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| Aufgabe | Berechnen Sie die Lösung der Wellengleichung u_tt-u_xx=0 [mm] ,x\in[0,/pi], t\ge0,
[/mm]
mit den Randbedingungen [mm] u(0,t)=u(\pi,t)=0 [/mm] für alle [mm] t\ge0 [/mm] und den Anfangsbedingungen.
[mm] u(x,0)=x^2-\pix, u_t(x,0)=0, x\in[0,\pi].
[/mm]
Setzen Sie hierzu zunächst u(x,0) zu einer ungeraden Funktion auf [mm] [-\pi,\pi] [/mm] fort und bestimmen Sie u(x,t) mit Hilde der Fourier-Reihenentwicklung von u(x,0). |
Guten Abend,
ich versuche mit Hilfe des Skripts die Aufgabe zu lösen, aber mich verwirrt etwas, dass nachdem man [mm] b_n [/mm] bestimmt hat in der Musterlösung ein bestimmter Wert gewählt wird.
Möglicherweise hab ich das Konzept nicht ganz verstanden, daher wäre es gut, wenn mir jemand das erklären könnte.
Hier meine Rechnung um [mm] b_n [/mm] zu bestimmen:
Erstmal u(x,0) zu einer ungeraden Funktion auf [mm] [-\pi,\pi] [/mm] fortsetzen.
[mm] u(x,0)=\begin{cases} x^2-\pi*x, & \mbox{ }0\lex\le\pi \mbox{ } \\ -x^2-\pi*x, & \mbox{ } -\pi\le<0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Und dann [mm] b_n [/mm] über das Integral berechnen zu:
[mm] b_n [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x) dx}u(x,0)sin(nx)dx [/mm]
= [mm] \integral_{0}^{\pi}(x^2-\pi [/mm] *x)sin(nx)dx
= [mm] \bruch{2}{\pi}((\bruch{2x}{n^2}-\bruch{x^2}{n^3})cos(n\pi)-\bruch{2}{n^3})+\bruch{2\pi}{n}cos(n\pi)
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{n^3\pi}(cos(n\pi)-1)
[/mm]
Daraus folgt dann, dass [mm] b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{-8}{n^3\pi}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
An diesem Punkt wird in der ML n=2i+1 festgelegt.
Ich verstehe aber nicht ganz warum.
Könnte man nicht einfach n allgemein stehen lassen und damit weiterrechnen?
Wenn nicht, woher nimmt man die 2i+1?
Mfg
KR
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Hallo,
> Berechnen Sie die Lösung der Wellengleichung u_tt-u_xx=0
> [mm],x\in[0,/pi], t\ge0,[/mm]
> mit den Randbedingungen
> [mm]u(0,t)=u(\pi,t)=0[/mm] für alle [mm]t\ge0[/mm] und den
> Anfangsbedingungen.
> [mm]u(x,0)=x^2-\pi x, u_t(x,0)=0, x\in[0,\pi].[/mm]
> Setzen Sie
> hierzu zunächst u(x,0) zu einer ungeraden Funktion auf
> [mm][-\pi,\pi][/mm] fort und bestimmen Sie u(x,t) mit Hilde der
> Fourier-Reihenentwicklung von u(x,0).
> Hier meine Rechnung um [mm]b_n[/mm] zu bestimmen:
>
> Erstmal u(x,0) zu einer ungeraden Funktion auf [mm][-\pi,\pi][/mm]
> fortsetzen.
>
> [mm]u(x,0)=\begin{cases} x^2-\pi*x, & \mbox{ }0\lex\le\pi \mbox{ } \\
-x^2-\pi*x, & \mbox{ } -\pi\le<0 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
Hier ist die Fallunterscheidung schief gegangen. Die Fälle müssen doch von x abhängen.
[mm] $u(x,0)=\begin{cases} x^2-\pi*x, & \mbox{ } x\in [0, \pi] \\
-x^2-\pi*x, & \mbox{ } x \in [-\pi,0] \end{cases}$
[/mm]
ansonsten OK.
> Und dann [mm]b_n[/mm] über das Integral berechnen zu:
>
> [mm]b_n[/mm] = [mm]\integral_{0}^{\pi}{f(x) dx}u(x,0)sin(nx)dx[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{\pi}(x^2-\pi[/mm] *x)sin(nx)dx
> =
> [mm]\bruch{2}{\pi}((\bruch{2x}{n^2}-\bruch{x^2}{n^3})cos(n\pi)-\bruch{2}{n^3})+\bruch{2\pi}{n}cos(n\pi)[/mm]
> = [mm]\bruch{4}{n^3\pi}(cos(n\pi)-1)[/mm]
Ich gehe mal davon aus, dass du hier richtig gerechnet hast.
> Daraus folgt dann, dass [mm]b_n=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\
\bruch{-8}{n^3\pi}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> An diesem Punkt wird in der ML n=2i+1 festgelegt.
> Ich verstehe aber nicht ganz warum.
> Könnte man nicht einfach n allgemein stehen lassen und
> damit weiterrechnen?
Könnte man machen. Aber dann müsste man die ganze Zeit die Fallunterscheidung mitschleppen.
Du weisst, dass [mm] $b_n\not= [/mm] 0$ nur für n ungerade gilt.
Und ungerade Zahlen lassen sich darstellen in der Form $n = 2i+1$ mit $i [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Das heißt du machst das bloß um Schreibarbeit zu sparen.
Du bekommst damit keine Probleme, weil die Funktion ungerade ist und somit auch die [mm] a_n [/mm] - Terme verschwinden.
Viele Grüße,
Stefan
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Hey Vielen Dank ich dachte die ganze Zeit ,dass [mm] i\in\IC [/mm] wäre und war daher noch zusätzlich verwirrt.
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