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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:44 Mo 21.11.2011 | | Autor: | nhard |
Hallo,
es geht im Allg. die Berechnung von "Wellenpaketen".
Ich hänge gerade an diesem Problem:
Ich möcht alle Wellen überlagern, deren Wellenzahl im Intervall
[mm] $\left[k_0-\Delta k/2,k_0+\Delta k/2 \right]$ [/mm]
liegen und die Form
[mm] $\psi(x,t)=C\cdot e^{i(\omega(k) t-kx)}$ [/mm]
besitzen.
Das führt mich zu dem Integral:
[mm] $\Psi(x,t)=C*\integral_{k_0-\Delta k/2}^{k_0 +\Delta k/2}{e^{i(\omega(k)t-kx)} dk}\quad [/mm] (1)$
Die Funktion [mm] $\omega [/mm] (k)$ nähere ich für [mm] $\Delta k\ll k_0$ [/mm] mit
[mm] $\omega [/mm] (k)= [mm] \omega_0 +\underbrace{\left(\bruch{d\omega}{dk}\right)_{k_0}}_{=:w'} \cdot(k-k_0)\quad [/mm] (2)$
Dies kann man genauer im entsprechnende Kapitel im ![[]](/images/popup.gif) Demtröder sehen. (Ab der rechten uneteren Seite des links incl. der nächsten Seite)
Dort wird jetzt auch folgender Schritt gemacht, den ich leider nicht nachvollziehen kann und der auch nicht weiter kommentiert wurde (ähnlich auch im entsprechenden Kapitel von Haken-Wolf):
Setzt man (2) in (1), so erhält man:
[mm] $\Psi(x,t)=C*e^{i(\omega_0 t-k_0 x)} \integral_{-\Delta k/2}^{\Delta k/2}{e^{i(\omega '\cdot t-x)\xi} d\xi}$ [/mm]
mit [mm] $\xi=(k-k_0)
[/mm]
Ich weiß leider nicht wie man diesen Schritt durchführt..
Da die Integrationsvariable geändert wurde war meine Vermutung, dass Substituiert wurde:
[mm] $k=k-k_0$ [/mm]
Dann komme ich auch auf die Entsprechnende Grenzen.
Aber ich komme nicht auf den Term vor dem neuen Integral... Wenn ich (hoffentlich richtig) substituiere, setzte ich doch für k in der e-fkt eben [mm] $k-k_0$ [/mm] ein. Dann kann ich aber nicht gleichzeitig den Term vor das Integral ziehen und [mm] $\xi$ [/mm] innerhalb vom Integral ausklammern...
Jetzt weiß ich nicht, ob meine Vermutung mit der Substitution falsch ist oder ob ich einfach nicht fähig bin richtig zu substituieren...
Hoffe mein Problem ist nachvollziehbar.
Vielen Dank schon mal!
lg,
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Hallo nhard,
> Hallo,
>
> es geht im Allg. die Berechnung von "Wellenpaketen".
>
> Ich hänge gerade an diesem Problem:
>
> Ich möcht alle Wellen überlagern, deren Wellenzahl im
> Intervall
>
> [mm]\left[k_0-\Delta k/2,k_0+\Delta k/2 \right][/mm]
>
> liegen und die Form
>
> [mm]\psi(x,t)=C\cdot e^{i(\omega(k) t-kx)}[/mm]
>
> besitzen.
> Das führt mich zu dem Integral:
>
> [mm]\Psi(x,t)=C*\integral_{k_0-\Delta k/2}^{k_0 +\Delta k/2}{e^{i(\omega(k)t-kx)} dk}\quad (1)[/mm]
>
> Die Funktion [mm]\omega (k)[/mm] nähere ich für [mm]\Delta k\ll k_0[/mm]
> mit
>
> [mm]\omega (k)= \omega_0 +\underbrace{\left(\bruch{d\omega}{dk}\right)_{k_0}}_{=:w'} \cdot(k-k_0)\quad (2)[/mm]
>
> Dies kann man genauer im entsprechnende Kapitel im
> Demtröder
> sehen. (Ab der rechten uneteren Seite des links incl. der
> nächsten Seite)
>
> Dort wird jetzt auch folgender Schritt gemacht, den ich
> leider nicht nachvollziehen kann und der auch nicht weiter
> kommentiert wurde (ähnlich auch im entsprechenden Kapitel
> von Haken-Wolf):
>
> Setzt man (2) in (1), so erhält man:
>
> [mm]\Psi(x,t)=C*e^{i(\omega_0 t-k_0 x)} \integral_{-\Delta k/2}^{\Delta k/2}{e^{i(\omega '\cdot t-x)\xi} d\xi}[/mm]
> mit [mm]$\xi=(k-k_0)[/mm]
>
> Ich weiß leider nicht wie man diesen Schritt
> durchführt..
>
> Da die Integrationsvariable geändert wurde war meine
> Vermutung, dass Substituiert wurde:
>
> [mm]k=k-k_0[/mm]
>
> Dann komme ich auch auf die Entsprechnende Grenzen.
>
> Aber ich komme nicht auf den Term vor dem neuen Integral...
> Wenn ich (hoffentlich richtig) substituiere, setzte ich
> doch für k in der e-fkt eben [mm]k-k_0[/mm] ein. Dann kann ich aber
> nicht gleichzeitig den Term vor das Integral ziehen und [mm]\xi[/mm]
> innerhalb vom Integral ausklammern...
>
Hier wurde k mit einer künstlichen 0 erweitert.
Zunächst ist mit der Näherung
[mm]\left( \ \omega_{0}+\omega'* \left(k-k_{0}\right) \ \right)*t-k*x=\left( \ \omega_{0}+\omega'* \left(k-k_{0}\right) \ \right)*t-k*x+k_{0}*x-k_{0}*x[/mm]
[mm]=\omega_{0}*t+\omega'*t*\left(k-k_{0}\right)-x*\left(k-k_{0}\right)-k_{0}*x=\omega_{0}*t-k_{0}*x+\left(w'*t-x\right)*\left(k-k_{0}\right)[/mm]
Und dann wurde noch substitutiert: [mm]\xi=k-k_{0}[/mm]
> Jetzt weiß ich nicht, ob meine Vermutung mit der
> Substitution falsch ist oder ob ich einfach nicht fähig
> bin richtig zu substituieren...
>
> Hoffe mein Problem ist nachvollziehbar.
>
> Vielen Dank schon mal!
>
> lg,
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 21.11.2011 | | Autor: | nhard |
oh je... sieht gut aus.
Vielen Dank!
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