Du musst aufpassen: Immer die "größere" Funktion von der "kleineren" (Formulierung natürlich mathematisch nicht einwandfrei, aber du weißt, was ich meine) abziehen. Und es ist eben [mm]g(x)\ge{f(x)}[/mm] für alle x aus dem Intervall 0 bis 4.
> müssen die Ergebnisse der Teilflächen nicht immer den
> gleichen Nenner haben ?
Nein! - Wie kommst darauf?
> Wenn ich aber statt [mm]\integral_{0}^{4}{f(x)-g(x) dx}[/mm] ,
> [mm]\integral_{0}^{3}{f(x)-g(x) dx}[/mm] rechne bekomme ich
> [mm]|-\bruch{99}{4}[/mm] raus.
Ach, du meinst jetzt wegen des selben Nenners. Das mit demselben Nenner ist Zufall.
> Dann haben sie aufeinmal den gleichen Nenner, aber 3 ist
> kein Schnittpunkt von f und g , was mache ich hier falsch ?
Der Nenner muss nicht gleich sein.
Du musst wirklich die komplette Fläche berechnen, also bis x=4.
Vielleicht habt ihr das in der Schule immer auf einen Nenner gebracht, um besser rechnen zu können.
[mm]32=\bruch{4*32}{4}=\bruch{128}{4}[/mm]
Dann ist die insgesamt eingeschlossene Fäche: [mm]\bruch{3}{4}+\bruch{128}{4}=\bruch{131}{4}[/mm]
> PS: Die Integrale habe ich direkt so aufgeschrieben , die
> Rechnung ist aber richtig , hab es mit dem nicht
> zugelassenen Taschenrechner ausgerechnet.
Gruß
barsch
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Ja , genau [mm] \bruch{131}{4} [/mm] habe ich auch raus.
Das hat mich gewundert , denn bei den vorherigen Aufgaben , hatte ich 3 Teilflächen und IMMER kam der gleiche Nenner , das war also Zufall , ne ?
Also stimmt das , was ich gesagt habe , dass die Ergebnisse einer Teilfläche den gleichen Nenner haben müssen , nicht ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Mo 12.03.2012 | | Autor: | DM08 |
Nein, natürlich nicht. Aber du kannst auch, wenn du 4 rausbekommst es zu : [mm] \bruch{16}{4} [/mm] machen, dann hast du wieder den gleichen Nenner ;)
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mo 12.03.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , vielen Dank an alle. !
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