Welche Zahl ist größer < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Sa 14.05.2011 | | Autor: | schnuubi |
| Aufgabe | | Welche Zahl ist größer, 1000000000^1000000000 oder 1000000001^999999999? |
Ich habe bisher folgende Ungleichung aufgestellt: [mm] n^n [/mm] > [mm] (n+1)^{n-1}
[/mm]
Und wollte sie dann mit vollständiger Induktion berechnen.
IA...
IV....war noch klar
IS dann n--> n+1
[mm] (n+1)^{n+1} [/mm] steht ja dann auf der linken Seite. Wie komm ich denn von [mm] n^n [/mm] auf das? Der Exponent ist mir noch klar...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo schnuubi,
> Welche Zahl ist größer, 1000000000^1000000000 oder
> 1000000001^999999999?
> Ich habe bisher folgende Ungleichung aufgestellt: [mm]n^n[/mm] >
> [mm](n+1)^{n-1}[/mm]
> Und wollte sie dann mit vollständiger Induktion
> berechnen.
> IA...
> IV....war noch klar
> IS dann n--> n+1
>
> [mm](n+1)^{n+1}[/mm] steht ja dann auf der linken Seite. Wie komm
> ich denn von [mm]n^n[/mm] auf das? Der Exponent ist mir noch
> klar...
Die Induktionsvoraussetzung besagt, dass die Aussage [mm]n^n>(n+1)^{n-1}[/mm] für ein [mm]n\in\mathbb N[/mm] schon bewiesen ist.
Im Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass die Aussage dann auch für das nächste n - also n+1 - gilt: [mm](n+1)^{n+1}>((n+1)-1)^{(n+1)-1}=n^n[/mm] (du setzt also für jedes n in der IV n+1 ein).
Dazu solltest du die Aussage aus der IV benutzen.
Ich fange mal an:
[mm](n+1)^{n+1}=(n+1)^n\cdot(n+1)>n^n\cdot(n+1)\stackrel{IV}{>}(n+1)^{n-1}\cdot(n+1)=\ldots[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Sa 14.05.2011 | | Autor: | schnuubi |
| Aufgabe | | Im Induktionsschritt musst du nun zeigen, dass die Aussage dann auch für das nächste n - also n+1 - gilt: $ [mm] (n+1)^{n+1}>((n+1)-1)^{(n+1)-1}=n^n [/mm] $ (du setzt also für jedes n in der IV n+1 ein). |
Das stimmt nicht ganz was du hast...(glaube ich). Auf der rechten Seite von der Ungleichung also vorm "=" steht bei dir in der Klammer ((n+1)-1) es muss aber ((n+1)+1) heißen...
Ja, so habe ich das auch gemacht, aber bei mir kommt nicht das "richtige" raus.
Das Ergebnis wäre ja eigentlich: [mm] (n+1)^{n+1}>(n+2)^n
[/mm]
Wie krieg ich denn die 2 in die hintere Klammer?
Und bei mir kommt raus: linke seite genauso > [mm] (n+1)^n
[/mm]
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Hallo schnuubi,
die Abschätzungen funktionieren so nicht, sie sind zu grob.
Ohne Ausnutzen von [mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$ wirst du es, denke ich, auch nicht beweisen können.
Zumindest seh ich gerade keinen praktikablen Weg.
MFG,
Gono.
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Hallo Schnubbi,
du brauchst hier keine vollst. Induktion, es geht mit einer kleinen Umformung viel eleganter.
[mm] $n^n [/mm] > [mm] (n+1)^{n-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw\; (n+1)*n^n [/mm] > [mm] (n+1)^n$
[/mm]
[mm] $\gdw\; [/mm] (n+1) > [mm] \left(\bruch{n+1}{n}\right)^n [/mm] = [mm] \left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Nun steht rechts eine monoton wachsende Folge, die beschränkt ist durch etwas kleineres als 3 (zeigen, oder man hat es bereits gezeigt, wenn man zeigt, dass [mm] $\left(1 + \bruch{1}{n}\right)^n \to [/mm] e$) und links eine monoton wachsende unbeschränkte Folge.
Somit gilt die Ungleichung mindestens für n=3
Für n=2 prüft man sie schnell selbst nach, für n=1 gilt sie offensichtlich nicht. 
Gruß,
Gono.
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