Wendestellen g(x)=x²+cos(kx) < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 09.04.2005 | | Autor: | AnjaWG |
Ich hoffe mir kann hier jemand helfen!sitze seit stunden vor ner Matheaufgabe und komme absolut nicht weiter.
Also die Aufgabe lautet:
Skizzieren Sie Graphen der Funktion g mit g(x)=x²+cos(kx) für verschiedene Werte von k.Welchen Zusammenhang zwischen Anzahl der Wendepunkte und den Werten von k vermuten Sie?Beweisen Sie Ihre Vermutung!
Also gezeichnet hab ich schon und ne Vermutung hab ich auch.Weiß nur nicht wie ich das beweisen soll.
Also wenn k+1 gibt es immer 2Wendestellen mehr. k=1 hat keine, k=2 hat 2, k=3 hat 4 usw.
Ich finde keinen Ansatz!Hoffe jemand hat ne Idee!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anja!
Auch Dir hier natürlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Gehen wir doch einfach mal vor wie immer ...
Wie bestimmt man denn die (möglichen) Wendestellen?
Richtig! Wie bestimmen die Nullstellen der 2. Ableitung (notwendiges Kriterium).
Genauso machen wir es hier auch. Hast Du denn bereits die 2. Ableitung $g''(x)$ ermitteln können?
Dann poste diese doch mal bitte hier.
Anschließend sehen wir uns $g''(x)$ mal genauer an und versuchen, die Nullstellen zu bestimmen. Dabei kommt dann auch unser Parameter $k$ ins Spiel ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Sa 09.04.2005 | | Autor: | AnjaWG |
Die zweite Ableitung ist 2-cos(k*x)*k²
die dritte sin(kx)*k³
2-cos(kx)k²=0
cos(kx)k²=2
cos(kx)=2/k²
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anja!
> Die zweite Ableitung ist 2-cos(k*x)*k²
> die dritte sin(kx)*k³
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt ...
> 2-cos(kx)k²=0
> cos(kx)k²=2
> cos(kx)=2/k²
So, nun müssen wir uns überlegen, was wir so über die [mm] $\cos$-Funktion [/mm] wissen.
Insbesondere: Kann die [mm] $\cos$-Funktion [/mm] jeden beliebigen y-Wert annehmen, oder gibt es hier Beschränkungen?
Kann die [mm] $\cos$-Funktion [/mm] z.B. den Wert [mm] $\cos(z) [/mm] \ = \ +4$ annehmen?
Daraus ergeben sich doch dann gewisse Einschränkungen für den Parameter $k$, damit unsere 2. Ableitungsfunktion $g''(x)$ auch wirklich Nullstellen hat ...
Fällt Dir dazu vielleicht etwas ein?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 Sa 09.04.2005 | | Autor: | AnjaWG |
Also der Wertebereich der cos-Funktion ist ja [-1,1]
das heißt ja dann dass k nicht größer als [mm] \wurzel{2} [/mm] werden kann oder?
weil cos(kx)= [mm] \bruch{2}{\wurzel{2}²}=1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Sa 09.04.2005 | | Autor: | AnjaWG |
sorry falsch k darf nicht kleiner als wurzel 2werden oder?weil wenn man für k 3 einsetzt wird der bruch ja kleiner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anja!
Deine Lösung ist fast richtig, es fehlt nämlich noch etwas ...
Wir wollen doch berechnen
(wegen des Wertebereiches, wie Du völlig richtig erkannt hast!):
$-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \bruch{2}{k^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$
Der linke Teil dieser Ungleichungskette ist immer erfüllt, da ja gilt: [mm] $\bruch{2}{k^2} [/mm] \ > \ 0$ !!
Kümmern wir uns also um den rechten Teil:
[mm] $\bruch{2}{k^2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ $| \ [mm] *k^2 [/mm] \ > \ 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$2 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] k^2$ [/mm] $| \ [mm] \wurzel{...}$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\wurzel{2} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ |k|$
[mm] $\gdw$
[/mm]
$k \ [mm] \le [/mm] \ - [mm] \wurzel{2}$ [/mm] oder $k \ [mm] \ge [/mm] \ + [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Nun alle Klarheiten beseitigt?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 09.04.2005 | | Autor: | AnjaWG |
Das hab ich jetzt verstanden.Die funktion hat also wendestellen wenn [mm] k\le -\wurzel{2} [/mm] oder [mm] k\ge \wurzel{2}
[/mm]
Wie kann ich denn jetzt den zusammenhang zwischen k und der anzahl der wendestellen beweisen?bisher hat man ja im prinzip nur bewiesen dass es bei k=1 k=0 oder k=-1 keine wendestellen gibt.
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Hallo,
aus der Bestimmungsgleichung [mm]2\; - \;k^{2} \;\cos (kx)\; = \;0[/mm]
und der Beschränktheit des cos folgt, daß diese Gleichung für [mm]k^{2} \; < \;2[/mm] keine Lösungen hat, da dann
[mm]\frac{2}{{k^2 }}\; > \;1[/mm]
gilt.
Gruß
MathePower
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