Wellen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eben nur mal eine kurze Frage.
Unterscheiden sich eine stehende Welle und eine fortschreitende Welle z. B. in der Gleichung
[mm] $y=Asin(k*x+\omega [/mm] * t)$ ?
Vielen Dank für eine Antwort im voraus.
LG, Martinius
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Hallo!
Deine Wellengleichung beschreibt eine zeitlich und räumlich fortlaufende Welle, und keine stehende Welle. Das erkennst du auch daran, daß du an jeder Position zu bestimmten Zeitpunkten IMMER die maximale Amplitude beobachten kannst, nämlich dann, wenn [mm] $k\cdot{}x+\omega \cdot{} t=(2n+1)\pi$
[/mm]
Stehende Wellen entstehen, wenn deine Welle $ [mm] y=A\sin(k\cdot{}x+\omega \cdot{} [/mm] t) $ reflektiert wird, und diese Reflektion $ [mm] y=A\sin(\red{-}k\cdot{}x+\omega \cdot{} [/mm] t) $ sich mit der ursprünglichen Welle überlagert.
Dann kannst du das Additionstheorem
[mm] $\sin [/mm] x [mm] \; \cos [/mm] y = [mm] \frac{1}{2}\Big(\sin [/mm] (x-y) + [mm] \sin (x+y)\Big) [/mm] $
anwenden und erhälst [mm] $2A\sin(\omega t)\cos(kx)$. [/mm] Das ist die Gleichung für eine stehende Welle, denn die Amplitude A(t,x) wird unabhängig durch Zeit und Position moduliert.
Soll heißen: An den Stellen [mm] $kx=(2n+1)\pi$ [/mm] wird die Amplitude immer =0 sein, egal, welchen Wert t hat. Genauso kann an den Stellen [mm] kx=2n\pi [/mm] die Amplitude ihre höchsten Werte überhaupt annehmen. Das sind eben die charakteristischen Wellenknoten und -bäuche.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:41 Sa 17.01.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Event Horizon,
besten Dank für die Antwort!
LG, Martinius
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| Aufgabe | [mm] $u_{xx}=\bruch{1}{k^2}*u_{tt}$
[/mm]
D = {x | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \pi [/mm] }
u(0,t) = [mm] u(\pi,t) [/mm] = 0
u(x,0)=5*sin(3x)
[mm] u_t(x;0)=0
[/mm]
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Hallo,
dass sich die Gleichung einer stehenden Welle aus
[mm] $y=A*sin(kx+\omega t)+A*sin(-kx*\omega [/mm] t)$
ergibt, leuchtet mir ein.
Nun habe ich aber als Lösung einer Aufgabe (DGL einer schwingende Saite der Länge [mm] \pi [/mm] mit Randbedingungen)
$y=5*sin(3x)*cos(3kt)=2,5*sin(3x-3kt)+2,5*sin(3x+3kt)$
(stimmt auch mit der Lösung im Buch überein).
Das Minuszeichen steht hier vor der Variablen t.
Wie habe ich das zu verstehen?
Vielen Dank für eine Antwort.
LG, Martinius
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Hallo!
Dir ist ja klar, daß der Zeit-Term nicht einfach sein Vorzeichen ändern kann, der Ortsterm dagegen schon.
Da [mm] \sin(x)=-\sin(-x) [/mm] , kannst du den Faktor -1 aus dem Sinus herausziehen.
Physikalisch mußt du ja unterscheiden, ob deine Welle an einem "weichen" oder "harten" Medium reflektiert wird.
Bei einer harten Reflexion kommt immer noch ein Phasensprung von [mm] 2\pi [/mm] hinzu, was gleichbedeutend mit nem Vorfaktor -1 ist.
Mit ner harten Reflexion meine ich eine eingespannte Saite wie bei dir, die Reflexion von Schall an Wänden, oder die Reflektion von Licht an optisch dichteren Medien.
Weich wäre eine Reflexion am Ende einer Peitsche, Schall in einer Blockflöte und Licht an einem optisch leichteren Medium.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 So 18.01.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Event Horizon,
nochmals Dank für deine Antwort.
LG, Martinius
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