Wendestellen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:54 Do 02.03.2006 | | Autor: | Hanz |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: Matheboard.de (jedoch wurde mir net wirklich geantwortet...)
Also ich habe da 1 Funktion und deren Ableitungen gebildet. Sehen aber z.T. echt übel aus (sind aber richtig) und ich wollte fragen, ob man die verienfachen kann.
f(x)=sin(x²)
f'(x)=cos(x²)*2x
f''(x)=-sin(x²)*4x²+cos(x²)*2
f'''(x)=-8x³*cos(x²)-12x*sin(x²)
Bitte zeigen, wenn's einfacher geht ^.^
Und mein 2nd Problem ist, ich weiss echt nicht wie ich die Wendestellen bei sin(x²) ausrechnen soll.
f''(x)=0
-sin(x²)*4x²+cos(x²)*2=0 <--- aber das nach x aufzulösen klappt nimmer bei mir :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Do 02.03.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Hanz,
> Also ich habe da 1 Funktion und deren Ableitungen gebildet.
> Sehen aber z.T. echt übel aus (sind aber richtig) und ich
> wollte fragen, ob man die verienfachen kann.
>
> f(x)=sin(x²)
> f'(x)=cos(x²)*2x
> f''(x)=-sin(x²)*4x²+cos(x²)*2
> f'''(x)=-8x³*cos(x²)-12x*sin(x²)
Geht nicht einfacher!
> Und mein 2nd Problem ist, ich weiss echt nicht wie ich die
> Wendestellen bei sin(x²) ausrechnen soll.
> f''(x)=0
> -sin(x²)*4x²+cos(x²)*2=0
Ich kann Dir auch nur beim Umformen helfen:
Nach Division durch [mm] cos(x^{2}) [/mm] kriegst Du letztlich:
[mm] tan(x^{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2x^{2}},
[/mm]
was Du aber auch nach Substitution [mm] z=x^{2} [/mm] nur näherungsweise lösen kannst.
Aber mich erstaunt der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe!
Hast Du Dich nicht verschaut und es soll vielleicht
f(x) = [mm] (sin(x))^{2} [/mm] heißen?!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Hanz |
Ne ne, die Uafgabe is korrekt!
Danke für die replies erstmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Do 02.03.2006 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi,
ich kann mich dem Zwerglein da nur anschließen. Falls du gerade keinen Taschenrechner oder Supercomputer zur Hand hast, habe ich dir da was vorbereitet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Alles Gute,
Peter
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Hanz |
Servus und Danke erstmal für Deine Antwort, die Hilft mir sehr weiter!
Aber hätte da noch ne Frage. Wie Zwerglein schon sagte kann er bis
tan(x²)= [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] umformen.
Wie bist du dann vorgegangen, um die Nullstellen von f''(x) rauszubekommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hanz!
$f''(x) \ = \ [mm] -\sin\left(x^2\right)*4x^2+\cos\left(x^2\right)*2$
[/mm]
[mm] $-4x^2*\sin\left(x^2\right)+2*\cos\left(x^2\right) [/mm] \ = \ 0$
Nun klammern wir [mm] $2*\cos\left(x^2\right)$ [/mm] aus und bedenken dabei, dass gilt: [mm] $\bruch{\sin(z)}{\cos(z)} [/mm] \ = \ [mm] \tan(z)$ [/mm] :
[mm] $\gdw$ $-2*\cos\left(x^2\right)*\left[2x^2*\blue{\bruch{\sin\left(x^2\right)}{\cos\left(x^2\right)}}-1\right] [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $-2*\cos\left(x^2\right)*\left[2x^2*\blue{\tan\left(x^2\right)}-1\right] [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $-2*\cos\left(x^2\right) [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $2x^2*\tan\left(x^2\right)-1 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $\cos\left(x^2\right) [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $2x^2*\tan\left(x^2\right)-1 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $x^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*k+1}{2}*\pi$ [/mm] oder [mm] $\tan\left(x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2x^2}$
[/mm]
Und die zweite Gleichung ist (wie Zwerglein schon schrieb) nur mit Näherungsverfahren zu lösen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Loddar,
bist Du Dir da ganz sicher?
> [mm] x^2 [/mm] = [mm] \bruch{2*k+1}{2}*\pi
[/mm]
Wenn Du das in die Ausgangsgleichung
f''(x) = [mm] -4x^{2}*sin(x^{2}) +2*cos(x^{2}) [/mm] einsetzt,
fällt natürlich der cos weg, für den sin aber kommt +1 oder -1 raus; insgesamt daher NICHT null!
M.E. bleibt wirklich nur die von mir genannte Lösungssgleichung mit dem tan!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Hanz |
welches Verfahren meint ihr hier?
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Hi, Hanz,
also wenn Du das wirklich näherungsweise lösen sollst, dann:
(1) mit dem Newton-Verfahren
(2) jede Lösung einzeln (aber wegen der Achsensymmetrie nur für x>0)
(3) am besten mit dem Computer.
(Aber sag' mal: Habt Ihr Euren Pauker geärgert oder was?
Solche Aufgaben stellt doch einer nur in ultrasuperhyperextremsten Extremsituationen!
Hat er denn nicht wenigstens die Definitionsmenge eingeschränkt?!)
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Hanz |
D=R ;)
Noch mal ne Frage zur Newton-Verfahrensweise.
Die Formel lautet ja [mm] Xo2=Xo1-\bruch{f(Xo1)}{f'(Xo1)}
[/mm]
Mit welchen Ableitungen muss ich das berechnen wenn ich die Nullstellen der Wendepunkte suche? mit f''' und f''''?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Hanz,
> D=R ;)
Mist!
> Noch mal ne Frage zur Newton-Verfahrensweise.
> Die Formel lautet ja [mm]Xo2=Xo1-\bruch{f(Xo1)}{f'(Xo1)}[/mm]
> Mit welchen Ableitungen muss ich das berechnen wenn ich die
> Nullstellen der Wendepunkte suche? mit f''' und f''''?
Du nimmst als f(x) in der Formel: f(x) = [mm] tan(x^{2})-\bruch{1}{2x^{2}} [/mm] und f'(x) ist davon die Ableitung.
Kannst aber genausogut mit "Deinem" f"(x) als f(x) und Deinem f'''(x) als f'(x) arbeiten!
Für die jeweiligen Startwerte(xo1) schaust Du Dir am besten Peter_Peins Skizze an: Die roten Linien kennzeichnen die Wendepunkte.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Hanz |
Hmmm, nur um nochmal ganz sicher zu gehen:
- Ich nehme tan(x²)- [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] als f(x)
- Als f'(x) leite ich tan(x²)- [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] ab
Vll ne dumme Frage, aber was ist tan(x²)- [mm] \bruch{1}{2x^2} [/mm] korrekt abgeleitet? >.<
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Hi, Hanz,
> - Ich nehme tan(x²)- [mm]\bruch{1}{2x^2}[/mm] als f(x)
> - Als f'(x) leite ich tan(x²)- [mm]\bruch{1}{2x^2}[/mm] ab
Richtig!
Oder Du nimmst gleich Deine Ableitungen, nämlich f''(x) für f(x) und f'''(x) für f'(x)
> Vll ne dumme Frage, aber was ist tan(x²)- [mm]\bruch{1}{2x^2}[/mm]
> korrekt abgeleitet? >.<
Naja: [mm] \bruch{2x}{cos^{2}(x^{2})} [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^{3}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Hanz |
Wie gebe ich ALLE Nullstellen bei D=R formal korrekt an?
Also ich meine jetzt die Nullstellen der Wendepunkte, es gibt doch sone schreibweise mit k, mit der man es allgemein fassen kann.
mfg.
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Hallo,
das hängt von der Periode der Funktion ab. Man schreibt es bei der Sinusfunktion z.B. so:
[mm] k*\pi, k\in\IZ
[/mm]
(Alle [mm] \pi [/mm] gibt es eine Nullstelle! Die Periode ist aber [mm] 2\pi.)
[/mm]
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Hanz, hi, Mathmetzsch,
> Hallo,
>
> das hängt von der Periode der Funktion ab. Man schreibt es
> bei der Sinusfunktion z.B. so:
>
> [mm]k*\pi, k\in\IZ[/mm]
>
> (Alle [mm]\pi[/mm] gibt es eine Nullstelle! Die Periode ist aber
> [mm]2\pi.)[/mm]
Tja, nur leider ist die Funktion nicht periodisch!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Hanz |
Und was machen wa da?
Nur alle werte im Bereich [0;2Pi] angeben?
[also bei NST, Extremstellen, Wendepunkt]
bzw. Ist es denn eigtl möglich das allgemein für eine nicht-periodische funktion anzugeben?
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Hallo,
tja da hat Erwin leider Recht. Die Periode schrumpft mit steigenden |x|-Werten. Dann kann man hier die Nullstellen nicht geschlossen angeben. Es gibt ja unendlich viele. Man müsste also klären, ob die Periode nach einer Gesetzmäßigkeit abnimmt. Das ist sicher der Fall, aber das würde zu weit führen!
Dann würde ich dir zustimmen. Gib alle Werte in diesem Intervall an!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:44 Mo 06.03.2006 | | Autor: | Hanz |
mmmhhh....
Ich kann doch aber z.B. bei den Wendestellen schreiben:
x= [mm] \wurzel{o,653+2k* \pi}; [/mm] k [mm] \varepsilon \IZ
[/mm]
x= [mm] \wurzel{3,29231+2k* \pi}; [/mm] k [mm] \varepsilon \IZ
[/mm]
Somit erhalte ich meiner Meinung nach ALLE Wendepunkte.
Bei den Nullstellen schreibe ich:
[mm] x=\wurzel{0+k*\pi}, [/mm] k [mm] \varepsilon \IZ
[/mm]
Bei Extremstellen dann:
[mm] x=\wurzel{ \bruch{\pi}{2}+2k*\pi}, [/mm] k [mm] \varepsilon \IZ
[/mm]
[mm] x=\wurzel{ \bruch{3\pi}{2}+2k*\pi}, [/mm] k [mm] \varepsilon \IZ
[/mm]
Liege ich damit falsch? weil bei mir kommen da alle werte raus :o
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Do 09.03.2006 | | Autor: | matux |
Hallo Hanz!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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