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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Fr 27.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Gegeben ist die Zahlenfolge 0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; ...
Berechne die Summe der ersten 100 Folgenglieder! |
Hallo zusammen,
ich habe ein paar Probleme mit der (einfach klingenden) Aufgabe.
Zunächst gilt: [mm] a_n= 0,3*\summe_{k=1}^{n} (0,1)^{k-1}
[/mm]
Nun komme ich aber nicht wirklich weiter. Meine Vermutung war, dass die Summe der ersten 100 Folgenglieder 33,33..3 (mit 98 Nachkommastellen 3) beträgt.
Über eure Hilfe wäre ich dankbar!
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Hiho,
> Zunächst gilt: [mm]a_n= 0,3*\summe_{k=1}^{n} (0,1)^{k-1}[/mm]
Besser eine Indexverschiebung machen:
[mm]a_n= 0,3*\summe_{k=0}^{n-1} (0,1)^{k}[/mm]
Setzen wir nun q=0,1 erhalten wir:
[mm]a_n= 0,3*\summe_{k=0}^{n-1} q^{k}[/mm]
Das sieht doch sehr nach der ![[]](/images/popup.gif) Partialsumme einer geometrischen Reihe aus.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Fr 27.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
Das dachte ich auch erst.
Allerdings muss ja die Summe der ersten 100 Folgenglieder berechnet werden, sprich die Summe über die angegebene Folge [mm] a_n. [/mm] Oder anders ausgedrückt: 1/3 ist ja nicht das Ergebnis wenn ich die ersten 100 Folgenglieder 0,3; 0,33; 0,333; … addiere.
Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:01 Sa 28.01.2023 | | Autor: | fred97 |
> Das dachte ich auch erst.
> Allerdings muss ja die Summe der ersten 100 Folgenglieder
> berechnet werden, sprich die Summe über die angegebene
> Folge [mm]a_n.[/mm] Oder anders ausgedrückt: 1/3 ist ja nicht das
> Ergebnis wenn ich die ersten 100 Folgenglieder 0,3; 0,33;
> 0,333; … addiere.
>
> Oder hab ich da jetzt einen Denkfehler?
nimm die Formel von gono
Du sollst [mm] a_{100} [/mm] berechnen
Gruß Fred
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:07 Sa 28.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
Das habe ich ja bereits gemacht, dann ist a_100=0,333333….
Dies entspricht aber nicht der Summe der ersten 100 Folgenglieder, weil ja bereits [mm] a_1+a_2>0,6
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Sa 28.01.2023 | | Autor: | fred97 |
> Das habe ich ja bereits gemacht, dann ist
> a_100=0,333333….
>
> Dies entspricht aber nicht der Summe der ersten 100
> Folgenglieder, weil ja bereits [mm]a_1+a_2>0,6[/mm]
Du sollst nicht [mm] a_{1}+.....+a_{100} [/mm] berechnen, sondern [mm] a_{100}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Sa 28.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. a_100 ist für mich bei der Folge in der ursprünglichen Aufgabenstellung 0,33333 mit 100 Nachkommastellen 3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Sa 28.01.2023 | | Autor: | fred97 |
> Ich stehe offensichtlich auf dem Schlauch. a_100 ist für
> mich bei der Folge in der ursprünglichen Aufgabenstellung
> 0,33333 mit 100 Nachkommastellen 3.
schreibe das als schönen Bruch, benutze dabei die obige Formel
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Hiho,
wie berechnet sich denn [mm] $\summe_{k=0}^{n-1}q^n$? [/mm]
Dafür gibt es eine geschlossene Form, da muss man nix rechnen…
Gruß,
Gono
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Es geht ganz ohne Summenzeichen und fast ohne Variable.
Bezeichne die Summe mit S. Schreibe 10*S hin und darunter um eine Position versetzt S:
10*S = 3 + 3,3 + 3,33 + 3,333 + 3,3333 + ... + [mm] 10*a_{100}
[/mm]
S = 0,3 + 0,33 + 0,333 + 0,3333 + ... + [mm] a_{99} [/mm] + [mm] a_{100}
[/mm]
Nun Subtrahieren wir positionsweise:
9*S = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 - [mm] a_{100}
[/mm]
9*S = 300 - [mm] a_{100}
[/mm]
S = (300 - [mm] a_{100})/9
[/mm]
Du warst ganz nah dran. Schade, dass es nicht 99 Folgeglieder sind, dann käme eine abbrechende Dezimalzahl heraus.
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[mm] a_1 [/mm] = 0,3 = 0,3333333... - 0,033333... = 1/3 - 1/30 = [mm] 1/3(1-10^{-1})
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] = 0,33 = 0,3333333... - 0,0033333... = 1/3 - 1/300 = [mm] 1/3(1-10^{-2})
[/mm]
...
[mm] a_{100} [/mm] = [mm] 1/3(1-10^{-100})
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 So 29.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
Vielen Dank für die Hilfe!
Diesen Wert für a_100 habe ich auch mit der Formel der Partialsumme der geometrischen Reihe erhalten.
Damit ergibt sich als Summe der 100 Folgenglieder: 33,296.
Kann man dies auch noch anders berechnen als mit dem ,,Umsortieren'' der Summanden (ein schöner ,,Trick''!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 30.01.2023 | | Autor: | Trikolon |
Nur um sicher zu gehen: Meine angegebene Summe war korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 Di 31.01.2023 | | Autor: | Loddar |
Hallo Trikolon!
> Nur um sicher zu gehen: Meine angegebene Summe war korrekt?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Wie hier auch vorgerechnet wurde.
Gruß
Loddar
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Ja. Warum einfach, wenn's auch kompliziert geht?
Es ist [mm] a_n [/mm] = [mm] 0,3\summe_{i=0}^{n-1} 0,1^i [/mm] = (geom. Reihe:) [mm] 0,3\bruch{1-0,1^n}{1-0,1} [/mm] = [mm] \bruch{0,3}{0,9} (1-0,1^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} (1-0,1^n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*0,1^n
[/mm]
Dann ist die Summe daraus
[mm] \summe_{i=1}^{100} (\bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*0,1^n) =\summe_{i=1}^{100} \bruch{1}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=1}^{100} 0,1^n [/mm] = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\summe_{i=0}^{99} 0,1^{n+1}= \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{0,1}{3}\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm] = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{0,3}{9}\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm] = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}*0,3\summe_{i=0}^{99} 0,1^n [/mm] = [mm] \bruch{100}{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{9} a_{100}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 33.296296296...
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