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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Sa 24.03.2012 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | | Eine ganzrationale Funktion 3.Grades soll im Punkt T(1/2)einen Tiefpunkt haben und im Punkt W(0/0) einen Wendepunkt.Max hält diese Aufgabe für unlösbar.Untersuche ob Max Recht hat. |
Hallo =)
Ich habe mich mit der Aufgabe oben beschäftigt und verstehe nicht,warum man keine Funktion mit den Punkten dort oben aufstellen kann...
3.Grad
[mm] ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
1.T(1/2)
2.T'(1/0)
3.W(0/0)
4.W''(0/0)
1. 2=a+b+c+d
2. 0=12a+4b+c
3. 0=d
4. 0=b
2=a+c
0=12a +c -
a= [mm] \bruch{-2}{11} [/mm]
c: 2= [mm] \bruch{-2}{11} [/mm]
c= [mm] \bruch{24}{11} [/mm]
[mm] f(x)=-\bruch{-2}{11}ax^{3}+ \bruch{24}{11}x [/mm]
Ich habe die Funktion einfach mal in meinen Taschenrechner eingegeben und er hat mir einen Graphen mit einem Hochpunkt gezeichnet.
DAnke
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Hallo,
zunächst hast du die Aufgabe etwas falsch verstanden. Ein gewisser Max hält sie für unlösbar, und du sollst prüfen, ob das wirklich so ist.
Deine Rechnung ist vom Prinzip her schon richtig, enthält aber mindestens einen gravierenden Rechenfehler, so dass dein Resultat falsch ist (allerdings nicht, was die Lösbarkeit der Aufgabe angeht: sie ist lösbar, und zwar eindeutig).
Ich rate dir zu einer Überprüfung deiner 1. Ableitung, denn ich denke, dass dort dein Fehler liegt (du hast die Ableitung aber nicht angegeben sondern nur damit gerechnet).
Aber ich möchte dir noch einen Trick verraten, wie man diese Rechnung wesentlich vereinfachen kann: die Schaubilder von ganzrationalen Funktionen 3. Ordnung sind stets zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch.
Da hier der Ursprung Wendepunkt ist, ist f punktsymmetrisch zum Ursprung und du kannst auch sofort so ansetzen:
[mm] f(x)=ax^3+bx
[/mm]
Das sind immerhin zwei Unbekannte weniger. 
Probier's doch einfach nochmal und melde dich dann zur Kontrolle mit dem Ergebnis.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Sa 24.03.2012 | | Autor: | luna19 |
[mm] f'(x)=3ax^{2}+c
[/mm]
1.2=a+c
2.0=3a+c
2=a+c
0=3a+c /-
2=-2a //-2
-1=a
c:
2=-1+c
3=c
[mm] f(x)=)-1x^3+3x
[/mm]
3. Ordnung sind stets zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch 3.
Aber das mit dem punktsymmetrisch zum Ursprung gilt nur ,wenn der Wendepunkt W(0/0) ist?Und was ich auch nicht verstehe,ist warum dieser Max die Aufgabe für unlösbar hält,also irgendwie muss er ja darauf gekommen sein.
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Hallo,
> [mm]f(x)=)-1x^3+3x[/mm]
Glückwunsch, das ist die richtige Funktion.
Jetzt muss ich aber zu meiner Schande gestehen, dass ich etwas vorschnell war: die Funktion soll in (1|2) einen Tiefpunkt besitzen.
Das tut sie nicht, wie du dir leicht klar machst: vom Ursprung muss das Schaubild von f zum Punkt T(1|2) ansteigen, also muss dieser Extrempunkt, der er in jedem Fall ist, ein Hochpunkt sein.
Man kann es auch über die 2. Ableitung bekommen:
[mm] f(x)-x^3+3x
[/mm]
[mm] f'(x)=-3x^2+3
[/mm]
f''(x)=-6x
f''(1)=-6<0
Also hat der Max doch Recht gehabt.
> Aber das mit dem punktsymmetrisch zum Ursprung gilt nur
> ,wenn der Wendepunkt W(0/0) ist?
Genau. Sonst ist sie halt einfach nur zu ihrem Wendepunkt punkstsymmetrisch.
> Und was ich auch nicht
> verstehe,ist warum dieser Max die Aufgabe für unlösbar
> hält,also irgendwie muss er ja darauf gekommen sein.
Das ist einfach eine ziemlich gängige Einkleidung eines Aufgabentyps, bei dem man eine Behauptung daraufhin prüfen soll, ob sie wahr ist oder nicht.
Hier ist sie es, und ich entschuldige mich nochmal für meine Schusseligkeit, dass ich es erst auch nicht gesehen habe.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 So 25.03.2012 | | Autor: | luna19 |
ach so danke :)
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