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| Aufgabe | Stelle rechnerisch fest, für welche Werte von a die Funktion
[mm] fa(x)=0,5(x^4)+2(x^3)+3a(x^2)+6(a^2)x [/mm] Wendepunkte besitzt. |
Hallo Leute,
Ich schreibe bald eine Matheklausur und habe deswegen mal ne Frage.
Um diese Aufgabe muss ich ja erstmal die zweite Ableitung bestimmen. Und das ist schon mein Problem.
Ich schreibe mal wie ich angefangen habe:
[mm] fa(x)=0,5(x^4)+2(x^3)+3a(x^2)+6(a^2)x
[/mm]
$ [mm] fa'(x)=2(x^3)+6(x^2)+3a\cdot{}2x+6(a^2)\cdot{}1 [/mm] $
[mm] fa'(x)=2(x^3)+6(x^2)+ [/mm] 3a *2x+ [mm] 6(a^2) [/mm] *1 der fett geschreibene Bereich muss doch so wegen der Faktorregel sein, oder?
[mm] fa''(x)=6(x^2)+12x+3a*2+6(a^2)
[/mm]
[mm] fa''(x)=6(x^2)+12x+6a+6(a^2)
[/mm]
[mm] fa''(x)=x^2+2x+a+a^2
[/mm]
Hier weiß ich nun nicht, ob das ganze richtig ist. Ich nehme mal an, nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 So 24.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
Du musst die zweite Ableitung bestimmen und sie gleich 0 setzen. Die errechneten x-Werte in Abhängigkeit von a sind dann die Wendepunkte. Dann muss man halt noch schauen für welche Werte von a die x-Werte überhaupt exisitieren.
Also:
$ [mm] fa(x)=0,5(x^4)+2(x^3)+3a(x^2)+6(a^2)x [/mm] $
$ [mm] fa'(x)=2(x^3)+6(x^2)+3a\cdot{}2x+6(a^2)\cdot{}1 [/mm] $
Bis hierher ist alles richtig.
$ [mm] fa'(x)=2(x^3)+6(x^2)+ [/mm] $ 3a *2x+ $ [mm] 6(a^2) [/mm] $ *1 Diese Zeile ist überflüssig. Du kannst den Term 3a*2x doch auch zu 6ax zusammenfassen, dann sieht es übersichtlicher aus.
$ [mm] fa''(x)=6(x^2)+12x+3a\cdot{}2+6(a^2) [/mm] $ Hier hast du einen Fehler gemacht. Der letzte Term, also [mm] 6a^2 [/mm] fällt doch weg wenn du die nächste Ableitung bildest, denn [mm] 6a^2 [/mm] ist doch nur eine Konstante und die wird beim ableiten doch 0.
Also sieht die zweite Ableitung so aus: $ [mm] fa''(x)=6x^2+12x+6a [/mm] $
Nun kannst du natürlich noch durch 6 teilen, dann hast du: $ [mm] fa''(x)=x^2+2x+a [/mm] $
Dies ist bekanntlich eine quadratische Gleichung, die du nun gleich 0 setzt und mit Hilfe der Lösungsformel die beiden möglichen x-Werte ausrechnest. Ich geb dir die beiden x-Werte mal mit, damit du kontrollieren kannst ob du es richtig gemacht hast. [mm] x_{1}=-1+\wurzel{1-a} [/mm] und [mm] x_{2}=-1-\wurzel{1-a}. [/mm] Nun musst du noch überprüfen wann es Wendepunkte gibt. Dies siehst du an dem Term der unter der Wurzel steht. Genau wie bei quadratischen Gleichungen halt auch.
Den Rest kriegst du bestimmt alleine hin. Wenn du Probleme haben solltest, melde dich wieder.
Gruß,
clwoe
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Hi clwoe,
danke erstmal für deine schnelle Hilfe.
Und ich bin erstmal beruhigt, dass ich nicht ganz falsch lag.
Ich habe dann auch mit die beiden x-Werte ausgerechnet und die sind genau wie deine. Aber laut der Aufgabenstellung musste ich ja feststellen, für welche Werte von a die Funktion Wendepunkte besitzt.
Jetzt ewiß ich nicht ob ich dass nur allgemein sagen soll, oder mit bei welchem Wert wieviele Wendepunkte.
Dafür brauche ich ja auch noch die dritte Ableitung. Die lautet fa'''(x)=2x+2
[mm] x1=-1+\wurzel[2]{1-a}
[/mm]
$ [mm] x2=-1-\wurzel[2]{1-a} [/mm] $
Dann habe ich raus bekommen
a = 0 --> 1 Wendepunkt
[mm] a\le1 [/mm] {0} --> 2 Wendepunkte Kann ich in diesen {} Klammern schreiben, wenn ich etwas ausschließe?
a > 1 --> keine Wendepunkte
Ist das so korrekt?
Vielen Dank nochmal
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Hi, TryingHard,
> Ich habe dann auch mit die beiden x-Werte ausgerechnet und
> die sind genau wie deine. Aber laut der Aufgabenstellung
> musste ich ja feststellen, für welche Werte von a die
> Funktion Wendepunkte besitzt.
> Jetzt ewiß ich nicht ob ich dass nur allgemein sagen soll,
> oder mit bei welchem Wert wieviele Wendepunkte.
>
> Dafür brauche ich ja auch noch die dritte Ableitung. Die
> lautet fa'''(x)=2x+2
Die brauchst Du nicht unbedingt, denn es gilt die Regel:
[mm] \red{Ein}fache [/mm] Nullstellen der 2. Ableitung sind automatisch Wendestellen der Funktion.
Du musst also nur darauf achten, dass Deine DISKRIMINANTE positiv ist!
> [mm]x1=-1+\wurzel[2]{1-a}[/mm]
>
> [mm]x2=-1-\wurzel[2]{1-a}[/mm]
>
>
> Dann habe ich raus bekommen
>
> a = 0 --> 1 Wendepunkt
Wie kommst Du darauf? Wenn Du a=0 setzt, bekommst Du die [mm] \red{beiden} [/mm] Lösungen [mm] x_{1} [/mm] = 0, [mm] x_{2} [/mm] =-2; beides SIND Wendestellen Deiner Funktion! a=0 ist KEIN Sonderfall!
> [mm]a\le1[/mm] {0} --> 2 Wendepunkte
Stimmt nicht ganz, denn für a=1 erhält man die ZWEIfache (also doppelte) Lösung [mm] x_{1/2} [/mm] = -1 und eine doppelte NS der 2. Ableitung ist eben gerade KEINE Wendestelle!
Daher gibt es 2 Wendestellen nur für a < 1.
> Kann ich in diesen
> {} Klammern schreiben, wenn ich etwas ausschließe?
So etwas würde man folgendermaßen schreiben: a < 1 [mm] \wedge\ [/mm] a [mm] \not=0
[/mm]
(aber wie gesagt: 0 fällt NICHT raus; ist KEIN Sonderfall!)
> a > 1 --> keine Wendepunkte
Richtig!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 So 24.09.2006 | | Autor: | TryingHard |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Hab's verstanden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 So 24.09.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, clwoe,
> Also sieht die zweite Ableitung so aus:
> [mm]fa''(x)=6x^2+12x+6a[/mm]
>
> Nun kannst du natürlich noch durch 6 teilen, dann hast du:
> [mm]fa''(x)=x^2+2x+a[/mm]
Das geht natürlich so NICHT!
Die zweite Ableitung kann nicht gleichzeitig
[mm] fa''(x)=6x^2+12x+6a [/mm] und [mm] fa''(x)=x^2+2x+a [/mm] sein!
Diese von Dir vorgeschlagene Division durch 6
DARF ERST DURCHGEFÜHRT WERDEN,
wenn man die 2. Ableitung =0 gesetzt hat:
[mm] 6x^2+12x+6a [/mm] = 0 | : 6
[mm] x^2+2x+a [/mm] = 0
etc.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 So 24.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi Zwerglein,
stimmt! Habe das vorhin getippt ohne genau drüber nachzudenken!
Danke das du mich drauf hingewiesen hast.
Gruß,
clwoe
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