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Wendepunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Di 18.05.2010
Autor: Dirt

Aufgabe
[mm] f(x)x^3-x^2-x+1 [/mm]

Berechnen Sie die Gleichung der Normal im Wendepunkt

Hallo Leute,

kann mir einer sagen ob ich soweit alles richtig habe?

[mm] f(x)x^3-x^2-x+1 [/mm]

1. Ableitung [mm] f'(x)=3x^2-2x-1 [/mm]
2. Ableitung f''(x)=6x-2
3. Ableitung f'''(x)=6

notwendiges Kriterium:

f''(0)=6x-2
0=6x-2
2=6x
x=1/3

hinreichende Kriterium:

Soweit bin ich gekommen. Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Ich weiß nur das ich das Ergebnis x=1/3 in die dritte Ableitung einsetzen muss, für das hinreichende Kriterium. Aber was bezwecke ich mit dem hinreichenden Kriterium?Hilfe!!!

Danke im voraus :-)

        
Bezug
Wendepunkte: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Di 18.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Dirt!



> [mm]f(x)=x^3-x^2-x+1[/mm]
>  
> 1. Ableitung [mm]f'(x)=3x^2-2x-1[/mm]
> 2. Ableitung f''(x)=6x-2
> 3. Ableitung f'''(x)=6

[ok]

  
> notwendiges Kriterium:
>  
> f''(0)=6x-2
> 0=6x-2
> 2=6x
> x=1/3

[ok]

  
> hinreichende Kriterium:
>  
> Soweit bin ich gekommen. Wie muss ich jetzt weiter
> vorgehen? Ich weiß nur das ich das Ergebnis x=1/3 in die
> dritte Ableitung einsetzen muss, für das hinreichende
> Kriterium. Aber was bezwecke ich mit dem hinreichenden
> Kriterium?

Um zu ziegen, dass es sich hier wirklich um eine Wndestelle handelt, muss mit dem hinreichenden Kriterium gelten:
[mm] $$f''(x_w) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$$
Dies ist hier offensichtlich erfüllt.

Anschließend die Steigung im Wendepunkt und den y-Wert des Wendepunktes ermitteln.

Damit kann man dann in die Formel für die normale gehen:
$$n(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{f'(x_0)}*\left(x-x_0\right)+f(x_0)$$ [/mm]

Gruß
Loddar

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