Wenn Nullfolge,dann integ. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 20.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei [mm] \{ q(1), q(2), ... \} [/mm] eine Abzählung von [mm] \mathbb Q \cap \left[ 0,1 \right] [/mm], d.h. [mm] q: \mathbb N \to \mathbb Q \cap \left[ 0,1 \right] [/mm] ist eine Bijektion. Sei [mm] (a_n)_{n \in\mathbb N } [/mm] eine Folge nicht negativer reeler Zahlen. Die Funktion [mm] \chi : \left[ 0,1 \right] \to \mathbb R [/mm] sei gegeben durch [mm] \chi (q(n)) = a_n [/mm] und [mm] \chi (x) = 0 [/mm], falls [mm] x \notin \mathbb Q [/mm].
Zeigen Sie, dass [mm] \chi [/mm] Riemann - integrierbar ist wenn [mm] \lim_{n \to \infty } a_n = 0 [/mm]. |
Guten Abend alle zusammen!
Schon wieder leider eine weitere Aufgabe, mit der ich nicht zurecht komme :-(.
Soweit ich die Aufgabe richtig verstanden habe, weist diese Funktion [mm] \chi [/mm] jeder Zahl aus [mm] \mathbb Q [/mm] eine reele Zahl zu, eine reele Zahl, die gleichzeitig Teil der Folge ist. Und jeder Zahl die nicht Element von [mm] \mathbb Q [/mm] ist, wird die Null zugeordnet.
Und nun soll ich zeigen, dass wenn diese Folge gegen Null konvergiert die Funktion integrierbar ist. Leider versteh ich hier nicht den Zusammenhang zwischen der Integrierbarkeit und der Folge...
Ich wäre über einen Tipp und wenn es möglich ist über eine Erklärung der Zusammenhänge sehr erfreut, damit ich diese Aufgabe lösen kann!
Danke schon mal!
Viele Grüße
irmchen
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Hi,
> Sei [mm]\{ q(1), q(2), ... \}[/mm] eine Abzählung von [mm]\mathbb Q \cap \left[ 0,1 \right] [/mm],
> d.h. [mm]q: \mathbb N \to \mathbb Q \cap \left[ 0,1 \right][/mm] ist
> eine Bijektion. Sei [mm](a_n)_{n \in\mathbb N }[/mm] eine Folge
> nicht negativer reeler Zahlen. Die Funktion [mm]\chi : \left[ 0,1 \right] \to \mathbb R[/mm]
> sei gegeben durch [mm]\chi (q(n)) = a_n[/mm] und [mm]\chi (x) = 0 [/mm],
> falls [mm]x \notin \mathbb Q [/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]\chi[/mm] Riemann - integrierbar ist wenn
> [mm]\lim_{n \to \infty } a_n = 0 [/mm].
> Guten Abend alle zusammen!
>
> Schon wieder leider eine weitere Aufgabe, mit der ich nicht
> zurecht komme :-(.
> Soweit ich die Aufgabe richtig verstanden habe, weist
> diese Funktion [mm]\chi[/mm] jeder Zahl aus [mm]\mathbb Q[/mm] eine reele
> Zahl zu, eine reele Zahl, die gleichzeitig Teil der Folge
> ist. Und jeder Zahl die nicht Element von [mm]\mathbb Q[/mm] ist,
> wird die Null zugeordnet.
>
> Und nun soll ich zeigen, dass wenn diese Folge gegen Null
> konvergiert die Funktion integrierbar ist. Leider versteh
> ich hier nicht den Zusammenhang zwischen der
> Integrierbarkeit und der Folge...
>
> Ich wäre über einen Tipp und wenn es möglich ist über eine
> Erklärung der Zusammenhänge sehr erfreut, damit ich diese
> Aufgabe lösen kann!
>
also [mm] $\chi$ [/mm] ist ja fast ueberall null, naemlich auf allen irrationalen zahlen. Ist [mm] $a_n$ [/mm] aber zb. konstant gleich 1, dann ist [mm] $\chi$ [/mm] auf einer menge gleich 1, die zwar "nur" abzaehlbar (also nullmenge) ist, aber dennoch dicht. deshalb ist im allgemeinen fall [mm] $\chi$ [/mm] nicht R-intbar (-> Dirichlet-fkt.).
Ist [mm] $a_n$ [/mm] allerdings eine nullfolge, sieht die situation anders aus: gibt man naemlich ein beliebig kleines epsilon vor, so gibt es nur endlich viele folgenglieder die [mm] $|a_n|>\epsilon$ [/mm] haben. Fuer endlich viele x-werte verhaelt sich [mm] $\chi$ [/mm] also unberechenbar, fuer den rest des intervalls ist es schon "nah" an der nullfunktion.
Man muss nun ein wenig argumentieren, dass die endlich vielen punkte fuer R-intbarkeit nicht erheblich sind und ansonsten ober- und untersummen gegen 0 konvergieren.
Das technisch sauber zu machen, kann evtl. etwas tricky werden...
Hoffe aber, dass du den sinn der aufgabe verstanden hast... 
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Danke vielmals!
Ich habe jetzt den Sinn dieser Aufgabe verstanden  ! Ich nun versuchen, diese Argumentation formal aufs Papier zu bringen... Falls ich mir meiner Schreibweise nicht sicher sein sollte, werde ich mich nochmal melden....
1000 Dank nochmal!
Gruß
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mi 21.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
So, ich hatte heute ne Übung und habe mit dem Übungsgruppenleiter mich unterhalten... Die Idee ist vollkommen super, aber ich habe große Schwierigkeiten, dass formal hinzuschreiben...
Der Zweck dieser Übung soll unter anderem sein, die Definition der Riemann - Integrierbarkeit zu wiederholen.
Die Definition, die mir zur Verfügung steht, ist die folgende:
Sei [mm] f: \left[ a,b \right] \to \mathbb R [/mm] beliebig.
Das Unterintegral sei gegeben durch [mm] \integral_{*} f = \sup \{ \integral t | t Riemann - Treppenfunktion, t \le f \}. [/mm]
Das Oberintegral sei gegeben durch [mm] [mm] \integral^* [/mm] f = [mm] \inf \{ \integral t | t Riemann - Treppenfunktion, t \ge f \} [/mm]
f heißt Riemann - integrierbar, falls Ober- und Unterintegral übereinstimmen.
Also, ich müsst diese Aufgabe mit Hilfe dieser Definition lösen.
Nun wie bringe ich das alles zusammen? Und mein Unterintegral ist Null, und damit das Ganze integrierbar ist, muss mein Oberintegral auch Null sein.. Und was passiert mit den ersten Gliedern der Folge, wo nicht [mm] | a_n | < \epsilon [/mm] gilt? Die kann ich doch nicht einfach weg lassen...
Ich weiß wirklich nicht, wie ich das formal alles sauber aufs Papier bringen kann :-(.
Ich hoffe, dass mir da jemand helfen kann!
Gruß Irmchen
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Hi Irmchen,
habe noch ein wenig ueber die aufgabe nachgedacht, so schwer ist die gar nicht...
was du doch im grunde zeigen musst, ist folgendes: zu einem gegebenen [mm] $\epsilon>0$ [/mm] kannst du eine treppenfunktion konstruieren mit [mm] $t\ge [/mm] f$ und [mm] $\int t\le \epsilon$.
[/mm]
gut, sei so ein [mm] $\epsilon$ [/mm] gegeben. wie schon gesagt, muss man im grunde an zwei fronten agieren: einmal fuer die folgeglieder die sich gut verhalten (fast alle) und einmal fuer die, die machen koennen was sie wollen (nur endlich viele).
deswegen waehlen wir [mm] $\epsilon/2$ [/mm] und wissen dann, dass [mm] $|a_n|<\epsilon/2$ [/mm] fuer [mm] $n\ge n_0$. [/mm] Die uebrigen folgeglieder sind nur endlich viele und deshalb auf jeden fall beschraenkt, also [mm] $\forall n
stell dir nun eine zerlegung [mm] $x_i$ [/mm] des einheitsintervalles vor mit feinheit $h$, also [mm] $\forall [/mm] i: [mm] |x_{i+1}-x_i|\le [/mm] h$. dort, wo in [mm] $I_i=[x_i,x_{i+1}]$ [/mm] ein [mm] $a_n, n
Dann gilt aber
[mm] $\int t\le \epsilon/2 [/mm] + [mm] C\cdot h\cdot n_0$.
[/mm]
Klar? [mm] $n_0$ [/mm] der treppenstufen haben hoechstens die hoehe $C$, alle anderen [mm] $\epsilon/2$.
[/mm]
das heisst aber, wenn ich die zerlegung von $[0,1]$ so fein mache, dass
[mm] $h<\frac{\epsilon}{2n_0 C}$
[/mm]
dann folgt das gewuenschte
[mm] $\int t\le \epsilon/2 [/mm] + [mm] \epsilon/2=\epsilon$.
[/mm]
nur ein bisschen epsilon-arithmetik...
gruss
matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Do 22.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Matthias!
Vielen vielen Dank für Deine Mühe!
Ich finde das alles, außer 2 Dinge ( siehe unten ) komplett einleuchtend! Das einzige, was ich fragen muss, ist, dass wir hier die ganze Zeit mir Unterintegralen arbieten, richtig? Wir verwenden immer die Abschätzung [mm] \le [/mm].. Und behandeln die "Ausreisser" ebenfalls damit..
Wie kommt das Oberintegral ins Spiel?
> habe noch ein wenig ueber die aufgabe nachgedacht, so
> schwer ist die gar nicht...
>
> was du doch im grunde zeigen musst, ist folgendes: zu einem
> gegebenen [mm]\epsilon>0[/mm] kannst du eine treppenfunktion
> konstruieren mit [mm]t\ge f[/mm] und [mm]\int t\le \epsilon[/mm].
>
> gut, sei so ein [mm]\epsilon[/mm] gegeben. wie schon gesagt, muss
> man im grunde an zwei fronten agieren: einmal fuer die
> folgeglieder die sich gut verhalten (fast alle) und einmal
> fuer die, die machen koennen was sie wollen (nur endlich
> viele).
>
> deswegen waehlen wir [mm]\epsilon/2[/mm] und wissen dann, dass
> [mm]|a_n|<\epsilon/2[/mm] fuer [mm]n\ge n_0[/mm]. Die uebrigen folgeglieder
> sind nur endlich viele und deshalb auf jeden fall
> beschraenkt, also [mm]\forall n
Das ist mir nicht ganz klar... Warum beschränkt? Es sind zwar nur endlich viel, das ist klar, aber diese können jede reele Zahl annehmen. In wiefern beschränkt?
> stell dir nun eine zerlegung [mm]x_i[/mm] des einheitsintervalles
> vor mit feinheit [mm]h[/mm], also [mm]\forall i: |x_{i+1}-x_i|\le h[/mm].
> dort, wo in [mm]I_i=[x_i,x_{i+1}][/mm] ein [mm]a_n, n
> den wert [mm]C[/mm] ansonsten [mm]\epsilon/2[/mm].
>
> Dann gilt aber
>
> [mm]\int t\le \epsilon/2 + C\cdot h\cdot n_0[/mm].
>
> Klar? [mm]n_0[/mm] der treppenstufen haben hoechstens die hoehe [mm]C[/mm],
> alle anderen [mm]\epsilon/2[/mm].
Soweit ja, nur das die Rolle des h ist mir nicht so klar...
>
> das heisst aber, wenn ich die zerlegung von [mm][0,1][/mm] so fein
> mache, dass
>
> [mm]h<\frac{\epsilon}{2n_0 C}[/mm]
>
> dann folgt das gewuenschte
>
> [mm]\int t\le \epsilon/2 + \epsilon/2=\epsilon[/mm].
>
> nur ein bisschen epsilon-arithmetik...
>
> gruss
> matthias
Viele Dank nochmal!
Gruss
Irmchen
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> Hallo Matthias!
>
> Vielen vielen Dank für Deine Mühe!
> Ich finde das alles, außer 2 Dinge ( siehe unten )
> komplett einleuchtend! Das einzige, was ich fragen muss,
> ist, dass wir hier die ganze Zeit mir Unterintegralen
> arbieten, richtig? Wir verwenden immer die Abschätzung [mm]\le [/mm]..
> Und behandeln die "Ausreisser" ebenfalls damit..
>
> Wie kommt das Oberintegral ins Spiel?
alle argumentationen und abschaetzungen sind nur fuer oberintegrale, die unterintegrale haben trivialerweise das supremum 0. oberintegral heisst ja, dass die treppenfkten. [mm] $\ge [/mm] f$ sind, was bei meiner argumentation der fall ist. ich zeige aber, dass das oberintegral beliebig nah an 0 kommt [mm] ($<\epsilon$), [/mm] wenn man geeignete treppenfunktionen waehlt, das infimum also gleich 0 ist.
>
> > habe noch ein wenig ueber die aufgabe nachgedacht, so
> > schwer ist die gar nicht...
> >
> > was du doch im grunde zeigen musst, ist folgendes: zu einem
> > gegebenen [mm]\epsilon>0[/mm] kannst du eine treppenfunktion
> > konstruieren mit [mm]t\ge f[/mm] und [mm]\int t\le \epsilon[/mm].
> >
> > gut, sei so ein [mm]\epsilon[/mm] gegeben. wie schon gesagt, muss
> > man im grunde an zwei fronten agieren: einmal fuer die
> > folgeglieder die sich gut verhalten (fast alle) und einmal
> > fuer die, die machen koennen was sie wollen (nur endlich
> > viele).
> >
> > deswegen waehlen wir [mm]\epsilon/2[/mm] und wissen dann, dass
> > [mm]|a_n|<\epsilon/2[/mm] fuer [mm]n\ge n_0[/mm]. Die uebrigen folgeglieder
> > sind nur endlich viele und deshalb auf jeden fall
> > beschraenkt, also [mm]\forall n
>
> Das ist mir nicht ganz klar... Warum beschränkt? Es sind
> zwar nur endlich viel, das ist klar, aber diese können jede
> reele Zahl annehmen. In wiefern beschränkt?
da es nur endlich viele sind, nimm einfach das maximum.
>
> > stell dir nun eine zerlegung [mm]x_i[/mm] des einheitsintervalles
> > vor mit feinheit [mm]h[/mm], also [mm]\forall i: |x_{i+1}-x_i|\le h[/mm].
> > dort, wo in [mm]I_i=[x_i,x_{i+1}][/mm] ein [mm]a_n, n
> > den wert [mm]C[/mm] ansonsten [mm]\epsilon/2[/mm].
> >
> > Dann gilt aber
> >
> > [mm]\int t\le \epsilon/2 + C\cdot h\cdot n_0[/mm].
> >
> > Klar? [mm]n_0[/mm] der treppenstufen haben hoechstens die hoehe [mm]C[/mm],
> > alle anderen [mm]\epsilon/2[/mm].
>
> Soweit ja, nur das die Rolle des h ist mir nicht so
> klar...
fuer treppenfkten. braucht man doch eine zerlegung des integrationsgebietes in kleine intervalle. wenn man die treppenfkten. verfeinert, wird das $h$ immer kleiner, es ist sozusagen die groesse der zerlegungsintervalle.
> >
> > das heisst aber, wenn ich die zerlegung von [mm][0,1][/mm] so fein
> > mache, dass
> >
> > [mm]h<\frac{\epsilon}{2n_0 C}[/mm]
> >
> > dann folgt das gewuenschte
> >
> > [mm]\int t\le \epsilon/2 + \epsilon/2=\epsilon[/mm].
> >
> > nur ein bisschen epsilon-arithmetik...
> >
> > gruss
> > matthias
>
>
> Viele Dank nochmal!
> Gruss
> Irmchen
gruss
matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Do 22.11.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Matthias!
Ja, jetzt verstehe ich das komplett... Blöde Fragen, die ich gestellt habe, sorry!
Vielen Dank nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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