Wendepunkt bestimmen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mi 19.12.2012 | | Autor: | andy21 |
| Aufgabe | | Bestimme den Wendepunkt der Funktion y = [mm] x^{2} [/mm] * [mm] \wurzel{(4 - x^{2})} [/mm] |
Hallo,
ich sitze jetzt schon eine Weile an dieser Aufgabe und muss sagen, dass ich nun leider anstehe.
Ich habe zunächst die erste, dann die zweite Ableitung gebildet. Da beide ziemlich lange sind, schreibe ich hier nur die zweite Ableitung an:
y''(x) = 2*(4 - [mm] x^{2})^{0.5} [/mm] - [mm] 5x^{2}*(4 [/mm] - [mm] x^{2})^{-0.5} [/mm] - [mm] x^{4}*(4 [/mm] - [mm] x^{2})^{-1.5}
[/mm]
Wenn ich es durch ein Programm laufen lasse, kommt die richtige Lösung heraus (also als Nullstelle der zweiten Ableitung meine ich und die ist ja quasi gesucht); nämlich x = 1.042 und damit ist die Ableitung richtig
Ich habe aber leider keine Ahnung, wie ich das am besten umformen kann. Ich habs auch schon mit quadrieren versucht, aber da kommt dann etwas riesiges heraus. Gibt es eine andere Möglichkeit, wie ich auf die Lösung kommen kann?
Mir wäre schon sehr geholfen mit einer Erklärung wie ich z.B. (4 - x²)^-1.5 = 0 berechnen kann ohne zu quadrieren. Die binomische Formel bringt mich leider auch nicht ans Ziel (hab ich schon probiert).
Vielen herzlichen Dank für jeglichen Tipp,
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi andy,
schreib mal alles mit Bruchstrichen, statt negativen Exponenten. Damit meine ich, dass zB [mm] (4-x^2)^{-0,5} [/mm] sich ja wieder schreiben lässt als [mm] \bruch{1}{\sqrt{4-x^2}}.
[/mm]
Der nächste Schritt wäre, alle Brüche durch geeignetes Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen (Hauptnenner), damit du sie addieren und schliesslich nur noch einen einzigen Bruch mit einem Zähler und einem Nenner hast.
Die Nullstellen dieses Bruches ermittelst du dann, indem du die Nullstellen des Zählers ermittelst, denn ein Bruch [mm] \bruch{a}{b} [/mm] ist Null, wenn der Zähler Null ist, der Nenner ist hierfür nicht ausschlaggebend. Beachte aber hierbei, dass deine ursprüngliche Funktion, sowie deren Ableitungen nicht für alle Zahlen definiert sind (negative Radikanten und "durch Null teilen" sind/ist verboten). Du solltest also in jedem Fall überprüfen, ob vermeintliche Nullstellen auch im jeweiligen Definitionsbereich liegen.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Mi 19.12.2012 | | Autor: | andy21 |
Hallo Walde,
vielen Dank für deine rasche Antwort. Ich habe es jetzt einmal versucht:
y = [mm] \bruch{2*(4-x^{2})^{0.5}}{1} [/mm] - [mm] \bruch{5x^{2}}{(4-x^{2})^{0.5}} [/mm] - [mm] \bruch{x^{4}}{(4-x^{2})^{1.5}}
[/mm]
für mich wäre dann der gemeinsame Nenner: [mm] (4-x^{2})^{1.5}; [/mm] dh ich müsste den zweiten Bruch hoch drei nehmen und den ersten mal [mm] (4-x^{2})^{1.5} [/mm] oder??
y = [mm] 2*(4-x^{2})^{1.5}*(4-x^{2})^{0.5} [/mm] - [mm] 125x^{6} [/mm] - [mm] x^{4} [/mm] würde ich dann herausbekommen.
Das stimmt dann aber mit dem Rechenprogramm nicht mehr; habe ich da was falsch gemacht??
liebe Grüße
Andy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Walde |
> Hallo Walde,
>
> vielen Dank für deine rasche Antwort. Ich habe es jetzt
> einmal versucht:
>
> y [mm] =\bruch{2*(4-x^{2})^{0.5}}{1}-\bruch{5x^{2}}{(4-x^{2})^{0.5}}-\bruch{x^{4}}{(4-x^{2})^{1.5}}
[/mm]
Soweit in Ordnung.
>
> für mich wäre dann der gemeinsame Nenner:
> [mm](4-x^{2})^{1.5};[/mm]
Ok.
> dh ich müsste den zweiten Bruch hoch drei
> nehmen und den ersten mal [mm](4-x^{2})^{1.5}[/mm] oder??
Nein, das ist falsch. Du darfst den Wert der Brüche nicht verändern. Wie ich oben schon sagte, darfst du nur ![[]](/images/popup.gif) erweitern, d.h. Zähler und Nenner eines Bruches mit demselben Term multiplizieren.
>
> y = [mm]2*(4-x^{2})^{1.5}*(4-x^{2})^{0.5}[/mm] - [mm]125x^{6}[/mm] - [mm]x^{4}[/mm]
> würde ich dann herausbekommen.
>
> Das stimmt dann aber mit dem Rechenprogramm nicht mehr;
> habe ich da was falsch gemacht??
>
> liebe Grüße
> Andy
Wie die einzelnen Brüche addiert werden, ist wie bei der normalen Bruchrechnung. Dann den entstandenen Zähler vereinfachen, wenn möglich.
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Mi 19.12.2012 | | Autor: | andy21 |
Wunderbar Walde, habs herausbekommen; ich danke dir vielmals!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Walde |
Super  Gern geschehen.
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